初中数学竞赛辅导资料之勾股定理.doc

99初中数学竞赛资料（31）勾股定理甲内容提要甲内容提要1.勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C＝Rt∠a2＋b2=c22.勾股定理及逆定理的应用① 作已知线段 a 的，， ……倍235② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等3.勾股数的定义：如果三个正整数 a,b,c 满足等式 a2＋b2=c2，那么这三个 正整数 a,b,c 叫做一组勾股数.4.勾股数的推算公式 ① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家 1789――1853） 任取两个正整数 m 和 n(m>n),那么 m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数② 如果 k 是大于 1 的奇数，那么 k, ,是一组勾股数212k 212k③ 如果 k 是大于 2 的偶数，那么 k, ,是一组勾股122   K122   K数 ④ 如果 a,b,c 是勾股数，那么 na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数5.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形简单的勾股数 有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41 乙例题乙例题例 1.已知线段 a a a 2a 3a a 55求作线段a a 5分析一：a＝＝ 2a 525a224aa ∴a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边。

5100分析二：a＝52492aa ∴a 是以 3a 为斜边，以 2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边5作图（略）例 2.四边形 ABCD 中∠DAB＝60 ，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2求对角线 AC 的长 解：延长 BC 和 AD 相交于 E，则∠E＝30 ∴CE＝2CD＝4， 在 Rt△ABE 中 设 AB 为 x,则 AE＝2x 根据勾股定理 x2+52=(2x)2, x2= 325在 Rt△ABC 中，AC＝＝＝221x13252132例 3.已知△ABC 中，AB＝AC，∠B＝2∠A 求证：AB2－BC2＝AB×BC 证明：作∠B 的平分线交 AC 于 D， 则∠A＝∠ABD， ∠BDC＝2∠A＝∠C ∴AD＝BD＝BC 作 BM⊥AC 于 M，则 CM＝DM AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2） ＝AM2－CM2＝（AM＋CM） （AM－CM） ＝AC×AD＝AB×BC 例 4.如图已知△ABC 中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD求证：AB＝AC 证明：设 AB，AC，BD，CD 分别为 b,c,m,n 则 c+n=b+m, c-b=m-n ∵AD⊥BC，根据勾股定理，得 AD2＝c2-m2=b2-n2 ∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b) (c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0 (c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即 c=b21DABCEBCADMcbn¡¡mABCD101∴AB＝AC 例 5.已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＞BC 求证：AC＞BD 证明：作 DE∥AC，DF∥BC，交 BA 或延长线于点 E、F ACDE 和 BCDF 都是平行四边形∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF 作 DH⊥AB 于 H，根据勾股定理 AH＝，FH＝ 22- DHAD22- DHDF∵AD＞BC，AD＞DF ∴AH＞FH，EH＞BH DE＝，BD＝22EHDH2BHDH ∴DE＞BD 即 AC＞BD 例 6.已知：正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 EFGH 内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且 SEFGH＝ 32求：的值 ab （（2001 年希望杯数学邀请赛，初二）年希望杯数学邀请赛，初二） 解：根据勾股定理 a2+b2=EF2＝SEFGH＝ ;① 32∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH ∴ 2ab= ②31① －②得 （a-b）2= ∴＝31ab 33丙练习丙练习 31 1.以下列数字为一边，写出一组勾股数：① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿ ④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿ 2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，jABCDE FHABCDFGHE102③＝＿＿＿，④＝＿＿＿22158 2215-253.△ABC 中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM 和 CH 分别是中线和高。

那么 S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿ 4. 梯形两底长分别是 3 和 7，两对角线长分别是 6 和 8，则 S梯形 ＝＿＿＿ 5.已知：△ABC 中，AD 是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD 求证：AE＝AF 6.已知：M 是△ABC 内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB， 且 BD＝BF，CD＝CE 求证：AE＝AF 7.在△ABC 中，∠C 是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B 8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数 （用反证法） 9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长 10 等腰直角三角形 ABC 斜边上一点 P，求证：AP2＋BP2＝2CP2 11.已知△ABC 中，∠A＝Rt∠，M 是 BC 的中点，E，F 分别在 AB，ACME⊥MF 求证：EF2＝BE2＋CF212.Rt△ABC 中，∠ABC＝90 ，∠C＝60 ，BC＝2，D 是 AC 的中点，从0D 作 DE⊥AC 与 CB 的延长线交于点 E，以 AB、BE 为邻边作矩形 ABEF，连结 DF，则 DF 的长是＿＿＿＿。

（（2002 年希望杯数学邀请赛，年希望杯数学邀请赛， 初二试题初二试题）13.△ABC 中，AB＝AC＝2，BC 边上有 100 个不同的点 p1，p2，p3，…p100,记 mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则 m1+m2+…＋m100=____(1990 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题)(11)BACMFE(12)ABCEFD(5)ABCEFDEABCMDF103参考答案 练习 31 3. 150，12，35 4. 24（作 CE∥BD 交 AB 延长线 E）5. 利用勾股定理证明 AE，AF 的平方都等于 m2+n2+AD26.利用勾股定理: AE2＝……，AF2＝…… 7.作 CD⊥AB 于 D， ∵bc=a2-b2=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD) ∴b=BD-AD …… 8.（用反证法）设 a,b,c 都是奇数， 那么 a2,b2,c2也都是奇数，∴a2＋b2是偶数,而 c2是奇数， 这与 a2＋b2＝c2相矛盾，故这种假设不能成立，∴a,b,c 中至少有一个数是偶数9. 正整数解有 22221cbaabcba13,10,10,1312,.8,.6,.5 .5,.6,.8 ,12cba答：各边长是 5，12，13 或 6，8，10 11.延长 EM 到 N，使 MN＝EM，连结 CN， 显然△MNC≌△MEB，NC＝BE，NF＝EF……12. 可证 DF＝DE＝2， 13. 400 (mi=4)3A AB BC CD D E Ea ab b。