平面几何讲义a13(特殊点1).doc

1平面几何讲义平面几何讲义 A12（特殊点（特殊点 1））知识要点知识要点三角形的几个特殊点三角形的几个特殊点（（1）外心）外心——三角形三条边的中垂线相交于一点，称为“外心” ，通常记作O；外心到三角形的三个顶点等距，是三角形外接圆的圆心2）垂心）垂心——三角形的三条高相交于一点，称为“垂心” ，通常记作H3））重心重心——三角形三条中线相交于一点，称为“重心” ，通常记作 G；各中线被重心分成 2∶1 两部分4）内心）内心——三角形三条内角平分线相交于一点，称为“内心” ，通常记作I；内心到三角形的三边等距，是三角形内切圆的圆心5）旁心）旁心——三角形一个角的内角平分线和另外两角的外角平分线相交于一点，通常记作Ia、Ib、Ic；旁心是三角形旁切圆的圆心欧拉线（欧拉线（Euler）定理：）定理：任意三角形的外心、重心、垂心三点共线，且重心分垂心和外心的联线段为2∶1 这条线称为三角形的“欧拉线” 例题和习题例题和习题1．．三角形两外角的平分线相交所成的角，等于第三外角的一半2．．已知 I 是△ABC 的内心，E、F 为 BC 边上两点，且 BF＝BA，CE＝CA 求证：∠EIF＝∠B＋∠C。

23．．设 I 是△ABC 的内心，∠A 的平分线与△ABC 的外接圆交于 S 点 求证：SI＝SB＝SCSIABC4．．设 H 是△ABC 的垂心，BC 边上高延长交△ABC 的外接圆于 H′ 求证：HD＝DH′H'HDABC5．．已知 D 是△ABC 的 BC 边上任意一点，O1、O2分别是△ABD、△ACD 的外心 求证：△AO1O2∽△ABC3O1O2ABCD6．．已知 D 是△ABC 的 BC 边上任一点，O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD 的外心 求证：A、O、O1、O2四点共圆 （Salmon 定理）OO1O2ABCD7．．已知 ABCD 是梯形（AD∥BC） ，E 是腰 AB 上的动点，O1、O2分别是△ADE、△BCE 的外心 求证：O1O2的长度不随 E 点的运动而变化O2O1CBADE8．．已知：点 D、E、F 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 边上，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE 的外 心求证：△O1O2O3∽△ABC4O3O2O1ABCDEF9．．已知△ABC 中，∠C＝90°，I 是△ABC 的内心，CD⊥AB 于 D，E、F 在 AB 边上，且 CE、CF 分别平分∠ACD、∠BCD。

求证：IE⊥IFFEIDABC10．．已知△ABC 中，AB＝AC，O 是△ABC 的外心，D 是 AB 中点，E 是△ADC 的重心 求证：EO⊥CDEODBCA。