2024-2025学年安徽省黄山市高二下学期期末质量检测数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年安徽省黄山市高二下学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知z=2i1+i，则z对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.已知集合A={x|−2≤lg x≤1}，B=1100,110,10,100，则A∩B=A. 110 B. 1100,110,10 C. {10,100} D. 110,103.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=16，则S6=A. 26 B. 28 C. 30 D. 324.函数f(x)=cosxex+e−x的部分图象可能为A. B. C. D. 5.设M为椭圆P：x24+y2=1和双曲线Q：x22−y2=1的一个公共点，且M在第四象限，F是P的左焦点，则|MF|=A. 2+ 2 B. 2− 2 C. 2 2−1 D. 2 2+16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AD1与平面ACB1所成的角的正弦值为A. 13 B. 23 C. 33 D. 637.从1，2，22，…，29中任取3个数，使这3个数恰好成等比数列的不同取法有(    )种．A. 18 B. 20 C. 22 D. 248.甲、乙两人各抛掷一枚质地均匀的硬币，甲抛掷3次，乙抛掷2次，且每次抛掷结果相互独立，则甲正面向上次数大于乙正面向上次数的概率是A. 12 B. 35 C. 23 D. 34二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．假设其坐公交车用时X和骑自行车用时Y均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则A. E(X)

12.(1−2x)8的展开式中含x3的项的系数为          ．13.已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=2n−1(n∈N∗)，则i=119ai=           ．14.已知函数g(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2的两相邻对称轴之间的距离为1，且对任意的x∈R，g(x)≤g12恒成立．若函数f(x)=11−x，则方程f(x)−g(x)=0在x∈[−2024,2026]上的所有实数根之和等于          ．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知函数f(x)=ex(x+a)−x2+2x在点(0,f(0))处的切线与直线x+y=0垂直．(1)求a；(2)求f(x)的单调区间和极值．16.(本小题15分)如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，点M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△APM，连接PC、PD，点N为PD中点．(1)求证：CN//面APM；(2)若CN⊥AD，求二面角P−CD−A的余弦值．17.(本小题15分)已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点A(1,0)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=−4 5x准线上．过双曲线C上一点P作直线l与C的两条渐近线分别交于M，N两点，且MP=PN．(1)求双曲线C的方程；(2)求△MON的面积(O为坐标原点)．18.(本小题17分)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加了跳远比赛，为了鼓励同学们跳出更好的成绩，学校规定在比赛中第一跳成绩在6.00 m以上(含6.00 m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：6.22，6.09，6.06，6.02，5.97，5.93，5.89，5.84，5.80，5.78；乙：6.31，6.15，5.86，5.75；丙：6.26，6.11，6.08，6.03，5.94，5.82；假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)设X是甲、乙、丙在校运动会跳远比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；(2)在校运动会跳远比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)(3)为了夺得校运动会跳远比赛的冠军，甲进行了刻苦的训练，赛前甲进行了三次试跳，成绩分别为：6.22 m，6.18 m，6.14 m.根据试跳结果，能否认为甲通过刻苦训练提升了跳远水平？请说明理由．参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，α0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.87919.(本小题17分)对于实数a，给定实数r∈(0,1)，若存在一个递增的无穷正整数数列{an}，使得a=limn→+∞i=1nrai，则称数列{an}是a的一个r级展开．(1)若数列{2n−1}是a的一个12级展开，求a；(2)若a>1，试判断a是否存在12级展开？若存在，求出数列{an}，若不存在，说明理由；(3)已知r0是方程x3+3x−1=0的实根，证明：13有且仅有一个r0级展开．参考答案1.A 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7.B 8.A 9.ACD 10.AC 11.ACD 12.−448 13.172 14.1012 15.解：(1)由题意：f′(x)=ex(x+a+1)−2x+2，所以函数在点(0,f(0))处的切线切线斜率f′(0)=a+3，直线x+y=0的斜率为−1，且函数在点(0,f(0))处的切线与直线x+y=0垂直，所以 a+3=1，解得a=−2．(2) 由(1)知a=−2，因此f(x)=ex(x−2)−x2+2x，  f′(x)=ex(x−1)−2x+2=(x−1)(ex−2)，令f​′(x)=0，解得 x=1或 x=ln 2，当x0，函数f(x)单调递增；  当ln 21时， f​′(x)>0，函数单调递增，因此，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,ln2)和(1,+∞)，单调递减区间为(ln 2,1)，在x=ln 2处，函数取得极大值，且为f(ln 2)=4ln 2−(ln 2)2−4；在x=1处，函数取得极小值，且为f(1)=−e+1． 16.(1)证明：取AD的中点E，连接CE，NE，AC，如图：在菱形ABCD，因为AB=2，∠ABC=60∘，所以△ABC,△ACD为等边三角形，点M为BC中点，所以AM⊥BC，则AM⊥AD，由E为AD的中点，所以CE⊥AD，则AM//CE，又CE⊄平面PAM，AM⊂平面PAM，所以CE//平面PAM，因为E，N分别为AD，PD中点，则NE//AP，又NE⊄平面PAM，PA⊂平面PAM，所以NE//平面PAM，又因为NE,CE⊂平面CNE，NE∩CE=E，所以平面CNE//平面PAM，又CN⊂平面CNE，所以CN // 平面APM．(2)解：以M为原点，MA，MB所在直线分别为x，y轴，过M作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，已知AB=2，∠ABC=60∘，则AM= 3，MB=1，所以M(0,0,0)，A( 3,0,0)，B(0,1,0)，C(0,−1,0)，D( 3,−2,0)，则AD=(0,−2,0)，设P(x,y,z)，y>0，因为点N为PD中点，则N(x+ 32,y−22,z2)，则CN=(x+ 32,y2,z2)，由CN⊥AD，则CN⋅AD=−y=0，解得y=0，又PA=AB=2，PM=BM=1，则(x− 3)2+y2+z2=4x2+y2+z2=1y=0,解得x=y=0，z=1，所以P(0,0,1)，则PC=(0,−1,−1)，PD=( 3,−2,−1)，设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PC=−y−z=0n⋅PD= 3x−2y−z=0,令x= 3，得n=( 3,3,−3)，平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1)，设二面角P−CD−A的平面角为θ，则cosθ=|n⋅m||n|⋅|m|=3 21×1=3 2121，因为二面角为锐角，所以二面角P−CD−A的余弦值为3 2121． 17.解：(1)由双曲线右顶点A(1,0)，得a=1，抛物线y2=−4 5x中2p=4 5，故p=2 5，其准线方程为x=p2= 5，因为双曲线的一个焦点在该准线上，故双曲线的右焦点为( 5,0)，即c= 5，所以b2=c2−a2=5−1=4，因此双曲线C的方程为x2−y24=1；(2)显然直线l不垂直于y轴，设直线l方程为x=ty+m，则直线l交x轴于点(m,0), 由(1)知，双曲线C的渐近线为4x2−y2=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，由x=ty+m4x2−y2=0，消去x得(4t2−1)y2+8tmy+4m2=0，则 {4t2−1≠0Δ=64t2m2−16m2(4t2−1)=16m2>0， y1+y2=−8tm4t2−1,y1y2=4m24t2−1<0 ，有 t2<14 ，由MP=PN ，得P为线段MN中点，点P(−m4t2−1,−4tm4t2−1)，而点P在双曲线C：x2−y24=1 上，所以m2(4t2−1)2−4t2m2(4t2−1)2=1，整理得1−4t2=m2，又|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2= 64t2m2(4t2−1)2−16m2(4t2−1)=4m1−4t2 ，又原点到直线l的距离d=m 1+t2，所以△MON的面积为S=12·m 1+t2 1+t2|y1−y2|=12m⋅|y1−y2|=2m21−4t2=2． 18.解：(1)甲的10次成绩中，大于或等于6.00m的有4次，故甲获得优秀奖的概率P甲=410=25； 乙的4次成绩中，大于或等于6.00m的有2次，故乙获得优秀奖的概率P乙=24=12；丙的6次成绩中，大于或等于6.00m的有4次，故丙获得优秀奖的概率P丙=46=23，X的取值可以是0，1，2，3，则P(X=0)=35×12×13=110；P(。