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第三节约当约当(Jordan) 标准形简介标准形简介 ?上一节定理上一节定理1说明，说明，n阶矩阵阶矩阵A与对角阵相似的 充要条件是 与对角阵相似的 充要条件是A有有n个线性无关的特征向量本节 说明当只有 个线性无关的特征向量本节 说明当只有m (mn)个线性无关的特征向量时个线性无关的特征向量时, A一定与由约当块组成的约当形矩阵相似一定与由约当块组成的约当形矩阵相似 一.一.约当块和约当形矩阵约当块和约当形矩阵 定义定义1 形如形如 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = s 2 1 J J J J ? 其中：其中： 叫做叫做约当形矩阵约当形矩阵，，Ji叫做叫做约当块约当块 当当J1 = [λ λ1]，，J2 = [λ λ2]，，…，，Js = [λ λs]都是一阶都是一阶 约当块时，约当块时，J为对角阵，所以对角阵为约当阵的特为对角阵，所以对角阵为约当阵的特 例 A和约当形矩阵相似，即存在可逆阵和约当形矩阵相似，即存在可逆阵P，使得，使得 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ λ = i i i i 1 1 J ? ? Ji中的λ中的λi显然是显然是A的特征值，但当的特征值，但当i ≠ ≠ j时，λ时，λi和λ和λj可可 能相等。

然而，能相等然而，P中的列向量却并非都是中的列向量却并非都是A的特征向的特征向 量 我们把与我们把与A相似的约当标准型矩阵称为相似的约当标准型矩阵称为A的约当标的约当标 准形约当标准形的理论比较复杂，我们仅介绍这准形约当标准形的理论比较复杂，我们仅介绍这 个理论的要点（不作证明）和约当标准形的方法个理论的要点（不作证明）和约当标准形的方法 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == − s 2 1 1 J J J JAPP ? 定义定义2 如矩阵如矩阵A = (aij)的元素的元素aij是λ的多项式，就称是λ的多项式，就称 A为λ矩阵，记作为λ矩阵，记作A(λ λ) 例如例如A的特征矩阵λ的特征矩阵λE − − A是一个λ矩阵是一个λ矩阵 λ矩阵也可以作初等变换，它的三种初等变换为：λ矩阵也可以作初等变换，它的三种初等变换为： 1.矩阵的两行矩阵的两行(列列)对换位置对换位置 2.矩阵的某行矩阵的某行(列列)乘以非零常数；乘以非零常数； 3.矩阵的某行矩阵的某行(列列)乘多项式ϕ乘多项式ϕ(λ λ)加到另一行加到另一行 (列列)；； 定义定义3 λ矩阵λ矩阵A(λ λ)经初等变换化为经初等变换化为B(λ λ)，称，称A(λ λ)和和 B(λ λ)是相抵的，记作是相抵的，记作A(λ λ)≌≌B(λ λ)。

定理定理1 任一个任一个n阶矩阵阶矩阵A的特征矩阵的特征矩阵A(λ λ) = λ λE − − A都 相抵于一个对角形λ矩阵，即 且 其中 都 相抵于一个对角形λ矩阵，即 且 其中 )5( )(D )(d )(d )(d )AE()(A n 2 1 λ= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ λ ≅−λ=λ ? ）（，，，6 )n21k()(D)( kk ?A=λ=λ 1.di(λ λ)（（i =1，，2，，…，，n）是首一多项式（即λ的 最高次项系数为 ）是首一多项式（即λ的 最高次项系数为1）；）； 2.di(λ λ)|di+1(λ λ)（即（即di+1(λ λ) =qi(λ λ)di(λ λ)，，qi(λ λ)也 是λ的多项式）（ 也 是λ的多项式）（i=1，，2，，…，，n）） 3.Ak(λ λ)和和Dk(λ λ)分别表示分别表示A(λ λ)和和D(λ λ)中全部中全部k阶子 式的最高公因式 阶子 式的最高公因式 由定理的结论可知：由定理的结论可知： Dk(λ λ) = d1(λ λ)d2(λ λ) … dk(λ λ)，，(7) k=1，，2，，…，，n，， D1(λ λ) = D1(λ λ)=A1(λ λ) (8) Ak(λ λ) = Dk(λ λ)=Dk-1(λ λ)dk(λ λ)=Ak-1(λ λ)dk(λ λ) 所以所以dk(λ λ)=Ak(λ λ)/Ak− −1(λ λ),k=1,2,…,n. (9) 由此可见，由此可见，d1(λ λ)，，d2(λ λ)，，…，，dn(λ λ)是由是由A(λ λ)=λ λE − − A唯一确定的，它们称为唯一确定的，它们称为A−λ−λE的不变因子（简称为的不变因子（简称为 A的不变因子）。

由于的不变因子）由于An(λ λ) = |λ λE − − A |=Dn(λ λ)是λ是λ 的的n次多项式，所以次多项式，所以n个不变因子的次数和等于个不变因子的次数和等于n 例例3 求三阶矩阵求三阶矩阵 的特征矩阵的特征矩阵J(λ λ)=λ λE − − J的不变因子的不变因子 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a00 1a0 01a J 解解 [方法方法1] 根据根据(8)式及式及(9)式式dk(λ λ)=Ak(λ λ)/Ak-1(λ λ) 求不变因子 先把 的所有的一阶、二阶子式及三阶子式求出来，然后 容易求得它们的最高公因式分别为： 求不变因子 先把 的所有的一阶、二阶子式及三阶子式求出来，然后 容易求得它们的最高公因式分别为： J1(λ λ)=1，，J2(λ λ)=1，，J3(λ λ)=(λ−λ−a)3， 于是得 ， 于是得J(λ λ)的不变因子：的不变因子： d1(λ λ)=J1(λ λ)=1，，d2(λ λ)=J2(λ λ)/J1(λ λ)，， d3(λ λ)=J3(λ λ)/J2(λ λ)=(λ−λ−a)3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λ −−λ −−λ =−λ=λ a00 1a0 01a ) JE()( J [方法方法2] 用初等变换，把用初等变换，把J(λ λ)=λ λE − − J化成化成(6.4.1)的 形式。

的 形式 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λ −−λ −−λ =−λ a00 1a0 01a ) JE( ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λ −−λ−λ − ⎯⎯⎯⎯→⎯ −λ×+ a00 1a)a( 010 2)a( 2 c 1 c ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λ −−λ − ⎯⎯⎯⎯→⎯ ↔ −λ×+ a00 1)a(0 001 2 2 c 1 c )a( 1 r 2 r 故故J(λ λ)=λ λE − − J的不变因子为的不变因子为1，，1，，(λ −λ − a)3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λ−λ − − ⎯⎯⎯⎯→⎯ −λ×+ a)a(0 100 001 3 2 )a( 3 c 2 c ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λ − − ⎯⎯⎯⎯→⎯ ↔ −λ×+ 3 3 c2c )a( 2 r 3 r )a(00 010 001 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λ ⎯⎯⎯→⎯ −× −× 3 )1( 2 r )1( 1 r )a(00 010 001 由于由于n次多项式在复数域上一定可以分成次多项式在复数域上一定可以分成n个一个一 次因式的乘积，因此λ−次因式的乘积，因此λ−a的次数大于等于的次数大于等于1的不变因的不变因 子都可以分解为若干个一次因式幂的乘积，这些一子都可以分解为若干个一次因式幂的乘积，这些一 次因式的幂称为次因式的幂称为A的初等因子。

但是的初等因子但是A(λ λ)的初等因的初等因 子中子中,同样的一次因子的幂可能重复出现如例同样的一次因子的幂可能重复出现如例7中中 J(λ λ)=λ λE− −J的初等因子为的初等因子为(λ−λ−a)3又如当 )10( ) 3)(1( ) 3( 1 1 1 AE 2 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λ+λ −λ ≅−λ 时，时，A的初等因子为的初等因子为(λ−λ−3)3，，(λ−λ−3)2，，(λ λ+1) 定理 定理2 A～～B的充分必要条件是λ的充分必要条件是λE− −A≌λ≌λE− −B 定理 定理3 A～～B的充分必要条件是λ的充分必要条件是λE− −A和λ和λE− −B有 完全相同的初等因子 定理 有 完全相同的初等因子 定理4 若若n阶矩阵阶矩阵A的特征矩阵λ的特征矩阵λE− −A的初等因子 为 则 的初等因子 为 则 ∑ = =λ−λλ−λλ−λ k 1i i k m k 2 m 2 1 m 1 nm,)( ,,)( ,)(其中? ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = k 2 1 J J J J~A ? 其中其中 说明：说明： 1. 由于λ由于λE− −A存在初等因子，且由存在初等因子，且由A唯一确定，又唯一确定，又A 的初等因子的次数和等于矩阵的阶数，因此由定 理 的初等因子的次数和等于矩阵的阶数，因此由定 理12可知，任一个可知，任一个n阶矩阵在复数域上都与一个约 当标准形相似。

阶矩阵在复数域上都与一个约 当标准形相似 2. 在约当标准形在约当标准形J中改变约当块的排列次序，不影响 λ 中改变约当块的排列次序，不影响 λE− −J的初等因子因此，如果不考虑约当块的排 列次序，矩阵 的初等因子因此，如果不考虑约当块的排 列次序，矩阵A的约当标准型的约当标准型J是唯一的是唯一的 3. 由定理由定理4可知，可知，A与对角阵相似的充要条件是 λ 与对角阵相似的充要条件是 λE− −A的初等因子都是一次因式的初等因子都是一次因式k,, 2 , 1i, 1 1 J i m i m i i i i ? ? ? = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ λ = × 例例4 已知 试求矩阵 已知 试求矩阵A，，B的约当标准形的约当标准形 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −λ+λ −λ ≅−λ 2 2 )3)(1( )3( 1 1 1 AE ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +λ+λ ≅−λ 4 )3)(4( 1 1 1 1 BE 解 有已知条件可知，（λ解 有已知条件可知，（λE− −A）的初等因子为）的初等因子为 (λ−λ−3)2，，(λ−λ−3)2，，(λ λ+1)；（λ；（λE− −B）的初等因子为）的初等因子为 (λ λ+3)4，，(λ λ+4)。

所以 或 所以 或 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 30 13 30 13 J~A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 30 13 1 30 13 J~A 或或 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 30 13 30 13 1 J~A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 4 3000 1300 0130 0013 J~B 或或 例例5 求求 的约当标准形的约当标准形 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 3000 1300 0130 0013 4 J~B ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−= 284 014 013 A 解解 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +λ−λ +λ−λ − ≅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +λ− +λ −−λ =−λ 28288 01) 1( 010 284 014 013 AE 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +λ−λ −λ≅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +λ−λ −λ − ≅ 22880 0) 1(0 001 20288 00) 1( 010 22 ⎥ ⎥。