中学数学课件 第四课 柯西不等式.ppt

第三讲柯西不等式与 排序不等式一 二维形式的 柯西不等式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.定理1（二维形式的柯西不等式）:你能证明吗 ？推论向量形式：设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.定理2: （柯西不等式的向量形式）xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xy P1(x1,y1)P2(x2,y2)0根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:观察定理３（二维形式的三角不等式）设 ，那么例题例1.已知a,b为实数,证明：(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证练习：作业第37页,第1,5,6题二 一般形式的 柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2二维形式的柯西不等式）:三维形式的柯西不等式） :n维形式的柯西不等式）:定理 设是实数，则当且仅当 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数k使得 (i=1,2,…,n) 时等号成立。

以上不等式称为一般形式的柯西不等式一般形式的三角不等式例1 已知都是实数，求证：例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：>ab+bc+cd+da.例3 已知x+2y+3z=1,求 的最小值例4：设a、b、c为正数且各不相等 求证： 又a、b、c各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立例5 若a>b>c 求证：∴ 例6：若求证：分析：左端变形∴只需证此式 即可三 排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要 ti分，假定这些ti各不相同 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？解：总时间(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1