抛物型方程讲义.doc

5 算子半群方法及其应用一、基本思想以热传导方程的初边值问题为例介绍算子半群方法，它亦运用于双曲型方程、Schrodinger方程等. 考虑用分离变量法求解 （1）可得， （2）其中.解的分析：（A）若，则级数（2）在时绝对收敛，且对，时级数（2）及其关于或逐项求导所得的级数均一致收敛.（B）由（A）可知（2）中给出的满足（1）中方程和边界条件；又由可知，当时，在中收敛于，即满足（1）中的初始条件. 故按上述意义，（2）中给出的满足（1），成为该初边值问题的解.（C）在（2）中将固定，把（2）视为从到的一个映射，记为，即有 （3）对，是的一个线性映射.若，对，，且故， （4） 注意到对，，故（恒同算子）综上，算子族构成单参数半群.（D）是一个单参数线性连续压缩算子半群. 因为对，由于时，，因此当时关于为强连续的. 又由于在中， （6）从而，即是压缩算子.推广：以上方法具有普适性，可用来求解随时间演化的PDE初边值问题，如 （7）其中为定义在某个特定函数空间上的偏微分算子（或算子矩阵），当然该初边值问题的边界条件给定，以适当的方式出现在的定义域中.问题：如何利用算子半群表示（7）中的解？即如何利用诱导一个单参数算子族？二、无穷小生成元定义1 设为一给定的Hilbert空间，是上的一族线性算子，且满足以下条件：（1）；（2），；（3），；（4），则称是单参数线性连续压缩算子半群，简称压缩算子半群.定义2 是Hilbert空间上的压缩算子半群，记集合 （8）则可定义的算子为，称为算子半群的无穷小生成元.注：定义2中，是算子的定义域，它是中使在处关于可求导的元素的全体；表示在点关于的导算子.问题：若给定，则必有无穷小生成元，但给定无穷小生成元，问是否能作为某个压缩算子半群的无穷小生成元？下面的引理与定理试图回答这个问题.引理1 无穷小生成元的定义域是上的稠密集，且对，有，和 （9） Proof： 记，则对， 令，右端以为极限，故，且. 又时，，所以在中稠密.引理2 对，有 （10）由此可知为闭算子. Proof：若，，则有 ，令，得， （11）其中表示右导数. 同理当时，有令，得 （12）其中表示左导数.（11）与（12）表明，且将（11）从0到积分，并注意到，则得（10）式.再证为闭算子. 事实上，若，且，在中成立，则令，得再令，得 所以，且，即为闭算子. 定理1（存在性定理）设是Hilbert空间中给定的线性算子，则是某个压缩算子半群的无穷小生成元Proof：先证必要性. 若是压缩算子半群的无穷小生成元，则由上述引理1和2可知，为稠密闭算子.又对于，易证也是一个压缩算子半群，它的无穷小生成元是，以为其定义域，由（9）和（10），得 （13） （14）因为，所以（13）、（14）中的积分收敛.又由的有界性可知，当时，，. 故在（13）、（14）式中，当时， （15） （16）由（15）式可知，为单映射，又由于，因此.由（16）式可知，为满映射，因为中任一元素均在的值域中.由（16）可得， （17）故 再证充分性：利用构造一个压缩算子半群，分三步进行.Step1 用有界算子来逼近.对一切，是的单映射与满映射，且故可取从而因此 （18）且，故是定义在上的线性连续算子.由（18）式，当时，从而对一切，当时，.由于是中的稠密集，又由知，关于是一致有界的，故对一切，有. 于是当时，Step2 利用给算子半群当时，定义 （19）显然为一个线性有界算子，当时，又定义 （20）易证构成一个压缩算子半群. 事实上，定义1中的条件（1）、（2）显然满足；又从可知是压缩的. 而当时，从而关于连续.显然的无穷小生成元就是，即Step3 证明存在，且为所要求的半群.对，有从而当时，构成一个关于有限区间中的是一致的Cauchy序列. 于是在中关于一致收敛.再利用可得，对，在中收敛，且当属于有限区间时，这种收敛是一致的. 据此可定义： （21）易见是中的线性算子，，.由于（21）式中的收敛在有限区间上一致的，且，因此. 最后的压缩性可由的压缩性导出，从而满足定义1中的全部条件，故构成压缩算子半群. 下面证明算子半群以为无穷小生成元. 事实上，若，则在上一致成立. 由于是算子半群的无穷小生成元，故令，得所以当时，.记为算子半群的无穷小生成元，则，且当时，于是是的扩张. 从而是的扩张. 由假设知，是满映射，则由前述必要性推导知为单映射，故不能再在以外定义，否则与为单映射矛盾. 从而有，，即为算子半群的无穷小生成元.定理2（唯一性定理）设是上给定的两个压缩算子半群，它们有相同的无穷小生成元，即则对，有.Proof：由（16）式知，对，取与上式两端作内积，得所以对，有故.三、一般线性算子半群的情形定义3 对上的算子族，若满足定义1中的条件（1）、（2）、（3），则称是单参数线性连续算子半群，或简称算子半群.又若对有定义，且定义1中的条件（2）对成立，则称为算子群.定理3 若是Hilbert空间上的算子半群，则必有与无关的常数与，使得证明略去.注：对一般的算子半群，可定义其无穷小生成元，其定义域及算子本身仍可表示成定义2中的和.一般算子半群与其无穷小生成元的关系可由如下Hill-Yoshida定理给出.定理4 设是Hilbert空间上的算子半群，. 算子为的无穷小生成元，则（1）是中的稠密闭算子；（2）对任意复数，若，则是的单映射与满映射，且对，.反之，若为定义在上的一个线性算子，满足条件（1）、（2），则必为一个算子半群的无穷小生成元，且证明略去.四、算子半群方法在抛物线方程的初边值问题中的应用定义4 设为Hilbert空间上的线性算子，若它满足，则称算子为增生的（accretive）.定理5 线性算子可作为上某个压缩算子半群的无穷小生成元的充分必要条件是：（1）是中的稠密闭算子；（2）是增生算子；（3）对某个，是满映射.证明略去.利用算子半群方法求解抛物型方程的初边值问题的步骤：Step1 将其化成抽象问题其中是一个微分算子，的定义域应将边界条件包括在内.Step2 当满足一定条件时，作出一个算子半群，它以为无穷小生成元.Step3 求得抽象问题的解.Step4 回到定解问题，得所需之解.例：考虑其中系数对称，，满足一致椭圆条件：记，，于是有如下定理：定理6 在上述假设下，又设，，则存在唯一解它满足（22）、（23），且对，，并按迹的意义满足（24）.证明略去.对，有下面定理：定理7 在上述假设和定理5的假设下，设，则存在唯一解. 证明略去.。