几种重要的连续型分布.ppt

第五节第五节1一、指数分布一、指数分布 (Exponential Distribution)定义定义 如果随机如果随机变量量 X 的的 概概率密度率密度为 记为记为分布函数为分布函数为2 指指数数分分布布在在排排队队论论和和可可靠靠性性理理论论中中有有广广泛泛的的应应用用，，常常常常用用它它来来作作为为各各种种“寿寿命命”的的分分布布的的近近似似.例例如如,电电子子元元件件的的寿寿命命,电话的的通通话话时时间间,微微生生物物的的寿寿命命,随随机机服服务务系系统统中中的的服服务务时时间间等等都都可可认认为为是是近近似似服服从从指指数数分分布布. 指数分布的一个重要性质就是指数分布的一个重要性质就是“无后效性无后效性”或或“无记忆性无记忆性”. 具体叙述如下：具体叙述如下：证证3 假假如如把把服服从从指指数数分分布布的的随随机机变变量量解解释释为为某某元元件件工工作作的的寿寿命命, ,则则上上式式表表明明, ,在在该该元元件件已已工工作作了了s小小时时的的条条件件下下, ,它它还还能能继继续续工工作作t小小时时的的概概率率与与已已经经工工作作过过的的时时间间s无无关关. .换换句句话话说说, ,如如果果元元件件在在时时刻刻s还还““活活着着””, ,则则它它的的剩剩余余寿寿命命的的分分布布还还是是原原来来寿寿命命的的分分布布, ,而而与与它它已已工工作作了了多多长长的的时时间间无无关关. .所所以以有有时时又又称称指指数数分分布布是是““永永远远年年轻轻””的的. . 值得指出的是值得指出的是, ,我们可以证明我们可以证明, ,指数分布是唯一具有无记忆性指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布的连续型分布. .4例例1 1 假设一次通话时间是一随机变量，服从参数假设一次通话时间是一随机变量，服从参数为为0.1的指数分布．假设某人到达亭时有一人正在的指数分布．假设某人到达亭时有一人正在通话，试求通话，试求: : 解解(1) 此人至少需要等此人至少需要等10分钟的概率分钟的概率αα；； (2) 此人需要等此人需要等10到到20分钟的概率分钟的概率ββ．． 5二、正态分布二、正态分布 (Normal Distribution) 正正态分布是概率分布中最重要的一种分布，分布是概率分布中最重要的一种分布，这有有实践与理践与理论两方面的原因两方面的原因. . 实践方面的原因是，正践方面的原因是，正态分布是自然界最分布是自然界最常见常见的一种分布，例如的一种分布，例如测量的量的误差、差、炮炮弹的落点、人的身高与体重、的落点、人的身高与体重、农作物的收作物的收获量、波量、波浪的高度等等都近似服从正浪的高度等等都近似服从正态分布分布. . 一般来一般来说，如果，如果影响某一随机影响某一随机变量的因素很多，而每一个因素都不起量的因素很多，而每一个因素都不起决定性作用，且决定性作用，且这些影响是可以叠加的，些影响是可以叠加的，则这个随机个随机变量服从正量服从正态分布，分布，这点可用下一章的极限定理来加点可用下一章的极限定理来加以以证明明. . 从理从理论方面来方面来说，正，正态分布有分布有许多良好的性多良好的性质，如正，如正态分布可以分布可以导出导出一些其他分布，而某些分布一些其他分布，而某些分布（如二（如二项分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正态分布来分布来近似近似. . 6 正态分布在正态分布在1919世纪前世纪前叶由高斯加以推广，所以叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布通常称为高斯分布. .德莫佛德莫佛 德莫佛最早发现了二德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，项概率的一个近似公式，这一公式被认为是这一公式被认为是正态分正态分布的首次露面布的首次露面. 高斯高斯7不知你们是否注意到街头的一种赌博不知你们是否注意到街头的一种赌博活动活动? ? 用一个钉板作赌具用一个钉板作赌具. . 街头街头请看请看8 虽虽然然玩玩这这种种赌赌博博游游戏戏十十有有八八九九是是要要输输掉掉的的，，但但仍仍有有不不少少人人总总想想碰碰碰碰运运气气，，然然而而中中大大奖奖的的概概率率实实在在是是太低了太低了. .9下面我们在计算机上模拟这个游戏：下面我们在计算机上模拟这个游戏：高尔顿（高尔顿（F.Galton））钉板试验钉板试验10 平平时时，，我我们们很很少少有有人人会会去去关关心心小小球球下下落落位位置置的的规规律律性性，，人人们们可可能能不不相相信信它它是是有有规规律律的的. .一一旦旦试试验验次次数数增增多多并并且且注注意意观观察察的的话话，，你你就就会会发发现现，，最最后后得得出的竟是一条优美的曲线出的竟是一条优美的曲线.11高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验 这条曲线就近似我们将要介绍的这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布正态分布的密度曲线的密度曲线. .121 1. .正态分布的概率密度正态分布的概率密度定义定义 如果随机如果随机变量量 X 的概率密度的概率密度为 13正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：(1) (1) 对称轴：对称轴：(2) (2) 渐近线：渐近线：(3) (3) 单调性：单调性：14(4) (4) 顶点点( (最大最大值) )：：(5) (5) 两个拐点两个拐点：：正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：15正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：16正态变量的分布函数为正态变量的分布函数为17泊松积分泊松积分18的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：0.51192 2. .正态分布的期望与方差正态分布的期望与方差奇奇函函数数202 2. .正态分布的期望与方差正态分布的期望与方差213 3. .一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态分布与标准正态分布的关系 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布换转化为标准正态分布. .定理定理其分布函数为其分布函数为则则证证22书末书末 P251 附有标准正态分布函数数值表附有标准正态分布函数数值表. .表中给的是表中给的是 x >0 时时, Φ(x) 的值的值.当当 - -x < 0 时，时，23若若 X～～N(0,1),例例2 2解解24 这个公式把一般正态变量的概率计算转换为标准这个公式把一般正态变量的概率计算转换为标准正态分布来计算正态分布来计算 .25例例3 3解解26例例4 4解解查表得表得 27例例5 5这在统计学上称作这在统计学上称作““3 3 准则准则””（三倍标准差原则）（三倍标准差原则）. .2868.26%68.26%95.44%95.44%99.74%99.74%29例例6 6 设设某某批批鸡鸡蛋蛋每每只只的的重重量量X( (以以克克计计) )服服从从正正态态分分布布  X~N( (50  25) )  (1)(1)求从该批鸡蛋中任取求从该批鸡蛋中任取1 1只只  其重量不足其重量不足45克的概率克的概率  (2)(2)从从该该批批鸡鸡蛋蛋中中任任取取1 1只只  其其重重量量介介于于40克克到到60克克之之间间的概率的概率  (3)(3)若若从从该该批批鸡鸡蛋蛋中中任任取取5 5只只  试试求求恰恰有有两两只只鸡鸡蛋蛋不不足足45克的概率克的概率  (4)(4)从该批鸡蛋中任取从该批鸡蛋中任取1 1只其重量超过只其重量超过60克的概率克的概率  (5)(5)求最小的求最小的n  使从中任选使从中任选n只鸡蛋只鸡蛋  其中至少有其中至少有1 1只只鸡蛋的重量超过鸡蛋的重量超过60克的概率大于克的概率大于0 99  解解 (1(1) )30 设设Y为为5只鸡蛋中重量不足只鸡蛋中重量不足45克的鸡蛋数克的鸡蛋数  则则Y~B( (5  0.1587) )  故所求概率为故所求概率为 (2)(2)  2 0.9773 1  0.9546 ；； (3)(3)31 设设 Z 表示表示n只鸡蛋中重量大于只鸡蛋中重量大于60克的鸡蛋数克的鸡蛋数  则则Z~B( (n  0.0228) )  (4)(4)(5)(5)因为因为欲使欲使即即解得解得32解解例例7 7 若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布N( (400,1002), ), 共有共有2000人参加考试，假定只录取前人参加考试，假定只录取前300名，求分数线名，求分数线 a，，使考生总分超过使考生总分超过 a的概率等于的概率等于升学率升学率. .设设X表示考试总分，则表示考试总分，则 33例例8 8 若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一 条条路线过市区，路程短但拥挤，所需时间路线过市区，路程短但拥挤，所需时间( (分分) )服从正态服从正态分布分布 N( (50,100) )；；第二条线路沿环城路走，路程长但第二条线路沿环城路走，路程长但阻塞少，所需时间阻塞少，所需时间 ( (分分) )服从正态分布服从正态分布 N ( (60 , 16). ). 问问:(1):(1)假如有假如有70分钟可用，应选哪条路？分钟可用，应选哪条路？(2)(2)若只有若只有65分钟，又应走哪条路？分钟，又应走哪条路？解解 记行走时间为记行走时间为t，， (1) (1) 若有若有7070分钟可用分钟可用, ,走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 34走第二条路线能及时赶到的概率为走第二条路线能及时赶到的概率为 因此，若有因此，若有70分钟可用，应选第二条路线分钟可用，应选第二条路线. .解解记行走时间为记行走时间为t，， (1) (1) 若有若有70分钟可用分钟可用, ,走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 35走第二条路线能及时赶到的概率为走第二条路线能及时赶到的概率为 因此，若有因此，若有65分钟可用，应选第一条路线分钟可用，应选第一条路线. . 解解记行走时间为记行走时间为t，， (2) (2) 若有若有65分钟可用分钟可用, ,走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 36练习：练习：P77 习题二习题二 37。