非实验室环境下的大学物理实验之二利用家中自制的三线扭摆测物体的转动惯量.doc

湖南大学物理实验中心图1 三线扭摆原理示意图非实验室环境下的大学物理实验之二利用家中自制的三线扭摆测物体的转动惯量实验目的1. 学习测量物体转动惯量的一种简便方法一一三线扭摆法2. 通过实验加深对转动惯量、机械能守恒定律、简谐振动等概念和理论的理解3. 学习如何利用 App对物理量进行定量测量实验原理转动惯量是物体在转动中惯性大小的量度， 它与物体的总质量、形状、质量分布和转轴位置等有关，测量物体转动惯量的大小有很重要的实用价值和研究意义例如，飞轮设计、 发动机叶片设计乃至炮弹飞行、 导弹和卫星的外型设计、分子运动的研究等，都需要有转动惯量的数据测量物体绕定轴转动的转动惯量有很多方法， 本实验所采用的三线扭摆法简便易行，对复杂形状的物体也可进行测量Phyphox是一个利用传感器收集各种物理量数据的 App我们日常使用的智能中集成了大量的传感器，力学（加速度、旋转速度等） 、磁学、声学、光学、定位等等，可以提供非常丰富的测量功能类似的 App还有很多三线扭摆的运动原理如图 1所示上面的圆盘水平固定，下面的圆盘 A通过悬线悬挂在上盘的边缘，圆盘 A可以转动或摆动 三根悬线的长度均为I，且悬线在上盘与下 盘的悬挂点均在正三角形的顶点上，因此 圆盘A也是水平的，且两个圆盘圆心的连 线00是铅垂线。

当 A盘绕00轴作纯粹 的转动时，如果转角较小，这个运动是一 个简谐振动圆盘A的运动周期Ta与它的 转动惯量Ja的大小有关，这里Ja是指A盘 绕通过圆心并垂直于盘面的转轴的转动惯 量如果在A上放置另一物体 B，它的转 动周期就会发生变化，A+B的运动周期与 转动惯量Ja+b有关在转轴明确重合的条 件下，Ja+b = Ja + Jb，所以可通过测定运动 周期来求B的转动惯量下面简单推导一下物体转动惯量与简谐运动周期的关系先考虑圆盘 A单独存在的情形设 A盘的质量为mA，其悬线点到圆心的距离为 R,上盘悬线点到其圆心的距离为r，悬线长为I现将A盘绕00 '轴转过一小角度 0,如图1所示，则A盘将升高h通过简单的几何关系，我们可以得到:h； = I2 - (R- r)2, h； = l2 - (R2 + r2 - 2Rrcos0)如果0很小（0<5° ,贝U h1 + h2〜21，所以有h = h1 - h2 = hl - h2 = -Rr （1- cos e） h1 + h2 l若忽略空气阻力及摆线弹性的影响，则系统的机械能守恒，即盘1 Ja w2 + 1 mAv2 + mA gh = const2 2（1）A在任一位置满足野-I???ddt(1- COS B)? = ”？sin e?--^ = -ir ®sin e? l dt lRrTc^e式中w是A的角速度（w = d edt）, v是盘A垂直升降的速度。

因为湖南大学物理实验中心湖南大学物理实验中心而l远大于R和r，故v可忽略所以有-Ja w2 + mA gh = const2对（2）式求导，可得：湖南大学物理实验中心即:,d w d h 小J a W + mAg = 0dt dtd2 e汗 Ja d e.d ed2 eJA 2dt dt2+ rmAg巴=0 dtmAg dh可得：煜晋Sin e" e将(1)式对e求导，把结果代入上式,d2 e(3)这是一个简谐振动方程，圆频率和周期分别为2 mAgRrW = JaI '2 4n2Ta4也所以,wa mugRr圆盘A的转动惯量为:J =mAgRr?T24 n l测出转动周期，我们就可以根据上式计算转动惯量 如在A上放置另一物体 B，使A、B 一起绕(4)00'转动，则I (mA + mB)gRrT2JAB = "~2 T AB4n2l因此有： Jb = Jab - Ja注意，这样得到的转动惯量 Jb，其转轴应位于将 B放置于A盘上时中心线 OO所在的 位置，放置位置或方式不同，结果是不一样的5)(6)实验操作1. 利用一般家庭中厨房里的常用物品， 制作一个三线摆，如图2所示制作时应尽量保证上、下各三个悬线点位于正三角形的顶点上，三根线等长，越准确误差越小。

2. 挂好三线扭摆，上盘固定不动（可加一重物压住） 打开 App"Phyphox”，选择应用"Gyroscope”，按两下"？ ”键（此时已经开始记录数据），然后把平放在下盘的中间位置 稳住圆盘不动，再将圆盘转动一个小角度后放手（小于 5°）,圆盘的转动将是一个简谐振动注意，让圆盘转起来的时候尽量保证是一个纯粹的转动，不要有“摆动”的 成分3. 我们可以观察到屏幕上的数据曲线， 其中绕Z轴的部分是一个很好的正弦曲线（略有阻尼）经过数十个周期的运动后， 数据记录量够了，图2湖南大学物理实验中心湖南大学物理实验中心再进行下一步4. 将一个待测物体放在上（例如一个水杯，将水杯的中心尽量对准圆盘的中心） ，过程中不要动，让它继续记录下去我们会发现现在的数据曲线周期变了记录数十个周期后，停止测量数据曲线如图 3所示，底部的曲线是绕 Z轴的运动数据（角速度），曲线的 前半截是未加水杯的结果，后半截是加了水杯之后的结 果5. 导出数据点击右上方的“ ?，在菜单栏中选择“ Export Data ”，然后将数据以Excel或其他格式传输出去，然后在电脑上处理数据6. 用弹簧秤体重秤之类的工具称量 “圆盘A +” 的质量mA，物体B的质量mB。

也可去超市一类的地方 请别人代为称量7. 用卷尺测量上盘、下盘悬线点到圆心的距离，分 别为r、R,悬线的长度I g取10 （或从Phyphox中获0.0020.040.0tfsl更 5.001 0.003'5.00zooLQ0 □lOO -1.0020.00.00t