2024-2025学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷（含解析）.docx

2024-2025学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.命题“∀x∈R，x2+ax+1>0”的否定为(    )A. ∃x∈R，x2+ax+1>0 B. ∀x∈R，x2+ax+1<0C. ∃x∈R，x2+ax+1≤0 D. ∀x∈R，x2+ax+1≤02.已知集合A={x|y= 1−x},B={x|y=ln(2−x)}，则(∁RA)∩B=(    )A. (−∞,1] B. (1,2) C. [1,2) D. (−∞,2)3.设集合A={1,3,a2}，B={1,a+2}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的值为(    )A. −1 B. 0 C. 1 D. 24.函数f(x)=(12)x−lgx的零点所在的一个区间为(    )A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,10)5.函数f(x)=12x−sinx在[−π,π]上的图象大致是(    )A. B. C. D. 6.若函数f(x)=x3+ax2+b的图象关于点(2,0)对称，则实数a的值为(    )A. −3 B. 3 C. −6 D. 67.若函数f(x)=xlnx−x+k存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为(    )A. (−∞,1) B. (0,1) C. (−∞,e) D. (0,e)8.已知f(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，且当x>0时，xf′(x)−f(x)>x2，f(1)=1，则f(x)x>x的解集为(    )A. (−1,0)∪(1,+∞) B. (−∞,−1)∪(0,1)C. (−1,0)∪(0,1) D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.下列不等关系成立的有(    )A. 30.7>0.73 B. lg3log56 D. 0.40.3<0.30.410.若函数f(x)=12a2x2−3ax+2lnx在x=1处取得极大值，则(    )A. a=1 B. a=2C. (2,+∞)为f(x)的一个增区间 D. f(x)的极小值为2ln2−411.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(−x)，当x∈[0,1]时，f(x)= x，则下列结论正确的有(    )A. 当x∈[2,3]时，f(x)=− 3−xB. f(x)的图象在x=32处的切线方程为2x+2 2y−5=0C. f(x)的图象与g(x)=lg|x−1|的图象所有交点的横坐标之和为10D. f(x)的图象与直线y=x+b恰有一个公共点，则实数b∈(4k−154,4k−14)(k∈Z)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知f(x)，g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)+g(x)=2x+1，则f(−1+log23)的值为______．13.若实数x0满足f(f(x0))=x0，则称x0为函数f(x)的一个“二阶不动点”.给定函数f(x)=2x,x≤122−2x,x>12，则其所有“二阶不动点”的和为______．14.已知正实数a，b满足a2b2−4=2ab2lna−4bln2b，则a2+8b的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知函数f(x)=log2(2x2−x−1)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若对任意的x∈[32,+∞)，都有f(x)≥2m−2，求实数m的取值范围．16.(本小题15分)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=−2，且x<0时，f(x)>0．(1)判断并证明f(x)的奇偶性；(2)求关于t的不等式f(t2−t−2)−f(t+1)>−10的解集．17.(本小题15分)如图，某地计划在海中建设一风力发电站A，其离岸距离AC=40km，与AC垂直的海岸线BC上有一升压站B，且BC=20km.现要铺设一条电缆将A站的电力传输到B站，点P为海岸线BC上一点，线段AP，PB分别表示在海中、海岸线上铺设电缆的路线.假设海中铺设电缆的费用为m万元/千米(m为给定正数)，海岸线上铺设电缆的费用为9m41万元/千米，CP的长度为x千米．(1)求铺设电缆总费用y关于x的函数关系式；(2)当CP的长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用．18.(本小题17分)已知函数f(x)=lnx+ax−a2(a∈R)．(1)当a=1时，求曲线f(x)切线斜率的最小值；(2)若g(x)=x2f(x)有两个不同的极值点x1，x2．(i)求a的取值范围；(ii)求证：x1x2>e−2a．19.(本小题17分)已知函数f(x)=ex−ax+1(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)=ax−2lnx2，且f(x)与g(x)有相同的最小值．(i)求a的值；(ii)已知x1，x2∈(0,+∞)，且f(x1)=g(x2)，求证：2ex1>x2．答案解析1.【答案】C 【解析】解：命题“∀x∈R，x2+ax+1>0”的否定为∃x∈R，x2+ax+1≤0．故选：C．结合命题否定的定义，即可求解．本题主要考查命题否定的定义，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：A={x|y= 1−x}={x|x≤1}，则∁RA={x|x>1}；B={x|y=ln(2−x)}}={x|x<2}，故(∁RA)∩B=(1,2)．故选：B．根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解．本题主要考查集合的混合运算，属于基础题．3.【答案】D 【解析】解：因为集合A={1,3,a2}，B={1,a+2}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⫋A，所以a+2=3或a+2=a2，解得a=1或a=2或a=−1，当a=1时，A={1,3,1}，与集合元素的互异性矛盾，当a=2，A={1,3,4}，B={1,4}，符合题意；当a=−1时，A={1,3,1}，与集合元素的互异性矛盾，故a=2．故选：D．由题意可得，B⫋A，然后结合集合包含关系即可求解．本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题．4.【答案】B 【解析】解：因为y=(12)x与y=−lgx在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)=(12)x−lgx在(0,+∞)上单调递减，又因为f(1)=12>0，f(2)=14−lg2=lg410−lg416<0，所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选：B．判断出函数的单调性，再结合零点存在定理即可得答案．本题考查了指数函数、对数函数的性质，考查了零点存在定理，属于基础题．5.【答案】A 【解析】解：因为f(π)=π2>0，所以排除BD，又f(π6)=π12−12<0，故C错误，A正确．故选：A．根据f(π)的符号以及f(π6)的符号，可判断正确图象．本题主要考查由函数解析式判断函数图象，属于中档题．6.【答案】C 【解析】解：若函数f(x)=x3+ax2+b的图象关于点(2,0)对称，则f′(x)=3x2+2ax，f″(x)=6x+2a=0，所以f″(2)=12+2a=0，所以a=−6．故选：C．先对函数求导，结合对称性的性质即可求解．本题主要考查了函数对称性的应用，属于基础题．7.【答案】B 【解析】解：函数f(x)=xlnx−x+k的定义域为(0,+∞)，令f(x)=xlnx−x+k=0，得−k=xlnx−x，令g(x)=xlnx−x(x>0)，则g′(x)=1+lnx−1=lnx，当x>1时，g′(x)>0，当00)有两个不同的交点，所以−1<−k<0，即00)有两正根，令g(x)=xlnx−x(x>0)，求导分析，可得答案．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．8.【答案】A 【解析】解：令g(x)=f(x)x−x(x≠0)，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x2−1=xf′(x)−f(x)−x2x2，∵当x>0时，xf′(x)−f(x)>x2，即当x>0时，g′(x)>0，即当x∈(0,+∞)时，g(x)为增函数，∵f(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，y=x为奇函数，∴g(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，∴当x∈(−∞,0)时，g(x)为增函数，又f(−1)=f(1)=1，g(−1)=−g(1)=−[f(1)1−1]=0，∴f(x)x>x等价于g(x)>0=g(1)，∴x>1或−11>0.73，故A正确；对于B，lg3>0，ln0.9<0，故B错误；对于C，log34−log56=lg4lg3−lg6lg5=lg4lg3−lg4+lg32lg3+lg53>lg4lg3−lg4+lg53lg3+lg53=(lg4−lg3)lg53lg3(lg3+lg53)>0，故log34>log56，C正确；对于D，0.40.3>0.40.4>0.30.4，故D错误．故选：AC．根据指数函数、幂函数、对数函数的性质以及对数运算性质对各选项进行逐项判断．本题主要考查对数值比较大小，属于中档题．10.【答案】ACD 【解析】解：因为f(x)=12a2x2−3ax+2lnx,x>0，所以f′(x)=a2x−3a+2x=a2x2−3ax+2x=(ax−1)(ax−2)x，因为函数f(x)在x=1处取得极大值，所以f′(1)=(a−1)(a−2)=0，解得a=1或a=2，当a=2时，f′(x)=(2x−1)(2x−2)x，当01时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当122时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1