基本初等函数与初等函数.ppt

y=cOxy第三节第三节 基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数一、一、 基本初等函数基本初等函数常量函数、常量函数、指数函数、指数函数、 对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、 反三角函数反三角函数幂函数、幂函数、1 1．常量函数：．常量函数： （（c为任意常数）为任意常数） 2.幂函数幂函数1、图形都通过点（、图形都通过点（1，，1）2、、时，图形过原点，时，图形过原点， 且在且在内内单调增加单调增加3、、时，图形在时，图形在内内单调减少单调减少图像特点：图像特点：例例1：：求函数求函数的的定义域解：解：3、指数函数、指数函数它的定义域是整个实数它的定义域是整个实数性质：性质：（（1）图形在）图形在 x 轴的上方轴的上方（（2）图形均过点）图形均过点（（3））曲线从左到右逐渐上升曲线从左到右逐渐上升曲线从左到右逐渐下降曲线从左到右逐渐下降但但与与 x 轴不相交轴不相交.以以无理数无理数为底的为底的指数函数指数函数是是常用的实数函数常用的实数函数.指数函数的运算性质指数函数的运算性质:例例2: 比较下列数值的大小比较下列数值的大小解解:解解:4. 对数函数对数函数的的反函数记为反函数记为称为对数函数称为对数函数,性质性质:（（2）图形在）图形在 y 轴的右方轴的右方（（1）图形均过点）图形均过点不不 与与 y 轴相交轴相交.曲线从左到右逐渐上升。

曲线从左到右逐渐上升曲线从左到右逐渐下降曲线从左到右逐渐下降3)对数函数的运算性质：对数函数的运算性质：以以 e 为底的对数为底的对数是是常用的对数，常用的对数，称为自然对数，记为称为自然对数，记为5、三角函数、三角函数在在直角三角形中：直角三角形中：正弦正弦余弦余弦正切正切余切余切正割正割余割余割任意三角形：任意三角形：角角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的当当射线绕着它的端点旋转一周射线绕着它的端点旋转一周以上，就形成大于以上，就形成大于3600 的角习惯上规定：习惯上规定：逆时针方向逆时针方向旋转而成的角是旋转而成的角是正角正角顺时针方向顺时针方向旋转而成的角是旋转而成的角是负角负角角的角的度量单位用弧度（实数）：度量单位用弧度（实数）：1 弧度＝弧度＝弧度弧度（（1）正弦函数）正弦函数在在直角坐标系中取单位圆直角坐标系中取单位圆在在圆周上任意一点圆周上任意一点从现在开始角度用弧度从现在开始角度用弧度x 表示表示圆的圆的半径半径1、、是是有界函数有界函数图形图形性质：性质：是奇是奇函数函数4、周期、周期3、、是单是单增函数（（2）余弦函数）余弦函数图形图形1、、是是有界函数有界函数是是偶函数偶函数4、周期、周期3、、是单是单减函数。

减函数性质性质值域值域W: [-1, 1]注：注：（（3）正切函数）正切函数图形图形性质性质（（1）在定义域中是无界函数在定义域中是无界函数2）是奇函数）是奇函数（（3）在）在内是内是单调增函数单调增函数4）周期为）周期为（（4）余切函数）余切函数图形图形性质性质（（1）在定义域中是无界函数在定义域中是无界函数2）是奇函数）是奇函数（（3）在）在内是内是单调减函数单调减函数4）周期为）周期为常用的三角函数的公式常用的三角函数的公式5.反三角函数反三角函数性质性质（（1）在）在[ -1, 1] 上有界函数上有界函数2）是奇函数是奇函数3）在）在上是单调增函数上是单调增函数反余弦函数反余弦函数性质性质（（1）在）在[ -1, 1 ]是有界函数是有界函数2）是非奇非偶函数）是非奇非偶函数（（3）在）在上是单调减函数上是单调减函数反正切函数反正切函数性质性质（（1）在）在（（2）是奇函数）是奇函数（（3）在）在上是单调增函数上是单调增函数内是内是有界函数有界函数性质性质（（1）在）在（（2）是非奇非偶函数）是非奇非偶函数（（3）在）在上是单调减函数上是单调减函数内是内是有界函数有界函数反余切函数反余切函数 由基本初等函数经过有限次四则运算得出的函数由基本初等函数经过有限次四则运算得出的函数称为简单函数。

称为简单函数如：如：都是简单函数都是简单函数都不是简单函数都不是简单函数二、二、 复合函数复合函数 1 1、简单函数、简单函数是由基本初等函数是由基本初等函数与简单函数与简单函数所构成 函数函数 g 在在E上的值域上的值域 g(E) 必须含在必须含在 f 的定义域内，即的定义域内，即g (E) D. 否则，不能构成复合函数否则，不能构成复合函数. 设函数设函数 y = f (u)的定义域为的定义域为D，函数，函数u=g (x)在在E上有上有定义，且定义，且 g(E)  D，则由下式确定的函数，则由下式确定的函数 y = f [g (x)]，，x∈∈E 函数函数g与函数与函数 f 能构成复合函数的条件是能构成复合函数的条件是:称为由函数称为由函数 y = f (u)和函数和函数u = g (x)构成的构成的复合函数复合函数，它，它的定义域为的定义域为E，变量，变量u称为称为中间变量中间变量. 两个及多个函数能够构成复合函数的过程叫两个及多个函数能够构成复合函数的过程叫函数的复函数的复合运算合运算.定义（复合函数）定义（复合函数） 复合函数复合函数 y = arcsin(x2-1) 的定的定义域域为 例例3 函数函数 y = arcsin(x2   1)可以看成是函数可以看成是函数 y = f (u) = arcsinu 和和 u=g (x)= x2   1 y = f (u)的定的定义域域D={u | |u|≤1}, u = g (x) 的定的定义域域E={x | < x < +  }，，复合而成的函数复合而成的函数. 最后一个中间变量与最后一个中间变量与的形式，之前中间变量的形式，之前中间变量都应该是基本初等函数的形都应该是基本初等函数的形分解复合函数的原则是：分解复合函数的原则是：自变量的关系是简单函数自变量的关系是简单函数式。

式例例4 4 分析下列函数是由几重基本初等函数所构成分析下列函数是由几重基本初等函数所构成，，并写出其中间变量并写出其中间变量. .（（2 2））（（3 3））解解 （（1 1））（（2 2））（（3 3））（（1 1））有一有一类既不能称既不能称为幂函数也不能称函数也不能称为指数函数的函数，指数函数的函数，其底数部分和指数部分都是自其底数部分和指数部分都是自变量量 x 的表达式，像的表达式，像形式的函数称形式的函数称为幂指函数指函数. . 三、三、 幂指函数幂指函数如如等，等，四、四、 初等函数初等函数 由基本初等函数由基本初等函数经过有限次的四有限次的四则运算和有限次的复运算和有限次的复合运算得到的可用一个式子表示的函数称合运算得到的可用一个式子表示的函数称为初等函数初等函数. 例如，例如，等都是初等函数等都是初等函数. .非初等函数举例非初等函数举例:符号函数符号函数当 x > 0当 x = 0当 x < 0取整函数取整函数当无穷级数无穷级数 如：如：。