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§2.5 冲激响应和阶跃响应•冲激响应冲激响应•阶跃响应阶跃响应系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示 一．冲激响应1．定义 2．一阶系统的冲激响应3．n阶系统的冲激响应例2-5-1 一阶系统的冲激响应列系统微分方程：列系统微分方程：求下图求下图RC电路的冲激响应电路的冲激响应条件：（条件： ））冲激冲激 在在 时转为系统的储能（由时转为系统的储能（由 体现），体现），t >0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应的冲激响应 齐次方程齐次方程特征方程特征方程特征根特征根求解下面的问题是确定系数下面的问题是确定系数A, ,求求A有两种方法：有两种方法：方法方法2 2：：奇异函数项相平衡法，定系数奇异函数项相平衡法，定系数A 方法方法1 1：：冲激函数匹配法求出冲激函数匹配法求出 ，定系数，定系数A。

即即:波形波形波形电容器的电流在电容器的电流在 t =0时有一冲激，时有一冲激，这就是电容电压突这就是电容电压突变的原因变的原因 注意！注意！方法1：求据方程可设据方程可设代入方程得代入方程得得出得出所以所以方法2：奇异函数项相平衡原理代入原方程代入原方程整理，方程左右奇异函数项系数相平衡整理，方程左右奇异函数项系数相平衡 已知方程已知方程冲激响应冲激响应求导求导注意注意！！响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)3．n阶系统的冲激响应(1)冲激响应的数学模型对于线性时不变系统对于线性时不变系统, ,可以用一高阶微分方程表示可以用一高阶微分方程表示 激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为m次次)令令 e(t)= (t) 则则 r(t)=h(t)(2)h(t)解答的形式设特征根为简单根（无重根的单根）设特征根为简单根（无重根的单根） 由于由于 及其导数在及其导数在 时都为零，因而方程式右时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。

解的形式相同 ②②与与n, m相对大小有关相对大小有关 ①①与特征根有关与特征根有关例2-5-2解：解：求特征根求特征根冲激响应冲激响应求系统求系统 的冲激响应的冲激响应 将将e(t)→→ (t)，，r(t)→→h(t)带带u(t)求待定系数求待定系数求求0 0+ +法法, ,奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法求0+定系数代入代入h(t),得得用奇异函数项相平衡法求待定系数根据系数平衡，得根据系数平衡，得二．阶跃响应 系统的输入系统的输入 ，其响应为，其响应为 系统方程的右端将包含阶跃函数方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，，所以除了齐次解外，还有特解项还有特解项我们也可以根据线性时不变系统特性，利用我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与冲激响应与阶跃响应关系阶跃响应关系求阶跃响应求阶跃响应 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。

位阶跃响应，简称阶跃响应1．定义 2．阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性线性时不变系统满足微、积分特性三．齐次解法求冲激响应（补充）左端最高阶微分中含有左端最高阶微分中含有 (t)项项(n-1)阶微分中含有阶微分中含有u(t)项可以由此定初始条件可以由此定初始条件令方程左端系数为令方程左端系数为1，右端只有一项，右端只有一项 (t)时，冲激响应为时，冲激响应为此方法比奇异函数系数平衡法简单对于高阶系统更此方法比奇异函数系数平衡法简单对于高阶系统更有优越性有优越性定初始条件系统是零状态的，故系统是零状态的，故由系统的线性时不变特性，原系统的冲激响应由系统的线性时不变特性，原系统的冲激响应 为为 积分积分为为1 1有界函数，在无穷有界函数，在无穷小区间积分为小区间积分为0 0含含 ( (t) )项项积分不为积分不为0 0例2-5-3已知系统已知系统 　　，求　　，求h(t) 将边界条件代入将边界条件代入 式式则由系统的线性时不变特性则由系统的线性时不变特性系统框图系统框图两个加法器两个加法器子系统交换子系统交换求冲激响应的几种方法方法方法1：冲激函数匹配法求出：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数跃变值，定系数A。

方法方法2：奇异函数项相平衡法，定系数：奇异函数项相平衡法，定系数A 方法方法3: 齐次解法求冲激响应齐次解法求冲激响应总结冲激响应的求解至关重要冲激响应的求解至关重要冲激响应的定义冲激响应的定义•零状态；零状态；•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励下加同样的激励 ，看响应，看响应 ，， 不同，说明其不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性用变换域用变换域( (拉氏变换拉氏变换) )方法求方法求冲激响应和阶跃响应简捷冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。