高考二轮复习数学理配套讲义9空间点直线平面之间位置关系.docx

高考二轮复习数学理配套讲义9空间点直线平面之间位置关系微专题9空间点、直线、平面之间的位置关系命题者说考题统计考情点击2022 -全国卷II-T9-异面直线所成的角2022 -浙江高考・T6・直线与平面平行2022 -全国卷II-T10 •异面直线所成的角2022 -全国卷m-T16 •圆锥、异面直线所成的角1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问考向一空间点、线、面的位置关系判断【例1】(1)已知a,B是两个不同的平面，1, m, n是不同的直线，以下命题中不正确的是()A .假设 l^m,lLn, mu a, nu a,^ iJl^aB .假设 l^a,l〃B，贝a±PC.假设 a±P,anP=l, mU a, m±l,贝m±PD.假设 a±P,m±a,n±P，则m±n(2)已知m, n是两条不同的直线，a,B，Y是三个不同的平面，以下命题中正确的是()A.假设a±Y，P±Y，贝a#PB. 假设 m±a,n±a，贝m#nC. 假设 m〃a,n〃a，贝m#nD. 假设l〃a,a〃B，^ l〃B 解析(1)由 Hm,Hn, mu a, nu a,不能推出l^a，缺少条件m与n相交，故A不正确； 假设l^a,l〃B,则过l作平面Y，使YCB=c，贝lj l〃c,故c±a, cu B,故a±P,B正确； 根据面面垂直的性质定理知C正确；D正确。

应选A2 )假设a±Y，P±Y，贝IJ a与B相交或平行，故A错误; 假设m±a,n±a，则由直线与平面垂直的性质得m〃n，故B正确；假设假设 l〃a,m〃a,n〃a，则m与n相交、平行或异面，故C错误;a〃B，^ Ijlu B或l〃B，故D错误答案〔1〕A 〔2〕B判断空间点、线、面位置关系，主要依据四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了如果要否定一结论，只需找到一个反例即可变|式|训|练1.已知直线a, b和平面a,B,以下命题中是假命题的有〔只填序号〕①假设a〃b,则a平行于经过b的任何平面； ②假设a〃a,b〃a,则 a〃b； ③假设 a〃a,b〃B，且 a±P，贝a±b； ④假设aCB=a，且 b〃a，贝b〃a解析 ①假设a〃b, a, b可以确定平面，则a平行于经过b的任何平面，不正确； ②假设a〃a,b〃a，贝a〃b或a, b相交、异面，不正确； ③假设a#a,b#P, 且 a±P，则a, b关系不确定，不正确；④假设aCB=a,且b〃a，则b与a关系不确定，不正确答案①②③④2.〔2022 •益阳、湘潭调研〕以下图中，G, N, M, H分别是正三棱柱〔两底面为正三角形的直棱柱〕的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH, MN是异面直线的图形有〔〕A.①③B.②③C.②④D.②③④解析 由题意，可知题图①中，GH〃MN，因此直线GH与MN共面； 题图②中，G, H, N三点共面，但帽平面GHN，因此直线GH与MN异面； 题图③中，连接冲仔，则GM〃HN，因此直线GH与MN共面； 题图④中，连接GN, G, M, N三点共面，但H任平面GMN,所以直线GH与MN异面。

应选C答案C考向二异面直线所成的角【例2】(2022 -全国卷II)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=1, AA1 =，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析 解法一：以D为坐标原点，DA, DC,DD1所在直线分别为某轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 D(0,0,0), A(1,0,0), B1(1,1, ), D1(0, 0,)，所以=(-1,0,),= (1,1,)，因为co〈，〉= = =，所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为解法二：如图，补上一相同的长方体CDEF-C1D1E1F1，连接DE1,B1E1易知AD1〃DE1,则/B1DE1或其补角为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB = BC=1, AA1 =，所以 DE1 = = =2,DB1 = = , B1E1 = = =，在△ B1DE1 中，由余弦定理，得 coZB1DE1 = =>0,所以ZB1DE1为锐角，即为异面直线AD1与DB1所成的角，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，应选C解法三：如图，连接BD1,交DB1于点O,取AB的中点M,连接DM,OM,易知O为BD1的中点，所以AD1〃OM，则ZMOD为异面直线AD1与DB1 所成角。

因为在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=1, AA1 = , AD1==2, DM= = , DB1 = =，所以 OM=AD1 = 1, OD = DB1 =，于是在^DMO中，由余弦定理，得coZMOD= =，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，应选C答案C求异面直线所成的角，一般是用平移法把异面直线平移为相交直线，然后再解三角形求解变|式|训|练(2022 •陕西质量检测)已知△ ABC与ABCD均为正三角形，且ab = 4假设平面ABC±平面BCD，且异面直线AB和CD所成的角为则coe=()A.-B. C.— D.解析如图，取BC的中点O,取BD的中点E,取AC的中点F,连接OA, OE, OF, EF，则OE〃CD,OF〃AB，则/EOF或其补角为异面直线AB与CD所成的角，依题得OE=CD = 2, OF=AB = 2,过点F作FG±BC于点G,易得FG±平面BCD，且FG = OA=, G为OC的中点，则OG=1,又OE = 2,/EOG=60°，所以由余弦定理得EG ===，由勾股定理得EF2 = FG2 + EG2=()2+()2 = 6，在△ OEF中，由余弦定理得coZEOF= = =，所以co9=。

应选D答案D考向三空间点、线、面的综合问题【例3】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1E±DC1B.A1E±BDC.A1E±BC1D.A1E±AC(2)假设四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即AB = CD, AC=BD, AD=BC，给出以下结论： ①四面体ABCD每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD每个面的面积相等； ③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180°； ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分； ⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长其中正确结论的序号是解析(1)解法一：由正方体的性质，得A1B1±BC1,B1C±BC1,A1B1CB1C=B1，所以 BC1±平面 A1B1CD又 A1EU 平面 A1B1CD，所以A1E±BC1O 应选 C解法二：因为A1E在平面ABCD上的投影为AE,而AE不与AC, BD垂直，所以B、D错误； 因为A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CXBC1,所以 A1EXBC1,〔证明：由条件易知，BC1LB1C,BC1LCE,又 CECB1C = C,所以 BC1±平面 CEA1B1。

又 A1EU 平面 CEA1B1,所以A1E±BC1O ), C正确； 因为A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直2)对于①，如图①，AE, CF分别为BD边上的高，由AD=BC, AB =CD, BD=DB 可知△ ABD^ACDB，所以 AE = CF, DE=BF，当且仅当 AD=AB,CD = BC时，E, F重合，此时AC±BD，所以当四面体ABCD为正四面体时，每组对棱才相互垂直，故①错误； 对于②，由题设可知四面体的四个面全等，所以四面体ABCD每个面的面积相等，故②正确； 对于③，当四面体为正四面体时，同一个顶点出发的任意两条棱的夹角均为60°，此时四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180°，故③错误； 对于④，如图②，G, H, I, J为各边中点，因为AC = BD，所以四边形GHIJ为菱形，所以GI, HJ相互垂直平分，其他同理可得，所以连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，故④正确； 对于⑤，从A点出发的三条棱为AB, AC, AD,因为AC=BD，所以AB, AC, AD可以构成三角形，其他同理可得，所以从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长，故⑤正确。

综上所述，正确的结论为②④⑤答案(1)C (2)②④⑤破解此类问题需：(1)认真审题，并细观所给的图形，利用空间直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理求解；(2)懂得转化，即把面面关系问题转化为线面关系问题，再把线面关系问题转化为线线关系问题，通过转化，把问题简单化，问题的解决也就水到渠成了变|式|训|练1.假设平面a截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面a平行的棱有()A. 0条B. 1条C. 2条D. 0条或2条解析 如图，因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形，所以该三棱锥中与平面a平行的棱有2条答案C2.如图，在以下四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M, N, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是〔〕A B C D解析 解法一：对于B,如图所示，连接CD,因为AB〃CD, M, Q分别是所在棱的中点，所以MQ〃CD，所以AB〃MQ，又ABQ平面MNQ, MQu平面MNQ,所以AB〃平面MNQ同理可证选项C, D中均有AB〃平面MNQ解法二：对于A,设正方体的底面对角线的交点为0〔如图所示〕，连接OQ,则OQ〃AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行。

应选A答案A1.〔考向一〕〔2022 •重庆六校联考〕设a, b是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则a〃B的一个充分条件是〔〕A.存在一条直线a,a〃a,a〃B B.存在一条直线a, au a,a〃BC.存在两条平行直线a, b, au a, bu B,a〃B,b〃aD.存在两条异面直线a,b, au a, bu B,a〃B,b〃a解析 对于A,假设存在一条直线a,a〃a,a〃B，贝【J a〃B或a与B相交，假设a〃B，则存在一条直线a,使得a〃a,a〃B，所以选项A的内容是a〃B的一个必要条件； 同理，选项B, C的内容也是a〃B的一个必要条件而不是充分条件； 对于D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有a〃B，所以选项D的内容是a〃B的一个充分条件答案 D2.〔考向二〕〔2022 -全国卷I〕在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，则该长方体的体积为AB = BC = 2, AC1与平面BB1C1C所成的角为30〔〕A. 8 B. 6C. 8 D. 8 解析在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，连接BC1,根据线面角的定义可知ZAC1B = 30 °,因为AB = 2，所以BC1 = 2,从而。