第十一节 导数在研究函数中的应用 考考纲考情考情广广东五年五年4 4考 高考指数考 高考指数: :★★★★☆★★★★☆ 1.1.了解函数的了解函数的单调性与性与导数的关系数的关系; ;能利用能利用导数研究函数研究函数的数的单调性性, ,会求函数的会求函数的单调区区间( (其中多其中多项式函数不超式函数不超过三次三次) )2.2.了解函数在某点取得极了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件的必要条件和充分条件; ;会会用用导数求函数的极大数求函数的极大值、极小、极小值( (其中多其中多项式函数不超式函数不超过三次三次););会求会求闭区区间上函数的最大上函数的最大值、最小、最小值( (其中多其中多项式函数不超式函数不超过三次三次) )五年五年考考题20132013 T21T21 20122012 T21T2120112011 T12T12 20092009 T20T20 考情考情播播报1.1.利用利用导数求函数的数求函数的单调区区间及极及极值( (最最值) )、、结合合单调性与不等式的成立情况求参数范性与不等式的成立情况求参数范围、、证明不等式等明不等式等问题是高考命是高考命题的的热点点2.2.常与基本初等函数的常与基本初等函数的图象与性象与性质、解析几何、不等、解析几何、不等式、方程等交式、方程等交汇命命题, ,主要考主要考查转化与化化与化归思想、分思想、分类讨论思想的思想的应用用3.3.题型主要以解答型主要以解答题为主主, ,属中高档属中高档题 【知【知识梳理】梳理】1.1.函数的函数的单调性与性与导数的关系数的关系增函数增函数常量函数常量函数减函数减函数 2.2.函数的极值与导数函数的极值与导数(1)(1)极值的概念极值的概念f(x)f(x)＜＜f(xf(x0 0) )极大值点极大值点f(x)f(x)＞＞f(xf(x0 0) )极极小值点小值点 (2)(2)利用利用导数求极数求极值的步的步骤①①求求导数数f′(x);f′(x);②②求方程求方程f′(x)=0f′(x)=0的根的根; ;③③列表列表, ,检验f′(x)f′(x)在方程在方程f′(x)=0f′(x)=0的根左右两的根左右两侧的符号的符号( (判断判断y=f(x)y=f(x)在根左右两在根左右两侧的的单调性性),),如果如果_________(_________(左增右减左增右减),),那那么么f(x)f(x)在在这个根个根处取得取得_______,_______,如果如果_________(_________(左减右增左减右增),),那那么么f(x)f(x)在在这个根个根处取得取得_______._______.如果左右两如果左右两侧符号一符号一样, ,那么那么这个根不是极个根不是极值点点. .④④得极得极值, ,由表得极大由表得极大值与极小与极小值. .左正右左正右负极大极大值左左负右正右正极小极小值 3.3.求函数求函数f(x)f(x)在在[a,b][a,b]上最上最值的步的步骤(1)(1)求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内的内的_____._____.(2)(2)将函数将函数y=f(x)y=f(x)的各的各__________与端点与端点处的的________________________________比比较, ,其中最大的一个是最大其中最大的一个是最大值, ,最小的一个是最小最小的一个是最小值, ,得出函数得出函数f(x)f(x)在在[a,b][a,b]上的最上的最值. .极极值极极值函数函数值f(a),f(b)f(a),f(b) 【考点自【考点自测】】1.(1.(思考思考) )给出下列命出下列命题: :①f′(x)>0①f′(x)>0是是f(x)f(x)为增函数的充要条件增函数的充要条件; ;②②函数在某区函数在某区间上或定上或定义域内的极大域内的极大值是唯一的是唯一的; ;③③函数的极大函数的极大值不一定比极小不一定比极小值大大; ;④④对可可导函数函数f(x),f′(xf(x),f′(x0 0)=0)=0是是x x0 0点点为极极值点的充要条件点的充要条件; ;⑤⑤函数的最大函数的最大值不一定是极大不一定是极大值, ,函数的最小函数的最小值也不一定是极小也不一定是极小值. .其中正确的是 其中正确的是 ( ( ) ) A.①③ B.②④ C.③⑤ D.④⑤A.①③ B.②④ C.③⑤ D.④⑤【解析】【解析】选选C.①C.①错误错误.f′(x)>0.f′(x)>0能推出能推出f(x)f(x)为增函数为增函数, ,反之不一反之不一定定. .如函数如函数f(x)=xf(x)=x3 3在在(-∞,+∞)(-∞,+∞)上单调递增上单调递增, ,但但f′(x)≥0.f′(x)≥0.所以所以f′(x)>0f′(x)>0是是f(x)f(x)为增函数的充分条件为增函数的充分条件, ,但不是必要条件但不是必要条件. .②②错误错误. .一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个个. .③③正确正确. .一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系, ,极大极大值可能比极小值大值可能比极小值大, ,也可能比极小值小也可能比极小值小. . ④④错误错误. .对可导函数对可导函数f(x),f′(xf(x),f′(x0 0)=0)=0只是只是x x0 0点为极值点的必要条点为极值点的必要条件件, ,如如y=xy=x3 3在在x=0x=0时时f′(0)=0,f′(0)=0,而函数在而函数在R R上为增函数上为增函数, ,所以所以0 0不是不是极值点极值点. .⑤⑤正确正确. .当函数在区间端点处取得最值时当函数在区间端点处取得最值时, ,这时的最值不是极值这时的最值不是极值. . 2.2.函数函数y= xy= x2 2-lnx-lnx的的单调递减区减区间为( ( ) )A.(-1,1]A.(-1,1]B.(0,1]B.(0,1]C.[1,+∞)C.[1,+∞) D.(0,+∞) D.(0,+∞)【解析】【解析】选选B.B.由题意知函数的定义域为由题意知函数的定义域为(0,+∞),(0,+∞),又由又由y′=x- ≤0,y′=x- ≤0,解得解得02x>2时，时，f′(x)>0f′(x)>0，所以，所以x=2x=2为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点. . 5.(2014·5.(2014·杭州模拟杭州模拟) )函数函数y=x+2cos xy=x+2cos x在区间在区间 上的最大值上的最大值是是 . .【解析】【解析】y′=1-2sin x,y′=1-2sin x,令令y′=0,y′=0,且且x∈ x∈ ，得，得x= ,x= ,则则x∈ x∈ 时，时，y′>0;x∈ y′>0;x∈ 时，时，y′<0,y′<0,故函数在故函数在 上递增，在上递增，在 上递减，上递减，所以当所以当x= x= 时，函数取最大值，为时，函数取最大值，为 . .答案：答案： 6.(2014·6.(2014·济南模南模拟) )已知函数已知函数f(x)f(x)的定的定义域域为[-1,5],[-1,5],部分部分对应值如下表如下表: :f(x)f(x)的的导函数函数y=f′(x)y=f′(x)的的图象如象如图所示所示. .x x-1-10 02 24 45 5y y1 12 20 02 21 1 (1)f(x)(1)f(x)的极小的极小值为 . .(2)(2)若函数若函数y=f(x)-ay=f(x)-a有有4 4个零点个零点, ,则实数数a a的取的取值范范围为 . .【解析】【解析】(1)(1)由由y=f′(x)y=f′(x)的图象可知的图象可知, ,所以所以f(2)f(2)为为f(x)f(x)的极小值的极小值,f(2)=0.,f(2)=0.x x(-1,0)(-1,0)0 0(0,2)(0,2)2 2(2,4)(2,4)4 4(4,5)(4,5)f′(x)f′(x)+ +0 0- -0 0+ +0 0- -f(x)f(x)↗↗极大值极大值↘↘极小值极小值↗↗极大值极大值↘↘ (2)y=f(x)(2)y=f(x)的大致图象如图所示的大致图象如图所示: :若函数若函数y=f(x)-ay=f(x)-a有有4 4个零点个零点, ,则则a a的取值范围为的取值范围为1≤a<2.1≤a<2.答案答案: :(1)0(1)0 (2)[1,2)(2)[1,2) 考点考点1 1 利用利用导数确定函数的数确定函数的单调性性 【典例【典例1 1】】(1)(2014·(1)(2014·武武汉模模拟) )已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的的图象关于象关于y y轴对称称, ,且当且当x∈(-∞,0)x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0,f(x)+xf′(x)<0成立成立. .a=(2a=(20.20.2)·f(2)·f(20.20.2),b=(log),b=(logππ3)·f(log3)·f(logππ3),3),c=(logc=(log3 39)·f(log9)·f(log3 39),9),则a,b,ca,b,c的大小关系是 的大小关系是 ( ( ) )A.b>a>cA.b>a>cB.c>a>bB.c>a>bC.c>b>aC.c>b>aD.a>c>bD.a>c>b (2)(2013·(2)(2013·新新课标全国卷全国卷Ⅰ)Ⅰ)已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x(ax+b)-x(ax+b)-x2 2-4x,-4x,曲曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(0,f(0))(0,f(0))处的切的切线方程方程为y=4x+4.y=4x+4.①①求求a,ba,b的的值. .②②讨论f(x)f(x)的的单调性性, ,并求并求f(x)f(x)的极大的极大值. . 【解题视点】【解题视点】(1)(1)根据已知条件构造函数根据已知条件构造函数y=xf(x),y=xf(x),并用导数确并用导数确定其单调性定其单调性, ,利用单调性比较利用单调性比较a,b,ca,b,c大小大小. .(2)①(2)①根据根据f(0)=f′(0)=4f(0)=f′(0)=4构建关于构建关于a,ba,b的方程求解的方程求解. .②②根据根据①①确定确定f(x)f(x)的解析式的解析式, ,利用导数确定利用导数确定f(x)f(x)的单调性的单调性. . 【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.因为函数因为函数y=f(x)y=f(x)关于关于y y轴对称轴对称, ,所以函数所以函数y=xf(x)y=xf(x)为奇函数为奇函数. .因为因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),所以当所以当x∈(-∞,0)x∈(-∞,0)时时,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0,,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0,函数函数y=xf(x)y=xf(x)单调递减单调递减, ,当当x∈(0,+∞)x∈(0,+∞)时时, ,函数函数y=xf(x)y=xf(x)单调递减单调递减. .因为因为1<21<20.20.2<2,0a>c,b>a>c,选选A.A. (2)①(2)①由已知得函数的定义域为由已知得函数的定义域为R,R,f′(x)=ef′(x)=ex x(ax+a+b)-2x-4.(ax+a+b)-2x-4.由已知得由已知得f(0)=4,f′(0)=4.f(0)=4,f′(0)=4.故故b=4,a+b=8,b=4,a+b=8,从而从而a=4,b=4.a=4,b=4. ②②由由①①知知,f(x)=4e,f(x)=4ex x(x+1)-x(x+1)-x2 2-4x,-4x,f′(x)=4ef′(x)=4ex x(x+2)-2x-4=4(x+2) .(x+2)-2x-4=4(x+2) .令令f′(x)=0,f′(x)=0,得得x=-ln2x=-ln2或或x=-2.x=-2.从而当从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时时,f′(x)>0;,f′(x)>0;当当x∈(-2,-ln2)x∈(-2,-ln2)时时,f′(x)<0;,f′(x)<0;故故f(x)f(x)在在(-∞,-2),(-ln2,+∞)(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增上单调递增, ,在在(-2,-ln2)(-2,-ln2)上单调递减上单调递减. .当当x=-2x=-2时时, ,函数函数f(x)f(x)取得极大值取得极大值, ,极大值为极大值为f(-2)=4(1-ef(-2)=4(1-e-2-2).). 【互【互动探究】探究】若本例若本例题(2)(2)中所有条件中所有条件变为““已知函数已知函数f(x)=f(x)=-alnx+ +x(a≠0)”-alnx+ +x(a≠0)”讨论f(x)f(x)的的单调性性. .【解析】【解析】依题意得函数的定义域为依题意得函数的定义域为(0,+∞),(0,+∞),因为因为①①当当a>0a>0时，时，由由f′(x)>0,f′(x)>0,及及x>0x>0得得x>2a;x>2a;由由f′(x)<0,f′(x)<0,及及x>0x>0得得00a>0时，函数时，函数f(x)f(x)在在(2a,+∞)(2a,+∞)上单调递增，在上单调递增，在(0,2a)(0,2a)上上单调递减单调递减. . ②②当当a<0a<0时，由时，由f′(x)>0f′(x)>0及及x>0x>0得得x>-a;x>-a;由由f′(x)<0f′(x)<0及及x>0x>0得得00a>0时，函数时，函数f(x)f(x)在在(2a,+∞)(2a,+∞)上单调递增，在上单调递增，在(0,2a)(0,2a)上单调上单调递减递减. . 【易错警示】【易错警示】求单调区间时要先关注函数的定义域求单调区间时要先关注函数的定义域 利用导数确定函数的单调性利用导数确定函数的单调性( (区间区间),),切记应先求定义域切记应先求定义域, ,再再考虑导数的符号考虑导数的符号, ,特别在确定含参数函数的单调性时特别在确定含参数函数的单调性时, ,要注意分要注意分类讨论类讨论. .如本题中函数的定义域为如本题中函数的定义域为(0,+∞),(0,+∞),若解题时未求出此若解题时未求出此定义域定义域, ,则会导致错误则会导致错误. . 【规律方法】【规律方法】用导数求函数的单调区间的用导数求函数的单调区间的““三个方法三个方法””(1)(1)方法一方法一: :当不等式当不等式f′(x)>0(f′(x)>0(或或f′(x)<0)f′(x)<0)可解时可解时, ,①①确定函数确定函数y=f(x)y=f(x)的定义域的定义域; ;②②求导数求导数y′=f′(x);y′=f′(x);③③解不等式解不等式f′(x)>0,f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间解集在定义域内的部分为单调递增区间; ;④④解不等式解不等式f′(x)<0,f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间解集在定义域内的部分为单调递减区间. . (2)(2)方法二方法二: :当方程当方程f′(x)=0f′(x)=0可解时可解时, ,①①确定函数确定函数y=f(x)y=f(x)的定义域的定义域; ;②②求导数求导数y′=f′(x),y′=f′(x),令令f′(x)=0,f′(x)=0,解此方程解此方程, ,求出在定义区间求出在定义区间内的一切实根内的一切实根; ;③③把函数把函数f(x)f(x)的间断点的间断点( (即即f(x)f(x)的无定义点的无定义点) )的横坐标和上面的的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来各实数根按由小到大的顺序排列起来, ,然后用这些点把函数然后用这些点把函数f(x)f(x)的定义区间分成若干个小区间的定义区间分成若干个小区间; ;④④确定确定f′(x)f′(x)在各个区间内的符号在各个区间内的符号, ,根据符号判定函数在每个根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性相应区间内的单调性. . (3)(3)方法三方法三: :当不等式当不等式f′(x)>0(f′(x)>0(或或f′(x)<0)f′(x)<0)及方程及方程f′(x)=0f′(x)=0均均不可解时不可解时, ,①①确定函数确定函数y=f(x)y=f(x)的定义域的定义域; ;②②求导数并化简求导数并化简, ,根据根据f′(x)f′(x)的结构特征的结构特征, ,选择相应基本初等函选择相应基本初等函数数, ,利用其图象与性质确定利用其图象与性质确定f′(x)f′(x)的符号的符号. .③③得单调区间得单调区间. .提醒提醒: :利用导数确定单调性时要把导数的符号与函数单调性的利用导数确定单调性时要把导数的符号与函数单调性的关系记准关系记准. . 【【变式式训练】】(2014·(2014·武武汉模模拟) )已知函数已知函数f(x)= (kf(x)= (k为常常数数,e=2.71828…,e=2.71828…是自然是自然对数的底数数的底数),),曲曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1))(1,f(1))处的切的切线与与x x轴平行平行. .(1)(1)求求k k的的值. .(2)(2)求求f(x)f(x)的的单调区区间. . 【解析】【解析】(1)(1)由由f(x)= f(x)= 得得x∈(0,+∞),x∈(0,+∞),f′(x)=f′(x)=由曲线由曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1))(1,f(1))处的切线与处的切线与x x轴平行可知轴平行可知f′(1)=f′(1)=解得解得k=1.k=1. (2)f′(x)= ,x∈(0,+∞).(2)f′(x)= ,x∈(0,+∞).当当01, >1,所以所以 -1>0, -1>0,又又ln x<0,ln x<0,所以所以-ln x>0,-ln x>0,所以所以 -1-ln x -1-ln x＞＞0,0,所以所以f′(x)>0;f′(x)>0;当当x>1x>1时，时，0< <1,ln x>0,0< <1,ln x>0,所以所以 -1<0,-ln x<0, -1<0,-ln x<0,所以所以 -1-ln x -1-ln x＜＜0 0，，所以所以f′(x)<0,f′(x)<0,于是于是f(x)f(x)在区间在区间(0,1)(0,1)内为增函数，在内为增函数，在(1,+∞)(1,+∞)内为减函数内为减函数. . 【加固训练】【加固训练】1.(2014·1.(2014·杭州模拟杭州模拟) )定义在定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)的导函数为的导函数为f′(x),f′(x),已知已知f(x+1)f(x+1)是偶函数，是偶函数，(x-1)f′(x)<0.(x-1)f′(x)<0.若若x x1 12,>2,则则f f(x(x1 1) )与与f(xf(x2 2) )的大小关系是的大小关系是( )( )A.f(xA.f(x1 1)f(x)>f(x2 2) D.) D.不确定不确定 【解析】【解析】选选C.C.由由(x-1)f′(x)<0(x-1)f′(x)<0可知可知, ,当当x>1x>1时时,f′(x)<0,,f′(x)<0,函数递减函数递减. .当当x<1x<1时时,f′(x)>0,,f′(x)>0,函数递增函数递增. .因为函数因为函数f(x+1)f(x+1)是偶函数是偶函数, ,所以所以f(x+1)=f(1-x),f(x)=f(2-x),f(x+1)=f(1-x),f(x)=f(2-x),即函数的对称轴为即函数的对称轴为x=1,x=1,所以若所以若1f(x)>f(x2 2).).若若x x1 1<1,<1,则则x x2 2>2-x>2-x1 1>1,>1, 此时由此时由f(xf(x2 2)f(x)>f(x2 2).). 2.(2013·2.(2013·湖南高考湖南高考) )已知函数已知函数f(x)= .f(x)= .(1)(1)求求f(x)f(x)的的单调区区间. .(2)(2)证明明: :当当f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2)(x)(x1 1≠x≠x2 2) )时,x,x1 1+x+x2 2<0.<0. 【解析】【解析】(1)(1)函数函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是(-∞,+∞)(-∞,+∞)，，当当x<0x<0时，时，f′(x)>0;f′(x)>0;当当x>0x>0时，时，f′(x)<0.f′(x)<0.所以所以f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为( (－－∞,0)∞,0)，单调递减区间为，单调递减区间为(0,+∞).(0,+∞). (2)(2)当当x<1x<1时，由于时，由于 ＞＞0,e0,ex x＞＞0,0,故故f(x)>0;f(x)>0;同理，当同理，当x>1x>1时，时，f(x)<0.f(x)<0.当当f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2)(x)(x1 1≠x≠x2 2) )时，不妨设时，不妨设x x1 1-1,x>-1,所以所以x+2>1>0,x+2>1>0,即即b≤x(x+2)b≤x(x+2)成立成立. .设设y=x(x+2),y=x(x+2),则则y=xy=x2 2+2x=(x+1)+2x=(x+1)2 2-1,-1,因为因为x>-1,x>-1,所以所以y>-1,y>-1,所以要使所以要使b≤x(x+2)b≤x(x+2)成立成立, ,则有则有b≤-1.b≤-1. (2)①(2)①由已知由已知, ,函数的定义域为函数的定义域为(0,+∞),(0,+∞),当当a=-2a=-2时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-2lnx,-2lnx,所以所以f′(x)=2x- ,f′(x)=2x- ,则当则当x∈(0,1)x∈(0,1)时时,f′(x)<0,,f′(x)<0,所以所以(0,1)(0,1)为为f(x)f(x)的单调递减区间的单调递减区间, ,当当x∈(1,+∞)x∈(1,+∞)时时,f′(x)>0,(1,+∞),f′(x)>0,(1,+∞)为为f(x)f(x)的单调递增区间的单调递增区间. . ②②由题意得由题意得g′(x)= ,g′(x)= ,函数函数g(x)g(x)在［在［1 1，，+∞)+∞)上是单调上是单调函数函数. .(ⅰ)(ⅰ)若函数若函数g(x)g(x)为［为［1,+∞)1,+∞)上的单调增函数，上的单调增函数，则则g′(x)≥0g′(x)≥0在［在［1,+∞)1,+∞)上恒成立上恒成立, ,即即a≥ a≥ 在［在［1 1，，+∞)+∞)上恒成立，上恒成立，设设φφ(x)= ,(x)= ,因为因为φφ(x)(x)在［在［1,+∞)1,+∞)上单调递减，上单调递减，所以所以φφ(x)(x)maxmax= =φφ(1)=0,(1)=0,所以所以a≥0.a≥0. (ⅱ)(ⅱ)若函数若函数g(x)g(x)为［为［1,+∞)1,+∞)上的单调减函数，上的单调减函数，则则g′(x)≤0g′(x)≤0在［在［1,+∞)1,+∞)上恒成立，不可能上恒成立，不可能. .综上，实数综上，实数a a的取值范围是［的取值范围是［0,+∞).0,+∞). 【通关【通关锦囊】囊】高考指数高考指数重点重点题型型破 解 策 略破 解 策 略◆◆◆◆◆◆根据根据f(x)f(x)在区在区间A A上上单调递增增( (减减),),求参数求参数取取值范范围转化化为f′(x)≥0(≤0)f′(x)≥0(≤0)在在A A上恒成立上恒成立问题求解求解◆◆◆◆◆◆根据根据f(x)f(x)在区在区间A A上上存在存在单调递增增( (减减) )区区间, ,求参数取求参数取值范范围转化化为f′(x)f′(x)maxmax>0(>0(或或f′(x)f′(x)minmin<0)<0)在在A A上成立求解上成立求解◆◆◇◆◆◇根据根据f(x)f(x)在区在区间A A上上为单调函数函数, ,求参数求参数取取值范范围转化化为f′(x)f′(x)在在A A上不上不变号号( (即即f′(x)≥0f′(x)≥0或或f′(x)≤0f′(x)≤0在在A A上恒成立上恒成立问题) )求解求解 【关注题型】【关注题型】◆◇◇◆◇◇根据根据f(x)f(x)在区在区间A A上不上不单调, ,求参数取求参数取值范范围转化化为方程方程f′(x)=0f′(x)=0在在A A上上无重复的无重复的实数根数根问题求解求解 【特别提醒】【特别提醒】f(x)f(x)为增函数的充要条件是对任意的为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)x∈(a,b)都都有有f′(x)≥0f′(x)≥0且在且在(a,b)(a,b)内的任一非空子区间上内的任一非空子区间上f′(x)f′(x)不恒为不恒为0.0.应注意此时式子中的等号不能省略应注意此时式子中的等号不能省略, ,否则漏解否则漏解. . 【通关【通关题组】】1.(2014·1.(2014·烟台模拟烟台模拟) )若函数若函数y=a(xy=a(x3 3-x)-x)的单调递减区间为的单调递减区间为 则则a a的取值范围是的取值范围是( )( )A.aA.a＞＞0 B.-10 B.-1＜＜a a＜＜0 0C.aC.a＞＞1 D.01 D.0＜＜a a＜＜1 1 【解析】【解析】选选A.A.因为因为 , ,当当 时，时， ＜＜0,0,因为函数因为函数y=a(xy=a(x3 3-x)-x)在在 上单调递减，上单调递减，所以所以y′≤0y′≤0，即，即a≥0a≥0，经检验，经检验a=0a=0不合题意，所以不合题意，所以a a＞＞0 0．． 2.(2014·2.(2014·合肥模拟合肥模拟) )若函数若函数 为为R R上的单调函上的单调函数，则数，则a a的取值范围为的取值范围为_____________._____________.【解析】【解析】若若f(x)f(x)为为R R上的单调函数，则上的单调函数，则f′(x)f′(x)在在R R上不变号，结上不变号，结合合 与条件与条件a>0,a>0,知知axax2 2-2ax+1≥0-2ax+1≥0在在R R上恒成上恒成立，因此立，因此Δ=4aΔ=4a2 2-4a=4a(a-1)≤0,-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合由此并结合a>0,a>0,知知00x>0时，时，f(x)=ax+ln xf(x)=ax+ln x，其中，其中a∈Ra∈R．．(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的解析式的解析式. .(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间(-∞,-1)(-∞,-1)上单调递减，求上单调递减，求a a的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】(1)f(0)=0,x<0(1)f(0)=0,x<0时，时，f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x),f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x),所以所以 (2)(2)函数函数f(x)f(x)是奇函数，则是奇函数，则f(x)f(x)在区间在区间(-∞,-1)(-∞,-1)上单调递减，上单调递减，当且仅当当且仅当f(x)f(x)在区间在区间(1,+∞)(1,+∞)上单调递减上单调递减, ,当当x>0x>0时，时，f(x)=ax+ln xf(x)=ax+ln x，，f′(x)=a+ ,f′(x)=a+ ,由由f′(x)=a+ <0f′(x)=a+ <0得得a<- ,a<- ,- - 在区间在区间(1(1，，+∞)+∞)上的取值范围为上的取值范围为(-1,0),(-1,0),所以所以a a的取值范围为的取值范围为(-∞,-1(-∞,-1］］. . 【加固【加固训练】】1.(2014·1.(2014·珠海模珠海模拟) )若函数若函数f(x)=ef(x)=ex x-x-x2 2+ax+ax在在R R上不上不单调, ,求求实数数a a的取的取值范范围. .【解析】【解析】因为因为f(x)=ef(x)=ex x-x-x2 2+ax,+ax,所以所以f′(x)=ef′(x)=ex x-2x+a,-2x+a,又由题意知又由题意知f′(x)=0,f′(x)=0,即方程即方程e ex x-2x+a=0-2x+a=0 ①①在在R R上有无重复的实上有无重复的实数解数解, ,由由①①得得a=2x-ea=2x-ex x. . 令令g(x)=2x-eg(x)=2x-ex x, ,所以所以g′(x)=2-eg′(x)=2-ex x, ,令令g′(x)=0,g′(x)=0,得得x=ln2,x=ln2,当当x∈(-∞,ln2)x∈(-∞,ln2)时时,g′(x)>0,,g′(x)>0,所以所以g(x)g(x)在在(-∞,ln2)(-∞,ln2)上为增函数上为增函数, ,当当x∈(ln2,+∞)x∈(ln2,+∞)时时,g′(x)<0,,g′(x)<0,所以所以g(x)g(x)在在(ln2,+∞)(ln2,+∞)上为减函数上为减函数, ,所以所以g(x)g(x)maxmax=g(ln2)=2ln2-2,=g(ln2)=2ln2-2,所以所以g(x)∈(-∞,2ln2-2],g(x)∈(-∞,2ln2-2],所以所以a∈(-∞,2ln2-2].a∈(-∞,2ln2-2]. 2.(2014·2.(2014·苏州模州模拟) )已知已知a∈R,a∈R,函数函数f(x)=(-xf(x)=(-x2 2+ax)e+ax)ex x,x∈R,e,x∈R,e为自然自然对数的底数数的底数. .(1)(1)当当a=2a=2时, ,求函数求函数f(x)f(x)的的单调递增区增区间. .(2)(2)函数函数f(x)f(x)是否是否为R R上的减函数上的减函数, ,若是若是, ,求出求出a a的取的取值范范围; ;若不是若不是, ,请说明理由明理由. . 【解析】【解析】(1)(1)当当a=2a=2时时,f(x)=(-x,f(x)=(-x2 2+2x)e+2x)ex x, ,所以所以f′(x)=(-2x+2)ef′(x)=(-2x+2)ex x+(-x+(-x2 2+2x)e+2x)ex x=(-x=(-x2 2+2)e+2)ex x. .令令f′(x)>0,f′(x)>0,即即(-x(-x2 2+2)e+2)ex x>0,>0,因为因为e ex x>0,>0,所以所以-x-x2 2+2>0,+2>0,解得解得- 0,>0,所以所以x x2 2-(a-2)x-a≥0-(a-2)x-a≥0对对x∈Rx∈R都成立都成立. .所以所以Δ=(a-2)Δ=(a-2)2 2+4a≤0,+4a≤0,即即a a2 2+4≤0,+4≤0,这是不可能的这是不可能的. .故函数故函数f(x)f(x)不可能是不可能是R R上的减函数上的减函数. . 考点考点3 3 利用利用导数研究函数的极数研究函数的极值( (最最值) ) 【典例【典例3 3】】(1)(2013·(1)(2013·新新课标全国卷全国卷Ⅰ)Ⅰ)若函数若函数f(x)=f(x)=(1-x(1-x2 2)(x)(x2 2+ax+b)+ax+b)的的图象关于直象关于直线x=-2x=-2对称称, ,则f(x)f(x)的最大的最大值为 . .(2)(2013·(2)(2013·新新课标全国卷全国卷Ⅱ)Ⅱ)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2e e-x-x. .①①求求f(x)f(x)的极小的极小值和极大和极大值. .②②当曲当曲线y=f(x)y=f(x)的切的切线l的斜率的斜率为负数数时, ,求求l在在x x轴上截距上截距的取的取值范范围. . 【解题视点】【解题视点】(1)(1)根据根据f(x)f(x)的图象关于的图象关于x=-2x=-2对称对称, ,得得求出求出a,ba,b的值的值, ,再利用导数求最值的步骤求解再利用导数求最值的步骤求解. .(2)①(2)①根据求极值的步骤进行求解根据求极值的步骤进行求解;②;②设切点设切点, ,表示出切线表示出切线l的方的方程程, ,令令y=0y=0得得l在在x x轴上的截距轴上的截距, ,利用函数知识求得截距的取值范围利用函数知识求得截距的取值范围. . 【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为函数因为函数f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=-2x=-2对称对称, ,所以所以f(0)=f(-4),f(0)=f(-4),得得4b=-60+15a,4b=-60+15a,又又f′(x)=-4xf′(x)=-4x3 3-3ax-3ax2 2+2(1-b)x+a,+2(1-b)x+a,而而f′(-2)=0,-4×(-2)f′(-2)=0,-4×(-2)3 3-3a(-2)-3a(-2)2 2+2(1-b)×(-2)+a=0.+2(1-b)×(-2)+a=0.得得11a-4b=28,11a-4b=28,即即 解得解得a=8,b=15.a=8,b=15. 故故f(x)=(1-xf(x)=(1-x2 2)(x)(x2 2+8x+15),+8x+15),则则f′(x)=-4xf′(x)=-4x3 3-24x-24x2 2-28x+8=-4(x-28x+8=-4(x3 3+6x+6x2 2+7x-2)+7x-2)=-4(x+2)(x=-4(x+2)(x2 2+4x-1).+4x-1).令令f′(x)=0,f′(x)=0,即即(x+2)(x(x+2)(x2 2+4x-1)=0,+4x-1)=0,则则x=-2x=-2或或x=-2- x=-2- 或或-2+ .-2+ .当当x x变化时变化时,f′(x),f(x),f′(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表: :x x(-∞,(-∞,-2- )-2- )-2--2-(-2- ,(-2- ,-2)-2)-2-2(-2,(-2,-2+ )-2+ )-2+-2+(-2+ ,(-2+ ,+∞)+∞)f′(x)f′(x)正正0 0负负0 0正正0 0负负f(x)f(x)↗↗极大值极大值↘↘极小值极小值↗↗极大值极大值↘↘ f(-2- )=[1-(-2- )f(-2- )=[1-(-2- )2 2][(-2- )][(-2- )2 2+8×(-2- )+15]=(-4 +8×(-2- )+15]=(-4 -8)(8-4 )=16,-8)(8-4 )=16,f(-2+ )=[1-(-2+ )f(-2+ )=[1-(-2+ )2 2][(-2+ )][(-2+ )2 2+8×(-2+ )+15]=(4+8×(-2+ )+15]=(4-8)(8+4 )=16,-8)(8+4 )=16,故故f(x)f(x)的最大值为的最大值为16.16.答案答案: :1616 (2)①f′(x)=e(2)①f′(x)=e-x-x(-x(-x2 2+2x),+2x),令令f′(x)=0,f′(x)=0,得得x=0x=0或或2.2.列表如下列表如下函数函数f(x)f(x)的极小值为的极小值为f(0)=0,f(0)=0,极大值为极大值为f(2)= .f(2)= .x x(-∞,0)(-∞,0)0 0(0,2)(0,2)2 2(2,+∞)(2,+∞)f′(x)f′(x)- -0 0+ +0 0- -f(x)f(x)↘↘极小值极小值↗↗极大值极大值↘↘ ②②设切点为设切点为( )( )，则切线，则切线l的斜率为的斜率为k=k=此时切线此时切线l的方程为的方程为令令y=0y=0，得，得由已知和由已知和①①得得x x0 0∈(-∞,0)∪(2,+∞).∈(-∞,0)∪(2,+∞).令令t=xt=x0 0-2,-2,则则t∈(-∞,-2)∪(0t∈(-∞,-2)∪(0，，+∞)+∞)，令，令h(t)=t+ h(t)=t+ ，，则当则当t∈(0,+∞)t∈(0,+∞)时时,h(t),h(t)的取值范围为［的取值范围为［2 ,+∞);2 ,+∞); 当当t∈(-∞,-2)t∈(-∞,-2)时，时，h(t)h(t)的取值范围是的取值范围是(-∞,-3),(-∞,-3),所以当所以当x x0 0∈(-∞,0)∪(2,+∞)∈(-∞,0)∪(2,+∞)时，时，x x的取值范围是的取值范围是(-∞,0)∪(-∞,0)∪［［2 +3,+∞)2 +3,+∞)，，综上综上, ,l在在x x轴上的截距的取值范围是轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪(-∞,0)∪［［2 +3,+∞).2 +3,+∞). 【规律方法】【规律方法】利用导数研究函数的极值的一般流程利用导数研究函数的极值的一般流程 【变式训练】【变式训练】1.(2014·1.(2014·广州模拟广州模拟) )若若 是函数是函数f(x)=xf(x)=x2 2+ +2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1),x∈(1,+∞)2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1),x∈(1,+∞)的一个极值点，则的一个极值点，则a a的的值为值为____.____.【解析】【解析】因为函数因为函数f(x)=xf(x)=x2 2+2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1)+2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1)，，则则f′(x)=2x+2(1-a)+f′(x)=2x+2(1-a)+因为因为x= x= 是函数的一个极值点，所以是函数的一个极值点，所以f′( )=0,f′( )=0,解得解得a= .a= .答案：答案： 2.(2014·2.(2014·广州模广州模拟) )设函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-kx-kx2 2+x.+x.(1)(1)当当k=1k=1时, ,求函数求函数f(x)f(x)的的单调区区间. .(2)(2)当当k<0k<0时, ,求函数求函数f(x)f(x)在在[k,-k][k,-k]上的最小上的最小值m m和最大和最大值M.M.【解析】【解析】设设y=f′(x)=3xy=f′(x)=3x2 2-2kx+1.-2kx+1.(1)(1)当当k=1k=1时时,f′(x)=3x,f′(x)=3x2 2-2x+1,Δ=4-12=-8<0,-2x+1,Δ=4-12=-8<0,所以所以f′(x)>0f′(x)>0恒成立恒成立, ,所以所以f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为R.R. (2)(2)方法一方法一: :当当k<0k<0时时,f′(x)=3x,f′(x)=3x2 2-2kx+1,-2kx+1,其开口向上其开口向上, ,对称轴对称轴x= ,x= ,且过且过(0,1).(0,1).(i)(i)当当Δ=4kΔ=4k2 2-12=4(k+ )(k- )≤0,-12=4(k+ )(k- )≤0,即即- ≤k<0- ≤k<0时时,f′(x)≥0,f(x),f′(x)≥0,f(x)在在[k,-k][k,-k]上单调递增上单调递增, ,从而当从而当x=kx=k时时,f(x),f(x)取得最小值取得最小值m=f(k)=k,m=f(k)=k,当当x=-kx=-k时时,f(x),f(x)取得最大值取得最大值M=f(-k)=-kM=f(-k)=-k3 3-k-k3 3-k=-2k-k=-2k3 3-k.-k. (ⅱ)(ⅱ)当当Δ=4kΔ=4k2 2-12=4(k+ )(k- )>0,-12=4(k+ )(k- )>0,即即k<- k<- 时时, ,令令f′(x)=3xf′(x)=3x2 2-2kx+1=0,-2kx+1=0,解得解得:x:x1 1= ,x= ,x2 2= ,= ,注意到注意到kk,= >k,从而从而k0,-k>0,所以所以f(x)f(x)maxmax=f(-k)=-2k=f(-k)=-2k3 3-k,f(x)-k,f(x)minmin=f(k)=k.=f(k)=k. 【加固【加固训练】】1.(2013·1.(2013·福建高考福建高考) )已知函数已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).f(x)=x-alnx(a∈R).(1)(1)当当a=2a=2时, ,求曲求曲线y=f(x)y=f(x)在点在点A(1,f(1))A(1,f(1))处的切的切线方程方程. .(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的极的极值. . 【解析】【解析】函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(0,+∞),f′(x)=1- .(0,+∞),f′(x)=1- .(1)(1)当当a=2a=2时时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1- (x>0),,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1- (x>0),所以所以f(1)=1,f′(1)=-1,f(1)=1,f′(1)=-1,所以所以y=f(x)y=f(x)在点在点A(1,f(1))A(1,f(1))处的切线方程为处的切线方程为y-1=-(x-1),y-1=-(x-1),即即x+y-2=0.x+y-2=0.(2)(2)由由f′(x)= ,x>0f′(x)= ,x>0可知可知: :①①当当a≤0a≤0时时,f′(x)>0,,f′(x)>0,函数函数f(x)f(x)为为(0,+∞)(0,+∞)上的增函数上的增函数, ,函数函数f(x)f(x)无极值无极值. . ②②当当a>0a>0时时, ,由由f′(x)=0,f′(x)=0,解得解得x=a.x=a.因为因为x∈(0,a)x∈(0,a)时时,f′(x)<0,x∈(a,+∞),f′(x)<0,x∈(a,+∞)时时,f′(x)>0,,f′(x)>0,所以所以f(x)f(x)在在x=ax=a处取得极小值处取得极小值, ,且极小值为且极小值为f(a)=f(a)=a-alna,a-alna,无极大值无极大值. .综上综上: :当当a≤0a≤0时时, ,函数函数f(x)f(x)无极值无极值, ,当当a>0a>0时时, ,函数函数f(x)f(x)在在x=ax=a处取得极小值处取得极小值a-alna,a-alna,无极大值无极大值. . 2.(2012·2.(2012·广广东高考高考) )设00},A={x∈R|x>0},B={x∈R|2xB={x∈R|2x2 2-3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.-3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.(1)(1)求集合求集合D(D(用区用区间表示表示).).(2)(2)求函数求函数f(x)=2xf(x)=2x3 3-3(1+a)x-3(1+a)x2 2+6ax+6ax在在D D内的极内的极值点点. . 【解析】【解析】(1)(1)令令g(x)=2xg(x)=2x2 2-3(1+a)x+6a,-3(1+a)x+6a,Δ=9(1+a)Δ=9(1+a)2 2-48a=9a-48a=9a2 2-30a+9=3(3a-1)(a-3).-30a+9=3(3a-1)(a-3).①①当当00,g(1)=2-3(1+a)+6a=3a--3(1+a)a+6a=a(3-a)>0,g(1)=2-3(1+a)+6a=3a-1≤0,1≤0,所以所以00) (m>0)上存在极上存在极值, ,求求实数数m m的取的取值范范围. .(2)(2)当当x≥1x≥1时, ,不等式不等式f(x)≥ f(x)≥ 恒成立恒成立, ,求求实数数t t的取的取值范范围. . 【解析】【解析】(1)(1)由题意由题意k=f(x)= ,k=f(x)= ,所以所以f′(x)=f′(x)=当当00;,f′(x)>0;当当x>1x>1时，时，f′(x)<0.f′(x)<0.所以所以f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上单调递增，在上单调递增，在(1,+∞)(1,+∞)上单调递减上单调递减. .故故f(x)f(x)在在x=1x=1处取得极大值处取得极大值. .因为函数因为函数f(x)f(x)在区间在区间 ( (其中其中m>0)m>0)上存在极值，上存在极值，所以所以 得得 0,h(x)≥h(1)=1>0,从而从而g′(x)>0,g′(x)>0,g(x)g(x)在［在［1,+∞)1,+∞)上单调递增，上单调递增，g(x)≥g(1)=2,g(x)≥g(1)=2,所以实数所以实数t t的取值范围是的取值范围是(-∞,2(-∞,2］］. . 【规范解答【规范解答3 3】】导数在研究函数中的数在研究函数中的应用用【典例】【典例】(12(12分分)(2013·)(2013·新新课标全国卷全国卷Ⅱ)Ⅱ)已知函数已知函数f(x)=f(x)=e ex x-ln(x+m),-ln(x+m),(1)(1)设x=0x=0是是f(x)f(x)的极的极值点点, ,求求m,m,并并讨论f(x)f(x)的的单调性性. .(2)(2)当当m≤2m≤2时, ,证明明f(x)>0.f(x)>0. 【审题】【审题】分析信息分析信息, ,形成思路形成思路信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1)x=0x=0是是f(x)f(x)的极值点的极值点, ,求求m,m,并讨论并讨论f(x)f(x)的单的单调性调性求导求导→→将将x=0x=0代入代入f′(x)=0f′(x)=0求得求得m→m→得解析式得解析式→→讨论导函数符号讨论导函数符号, ,得单调性得单调性(2)(2) m≤2,m≤2,证明证明f(x)>0f(x)>0求求f(x)f(x)的最小值的最小值f(xf(x0 0),),证明最小证明最小值值f(xf(x0 0)>0)>0 【解题】【解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)因为因为f′(x)= f′(x)= ，，x=0x=0是是f(x)f(x)的极值点，的极值点，所以所以f′(0)=1- =0f′(0)=1- =0，，解得解得m=1,m=1,所以函数所以函数f(x)=ef(x)=ex x-ln(x+1)-ln(x+1)，，其定义域为其定义域为(-1,+∞)(-1,+∞)①①，，………………………………2 2分分 f′(x)= .f′(x)= .设设g(x)=eg(x)=ex x(x+1)-1,(x+1)-1,则则g′(x)=eg′(x)=ex x(x+1)+e(x+1)+ex x＞＞0 0，，所以所以g(x)g(x)在在(-1,+∞)(-1,+∞)上是增函数上是增函数.……………………4.……………………4分分又因为又因为g(0)=0g(0)=0，所以当，所以当x x＞＞0 0时，时，g(x)g(x)＞＞0 0，，即即f′(x)f′(x)＞＞0 0，，当当-1-1＜＜x x＜＜0 0时，时，g(x)g(x)＜＜0 0，，f′(x)f′(x)＜＜0 0，，所以所以f(x)f(x)在在(-1,0)(-1,0)上是减函数，上是减函数，在在(0,+∞)(0,+∞)上是增函数上是增函数. . ………………………………6 6分分 (2)(2)当当m≤2,x∈(-m,+∞)m≤2,x∈(-m,+∞)时时,ln(x+m)≤ln(x+2),,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当故只需证明当m=2m=2时时,f(x)>0,f(x)>0. .②②当当m=2m=2时时, ,函数函数f′(x)=ef′(x)=ex x- - 在在(-2,+∞)(-2,+∞)上单调递增上单调递增. .……………………………………………………………………………………………………8 8分分由由f′(-1)<0,f′(0)>0,f′(-1)<0,f′(0)>0,故故f′(x)=0f′(x)=0在在(-2,+∞)(-2,+∞)上上有唯一实根有唯一实根x x0 0, ,③③且且x x0 0∈(-1,0).∈(-1,0).当当x∈(-2,xx∈(-2,x0 0) )时时,f′(x)<0;,f′(x)<0;当当x∈(xx∈(x0 0,+∞),+∞)时时, , f′(x)>0,f′(x)>0,从而当从而当x=xx=x0 0时时,f(x),f(x)取得最小值取得最小值.….………………………1010分分由由f′(xf′(x0 0)=0)=0得得 ,ln(x ,ln(x0 0+2)=-x+2)=-x0 0, ,故故f(x)≥f(xf(x)≥f(x0 0)= .)= .综上，当综上，当m≤2m≤2时，时，f(x)f(x)＞＞0.0.④④…………………………1212分 分 【点题】【点题】失分警示失分警示, ,规避误区规避误区失分点失分点防范措施防范措施①①处忽略定义域导致失分处忽略定义域导致失分利用导数研究函数问题切记利用导数研究函数问题切记定义域优先的原则定义域优先的原则②②处未对处未对m m进行分析导致解进行分析导致解题无法进行而失分题无法进行而失分当解析式中含有参数时当解析式中含有参数时, ,要适要适时的分类讨论时的分类讨论③③处无法判断出极值点而导处无法判断出极值点而导致失分致失分熟练掌握求函数极值的步骤熟练掌握求函数极值的步骤④④处未进行总结导致解题过处未进行总结导致解题过程不完整而失分程不完整而失分对于解答题对于解答题, ,最后要进行总结最后要进行总结, ,对结果进行整合对结果进行整合 【【变题】】变式式训练, ,能力迁移能力迁移(2013·(2013·广广东高考高考) )设函数函数f(x)=(x-1)ef(x)=(x-1)ex x-kx-kx2 2(k∈R).(k∈R).(1)(1)当当k=1k=1时, ,求函数求函数f(x)f(x)的的单调区区间. .(2)(2)当当k∈ k∈ 时, ,求函数求函数f(x)f(x)在在[0,k][0,k]上的最大上的最大值M.M. 【解析】【解析】(1)(1)当当k=1k=1时时,f(x)=(x-1)e,f(x)=(x-1)ex x-x-x2 2, ,求导可得求导可得f′(x)=xef′(x)=xex x- -2x=x(e2x=x(ex x-2),-2),令令f′(x)=0f′(x)=0可得可得x=0,x=ln2,x=0,x=ln2,则当则当x<0x<0时时,f′(x)>0;,f′(x)>0;当当0ln2x>ln2时时,f′(x)>0;,f′(x)>0;所以函数所以函数f(x)f(x)的的单调递增区间是单调递增区间是(-∞,0),(ln2,+∞),(-∞,0),(ln2,+∞),单调递减区间是单调递减区间是(0,ln2).(0,ln2).(2)(2)对对f(x)=(x-1)ef(x)=(x-1)ex x-kx-kx2 2求导可得求导可得f′(x)=ef′(x)=ex x+(x-1)e+(x-1)ex x-2kx-2kx=x(e=x(ex x-2k),-2k),因为因为k∈ ,k∈ ,所以所以2k∈(1,2],2k∈(1,2],令令f′(x)=0f′(x)=0可得可得x=0,x=ln(2k),x=0,x=ln(2k),显然显然0ln(2k)x>ln(2k)时时,f′(x)>0.,f′(x)>0.所以函数所以函数f(x)f(x)的单调递的单调递增区间是增区间是(ln(2k),+∞),(ln(2k),+∞),单调递减区间是单调递减区间是(0,ln(2k)).(0,ln(2k)). 令令g(k)=ln(2k)-k,g(k)=ln(2k)-k,则则g′(k)= ,g′(k)= ,又当又当k=1k=1时时,g′(k)=0,,g′(k)=0,所以所以g(k)g(k)在在 上递增上递增, ,所以所以g≤ln2-1=ln2-lne<0,g≤ln2-1=ln2-lne<0,从而从而ln(2k)0;,f′(x)>0; 令令h(k)=(k-1)eh(k)=(k-1)ek k-k-k3 3+1,+1,则则h′(k)=k(eh′(k)=k(ek k-3k),-3k),令令φφ(k)=e(k)=ek k-3k,-3k,则则φφ′(k)=e′(k)=ek k-30,(k)>0,当当k∈(kk∈(k0 0,1),1)时时, ,φφ(k)<0,(k)<0,所以所以h(k)h(k)在在 上单调递增上单调递增, ,在在(k(k0 0,1),1)上单调递减上单调递减. .因为因为所以所以h(k)≥0h(k)≥0在在 上恒成立上恒成立, ,当且仅当当且仅当k=1k=1时取得时取得“=”.“=”.综上综上, ,函数函数f(x)f(x)在在 上的最大值上的最大值M=(k-1)eM=(k-1)ek k-k-k3 3. . 。
