2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.2 向量数量积的运算律学案 新人教B版第三册.doc

8.1.2　向量数量积的运算律学 习 目 标核 心 素 养1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．(难点)2.能利用运算律进行向量的数量积运算．(重点，难点)1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养．2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养.1.两个向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.思考1：根据实数乘法的分配律，得到向量数量积的分配律：(1)实数a，b，c的乘法分配律：(a＋b)·c＝______.(2)向量a，b的数量积的分配律：(a＋b)·c＝____.[提示](1)ac＋bc(2)a·c＋b·c2.重要公式：平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式(a±b)2＝a2±2a·b＋b2思考2：根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式：(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________.(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；向量数量积公式：(a±b)2＝__________.[提示](1)a2－b2 ；a2－b2(2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b21.下面给出的关系式中正确的个数是(　　)① 0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1　　 B．2　　　　C．3　　　　 D．4C　[①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos 2 θ≠a2·b2，选C．]2.已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是(　　)A．0　 B．a　 C．b　 D．cB　[b·c＝|b||c|cos 45°＝1.∴a·(b·c)＝a.]3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量|a－4b|2＝(　　)A．2　 B．2　 C．6　 D．12D　[∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12.]4．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________．①③④　[根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，② 错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.]利用向量数量积的运算律计算【例1】(1)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.(2)(2019·东营高一检测)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝e1－e2，b＝e1＋λe2.①若a⊥b，求实数λ的值；②若a与b的夹角为60°，求实数λ的值．[思路探究](1)利用向量垂直的充要条件转化为向量的数量积计算．(2)利用平面向量的数量积公式以及运算律，解方程求参数的值．(1)18　[在平行四边形ABCD中，得＝＋，＝－.由AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，得·＝·(＋)＝0⇒·＝－·.所以·＝·(－)＝·－·＝－2·＝2·＝2||||cos〈，〉＝2||2＝18.](2)[解]　①由a⊥b, 得a·b＝0，则(e1－e2)·(e1＋λe2)＝0，得e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝0，－λ＝0，所以λ＝.②因为e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，所以cos 〈e1－e2，e1＋λe2〉＝，且·＝e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝－λ，|e1－e2|＝＝＝2，|e1＋λe2|＝＝＝，∴－λ＝2××cos 60°＝，解得λ＝.利用向量数量积的运算律计算的注意事项(1)计算(λa＋μb)·(λa＋μb)，可以类比多项式乘法运算律，注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同.(2)三个实数的积满足结合律(ab)c＝a(bc)＝(ac)b，而三个向量的“数量积”不一定满足结合律，即下列等式不一定成立：(a·b)·c＝a·(b·c)＝(a·c)·b，这是因为上式的本质为λc＝μa＝kb，当三个向量不共线时，显然等式不成立.1.已知△ABC外接圆半径是1，圆心为O，且3＋4＋5＝0，则·＝(　　)A．　　　B．　　　C．－　　　D．C　[由3＋4＋5＝0，得5＝－3－4，两边平方，得252＝92＋162＋24·，因为△ABC外接圆半径是1，圆心为O，所以25＝9＋16＋24·，即·＝0.所以·＝(5)·(－)＝(－3－4)·(－)＝(－3·＋32－42＋4·)＝－.]利用平面向量的数量积证明几何问题【例2】　如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB．求证：AD⊥CE.[思路探究]　借助平面向量垂直的充要条件解题，即通过计算·＝0完成证明．[证明]　设此等腰直角三角形的直角边长为a，则·＝·＝·＋·＋·＋·＝－a2＋0＋a·a·＋·a·＝－a2＋a2＋a2＝0.所以AD⊥CE.利用向量法证明几何问题的方法技巧(1)利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系，角度关系.(2)进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算.(3)将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等.2.在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足||＝2||，如图所示，设＝a，＝b.(1)用a，b表示；(2)段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求||；若不存在，请说明理由．[解](1)根据题意得：＝＝b，＝＝＝－＝－a，∴＝＋＝b－a；(2)结论：段BC上存在使得4||＝||的一点F满足AF⊥BE，此时||＝.理由如下：设＝t＝tb，则＝(1－t)b，(0≤t≤1)，∴＝＋＝a＋tb，∵在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，∴|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos 60°＝，∵AF⊥BE，∴·＝(a＋tb)·＝a·b－a2＋tb2＝×－＋t＝0，解得t＝，从而＝a＋b，∴||＝＝＝＝.1.向量的数量积与实数乘积运算性质的比较实数a，b，c向量a，b，ca≠0，a·b＝0⇒b＝0a≠0，a·b＝0⇒/ b＝0a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝ca·b＝b·c(b≠0)⇒/ a＝c|a·b|＝|a|·|b||a·b|≤|a|·|b|满足乘法结合律不满足乘法结合律2.知识导图——数量积运算律——∣1.已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝(　　)A．2　　　 B．3C．5 D．－5C　[因为|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5.]2.已知▱ABCD中，||＝4，||＝3，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　)A．2　　　　 B．5C．6　　　　　 D．8C　[·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×42－×32＝6.故选C．]3.已知向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|＝(　　)A．2　　　　 B．3C．4　　 D．6A　[因为向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4|a||b|cos 120°＋4＝4.所以|a＋2b|＝2.]4．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.　[因为|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋|b|2－4|b|cos 30°＝1，即|b|2－2|b|＋3＝0，所以(|b|－)2＝0，所以|b|＝.]7。