量子力学2-1.ppt

第二章 波函数与Schrödinger方程§2.1 波函数的统计解释1、对微观粒子波粒二象性的理解我们知道：粒子----定域性 ， 波动----广延性电子的衍射图样1①不能认为一个粒子就是经典概念下的波历史上曾经把粒子用波包来等价，比如一 自由粒子的平面波包（由一定范围动量，即 不同的 构成，因为 ）以波包中心 表示粒子的位置，波包的大小表示粒子的大 小群速度表示粒子的速度则2即不同的k运动速度不同，导致波包扩散，粒子变胖但实验上观测到的电子总处于空间一个小区域 中，其广延不超过原子大小~1Å故不能把电子看成三维空间的物质波包衍射实验也说明单粒子打到靶上就是一点3结论：微观粒子既是粒子又是波也不是经典波：抛弃了物理量在空间周期性 分布的概念，但具有波动的相干叠加性两者统一于 Born 的几率波概念中②不能认为波是由一群粒子组成否则必 然导致波动是由粒子间的相互作用产生的但它不是经典粒子：不能用( )确定粒子状态，没有经典轨道概念；42、几率波 多粒子系的波函数(1)几率波分析电子的双缝衍射实验发现，衍射图样与发 射电子流强度无关多个电子一次行为与一个电 子的多次行为结果相同。

①多个电子的一次行为 干涉图样明条纹暗条纹“粒子”观点到达电子多少“波动”观点波强度大小子弹过双缝无此现象5结论：到达屏某处电子数正比于波强度若总发 射电子数为M，到达某处的电子数为N，则到达 某处的电子几率为N/ M②单个电子的多次行为结论：这种波是一种几率波“波动”观点波强度大小“粒子”观点发现电子几率大小干涉图样明条纹暗条纹6一般情况下称 为几率振幅，它描述微观 粒子的运动状态，从而代替了经典体系状态 （ ）的描述由此得到微观粒子的状态用波函数 完全描述波函数的统计解释：若衍射振幅用 表示，与在光学中类似， 波的强度可用 表示量子力学的基本原理之一：波动性正反映了这种统计规律性，因此称为 几率波7不过它所描写的是大量粒子的统计行为 对于单个粒子只能给出几率性的答复ΨrdVxyz而t 时刻在 端点附近dV 内发现粒子的概率为:t 时刻，在 端点处单位体 积中发现一个粒子的几率 几率密度用 表示，其物理涵义是(见下图）：8这就是波函数的统计解释显然几率是归 一的，即与经典波不同，对空间中的各点， 描述同一个状态,考虑的几率是相对几率。

比如对空间中任意两点 的相对几率为▲几率的相对性9经典波系数相差c，强度相差 |c|2经典波一般描述绝对强度，因此谈不上归一化即使归一化，波函数仍具有 的相位不稳 定性，因为显然若还是原来的 波函数吗？10（2）多粒子系的波函数 在 t 时刻，多粒子系的波函数可以表示为而11一般定义内积﹟123、动量的几率分布粒子在给定时刻测得在处的几率如测量其它力学量，几率分布如何？以经典力学中状态变量的分布为例：但一般情况下， 含有各种波长的分波，为 一波包因而相应动量有一分布由前述，若体系的状态用来描述，则实际上是位置的几率分布13可以设想 同样给出 的几率分布 那么 与 有何联系？答案： 是 的平面波展开，即 Fourier 变换:其逆变换为：代表 中含有平面波 的成分14Gθ θK狭缝电 流 计镍集电器U电子射线单晶设电子垂直入射到单晶表面，入射波是一 具有一定波长 的平面波衍射沿一定 角出射，且满足Bragg公式：以电子的晶体衍射为例。

15若入射波为一波包，则每一Fourier分波将按一定角度出射，得到一波谱在足够远 处，将在空间分开在衍射过程中， 未变，因此衍射波谱反映 了衍射前粒子动量的几率分布对于一个粒子，在 方向被测到的几率设沿 出射的波幅为因为沿 方向衍射波强度16容易验证： 即 也满足归一化条件即粒子动量在 范围内的几率为17在前面的推导中，我们利用了δ函数的性质同理这样同理可推知三维坐标矢量的δ函数的形式作业：P23 Ex. 2, 3,5184、测不准关系 Werner Karl Heisenberg 德国人（1901-1976） 创立量子力学，获得1932 年诺贝尔物理学奖 Heisenberg将其形象地概括为测不准关系那么，经典概念能多大程度上适用于量子力学？但由于波粒二象性，经典概念又不能全被抛弃按照波函数的几率解释，经典轨道将会抛弃19测不准关系的严格证明在第四章给出这里 从简单的例子出发引出测不准关系一维自由粒子具有确定的动量 p0 自由粒子动量的不确定度Δp=0则则例1而位置完全不确定，可取任何值值，相应应的波函数是平面波即在任何位置上动量都有确定值20则则例2一维粒子位于x0处，即 Δx=0。

相应波函数其Fourier展开为表明在位置x0处动量取各值的几率相等 故将波函数代入即得如何得来？21即粒子主要局限于 , 即 考虑Gauss波包描述的粒子有例3见右图：22的Fourier变换为23这就是测不准关系，即粒子的坐标(位置)和动量不能同时有确定值它是粒子的波粒二象 性的反映如何理解不确定性？用de Broglie关系 ,容易得到严格证明见(4.3.1)24测不准关系常用来估计体系的主要特征，而 不必知道体系精确的波函数或严格求解薛定谔 方程说某一点的动量如同说在某一点的波长一样 是无意义的然而由于 h 是个很小的量，所以 其实际影响与日常经验并无矛盾，但实在存在 却是本质的对于宏观系统， 量子效应可 忽略不计25估算 H 原子的轨道半径R-- 玻尔半径由不确定关系则电子活动范围例 估算一些物理量的量级解：设H原子半径为 R26假设核静止，按非相对论，基态电子能量为作为数量级估算，可取则27最稳定，即能量最低Å得﹟ ﹟285、力学量的平均值和算符的引进前面的学习告诉我们，在 态中，不 是所有的力学量都具有确定值。

但它们有一定的分布几率因而有确定的平均值29如波函数没有归一化，应当除以归一化 因子，写成同理30则另外，若波函数没有归一化，且31但对于动量，其平均值试思考：为什么？那么如何求？解释： 不是动量的几率分布函数，且粒子在某一点的动量是没有意义的32(再利用一次FT)33注意:且34此时或35但是这里要注意：由于测不准关系的存在， 是没有意义的，因为不能同时有确定值)(?)作业：P47 1(a)366、统计解释对波函数提出的要求3738如散射理论中的入射粒子39思考：比较量子力学波函数与经典波的差异 ﹟ ﹟ 40。