安大略湖污染问题(共12页).docx

精选优质文档-----倾情为你奉上安大略湖和伊利湖的污染问题摘要本文利用数学建模的方法，分析了安大略湖和伊利湖的湖水污染问题，运用了差分方程、等级结构理论和马氏链模型定量分析了两个湖泊系统的污染物流入流出的过程首先，通过对安大略湖的相关因素分析，适当的做出了相关假设，安大略湖的换水和污染物进入过程看成一个时间离散的过程，引入了差分方程的方式，构建了一个湖泊污染物总量随时间变化的模型，最终得到了，安大略湖的污染总额是随着时间的推移衰减的，并在相对长的时间上是维持在一个相对稳定的水平接着，在考量安大略湖污染物衰减的过程中，通过对湖水的流入与流出的分开分析，引入换水系数和水质因子相关概念，分析得到了安大略湖湖水污染物下降到10%以下大概需要34年的时间其次，在描述安大略湖与伊利湖的长期情况时，利用马氏链模型与等级结构的相关理论，考虑到了相关政策对湖水水质的要求，查阅了相关的资料，假设了相关的污染物含量标准，并得到了需达到这个状态的两个湖泊系统的长期行为最后，基于对问题的分析与认识，提出了对模型的进一步改进的方面，讨论了模型的有点与不足以期能全面分析问题的本质，同时也针相关的问题给出了一些建议。

1. 问题复述Background Information:Most of the water flowing into Lake Ontario is from Lake Erie. Suppose that pollution of the lakes ceased, except for pollution from an aluminum factory on Lake Ontario. How long would it take for the pollution level in each lake to be reduced to 10 percent of its present level?First, to simplify matters, let's assume that 100 percent of the water in Lake Ontario comes from Lake Erie. Let a(n) and b(n) be the total amount of pollution in Lake Erie and Lake Ontario, respectively, after n years. Since pollution has stopped, the concentration of pollution in the water coming into Lake Erie is c = 0. It has also been determined that, each year, the percentage of water replaced in Lakes Erie and Ontario is approximately 38 and 13 percent, respectively. Additionally, suppose that an aluminum factory on Lake Ontario directly dumps 25 units of pollutant into the lake each year. Initially, there are 2500 units of pollutant in Lake Ontario, and 3150 units of pollution in the lake after 1 year.Problem:1. Build a model to estimate the total amount of current pollution in Lake Ontario. 2. Find the particular solution and determine how long it would take for the pollution level in Lake Ontario to be reduced to 10 percent of its present level. 3. Describe the long term behavior of this system. 2. 问题分析 染物变化的分析，在化学与热动力学上，湖泊污染物的分布是一个相当复杂的问题。

于数学建模的定性与定量分析的需要，湖泊中污染物的分布是均匀这个假设很重要，这是后面问题分析的出发点 问题一要求根据已有的背景资料，求出安大略湖的污染物总量很明显，湖是一个动态变化的湖泊系统，污染物又从伊利湖中流入，也有自身的流出，所以，该湖泊的污染量总额应该是一个变化的数值，且随着时间的推移发生变化 问题二要求求出安大略湖污染物下降到10%以下所需的时间，根据对问题的分析可以知道污染物是程一个衰减的态势安大略湖的污染物既有流出也有流入，在假设湖水总量不变的情况下，可以将流入与流出看成两个过程，分开描述污染物的变化状况 问题三要求描述安大略湖与伊利湖的长期行为，由于安大略湖与伊利湖的污染物既有流入又有流出，且总体上程衰减的态势安大略湖与伊利湖两个系统可以看成是一个二维的等级结构，利用马氏链模型与等级结构的相关理论，通过查找相关资料，定义一个可变的污染物含量标准，构造一个稳定控制状态，可以描述这两个湖泊系统在一定的污染物要求下的长期行为3. 模型准备3.1安大略湖与伊利湖的相关地理资料安大略湖是北美洲五大湖之一在美国和加拿大之间略呈东西延伸，东西长约311千米，南北最宽85千米。

面积1.95万平方千米，在五大湖中最小湖面海拔75米，比伊利湖低99米平均水深85米，最大深度236米蓄水量1688立方千米湖岸线长1380千米，岸线较平直，仅东北端较曲折伊利湖是北美洲五大湖之一为美国和加拿大共有，东、西、南面为美国，北面为加拿大呈西西南-东东北向东西长388千米，最宽92千米面积2.57万平方千米，在五大湖中居第四位，仅大于安大略湖湖面海拔174米，比安大略湖高99米平均水深18米，最大深度64米，在五大湖中最浅蓄水量455立方千米湖岸线总长1200千米，较平直，少湖湾湖中有岛屿，集中在湖的西端，以加拿大的皮利岛为最大3.2马氏链模型马氏链描述的是系统在每个时期所处的状态是随机的，从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移的概率，与以前各时期的状态无关马氏链及其基本方程 按照系统的发展，时间离散化为n=0,1,2,…,对每个n,系统的状态用随机变量表示，设可以取k个离散值=1，2，3，…，k,且记，即状态概率从到的概率记为：，称为转移概率由状态转移的无后效性和全概率公式可以得到基本方程为：并且和应满足以下 n=0,1,2,…, I,j=1,2,3,…,k i=1,2,…,k引入状态概率向量和转移概率矩阵3.2等级结构理论等级结构理论描述的是等级结构的演变过程，预测未来的结构，确定为达到某个理想结构应采取的策略。

成员按等级的分布向量 成员按等级比例分布转移矩阵退出比例向量调入比例向量等级结构的基本方程当系统每年以固定的比例增长时，上式转化为若假定系统的总量保持不变上式可化为：4. 模型符号与假设4.1模型的符号说明n年后伊利湖的污染情况n年后安大略湖的污染情况V安大略湖的湖水体积湖水的换水系数T湖水更换的周期K综合降解系数4.2模型的基本假设（1）全部安大略湖的湖水来自于伊利湖（2）流入伊利湖的湖水未受过任何污染（3）两个湖泊的湖水总量保持不变，且更新速度是一致的（4）污染物的浓度很小，可以忽略湖水的密度影响（5）污染物可以瞬间在湖泊中均匀分布5. 模型的建立与求解5.1安大略湖污染总额模型（问题一）假定安大略湖百分之百的水发源于伊利湖a(n)和b(n)分别代表n年之后伊利湖和安大略湖的污染物比例因为污染已经停止，所以进入伊利湖的污染含量是c = 0每一年,伊利湖和安大略湖的换水的比例大约分别是38%和13%此外,处于问题的简单化，假设每年安大略湖旁只有一个铝厂直接将二十五个单位的污染物排入湖中开始时,安大略湖含有2500单位污染物，一年后达到3510单位首先将安大略湖的污染总量定义为一个可以数值计量的标量，污染物在安大略湖的分布是均匀的，新排入的污染物也能迅速地在湖中均匀的扩散开。

所以用差分方程构造一个安大略湖污染总额的模型为：在这个模型中，出于对问题的简单化处理，将安大略湖的换水和污染物进入过程看成一个时间离散的过程，即每一年安大略湖一次性完成换水，并且湖水的体积保持不变，通过这样与的推到关系为：所以，的通解为：又由于初始条件、所以可以得出安大略湖污染总额的年份变化为由此，可以通过通解求出安大略湖任意具体的年份求出安大略湖污染物总量，相关的变化见图1图中现实，安大略湖的污染物总量经过了一个先增长再衰减的过程，在较长的时间刻度上，污染物的总量会维持在一个较为稳定的数值上5.2安大略湖污染程度下降模型（问题二）在考量安大略湖污染物浓度时，假设安大略湖的湖水都是由伊利湖流入，并且安大略湖的湖体容积不变，容积为V，安大略湖中污染物的初始平均浓度为C0, 由于安大略湖是一个贯通的湖泊，因此流入的湖水体积与流出的水体体积大致上保持不变在此，我们将安大略湖湖水的流入与流出过程，看成一个以年份为标志的离散过程每个年份开始一次湖水流入流出的过程是先排水, 紧接着引水, 排水量与引水量相等,湖泊水位不变由于，伊利湖水流入安大略湖是一个持续的过程，湖水中污染物的浓度持续下降，为简化分析，可以假设由伊利湖流入的湖水中污染物的平均浓度为, 记引排周期为T, 单位时间内周边环境输入的该种污染物负荷为 , 一个周期中周边环境排入该水体的该种污染物的负荷总量为, ( ) , 设每次流入或流出的水体体积为, 其中定义为换水系数假定引排换水所需的时间很短与T 相比可忽略不计, 水体混掺均匀, 水体中污染物服从一阶或零阶降解, 综合降解系数为K 。

在上述条件和假设下, 在上一次引水完成后至下一次排水开始前, 水体中该种污染物的平均浓度可用下式描述:即：在该式子中C1 为某一引排周期初始时刻的平均浓度其最后时刻的平均浓度为:由均匀混掺假设, 可知在第1 次排水和引水以后, 水体中该种污染物的平均浓度为:以此作为下一时段的初始浓度, 利用( 3) 式可以推出在第2 次排水开始时水体中该种污染物的平均浓度一般地我们可以推出第n 次排水和引水后, 水体中该种污染物的平均浓度为:在第n+ 1 次排水前任意时刻t 该种污染物的平均浓度为:在第n+ 1 次排水开始时该种污染物的平均浓度为:取第n 次引水和n+ 1 次排水时间间隔内水体的平均浓度为: 对无降解的情况( K = 0) 有：上述式中 包含了安大略湖湖水流入与流出周期T 的影响式中是平均的水质改善因子上面可见, 水体中的污染物平均浓度由3 部分组成( 分别为方程右端的第一、二、三项) , 即原来水体中残留的污染物、引入水中的污染物和周边环境排入的污染物。