1.8复系数与实系数多项式的因式分解.ppt

1第八节第八节￿￿ ￿￿复系数与实系数多项式的复系数与实系数多项式的因式分解因式分解￿￿一、复系数多项式一、复系数多项式￿￿二、实系数多项式二、实系数多项式2©￿2009,￿Henan￿Polytechnic￿University2§8 §8 §8 §8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式1. 代数基本定理代数基本定理一、复系数多项式一、复系数多项式 若若 则则 在复数域在复数域上必有一根．上必有一根． 推论推论1（（代数基本定理的等价叙述代数基本定理的等价叙述））若若则存在则存在使使即，即，在复数域上必有一个一次因式．在复数域上必有一个一次因式．3©￿2009,￿Henan￿Polytechnic￿University3§8 §8 §8 §8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式推论推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 则则 　　可约．　　可约． 2. 复系数多项式因式分解定理复系数多项式因式分解定理若若 则则 在复数域在复数域上可唯一分解成一次因式的乘积．上可唯一分解成一次因式的乘积． 4©￿2009,￿Henan￿Polytechnic￿University4§8 §8 §8 §8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式推论推论1推论推论2若若 则则 在在 其中其中 是不同的复数，是不同的复数， 上具有标准分解式上具有标准分解式复根（重根按重数计算复根（重根按重数计算））．． 若若 ，则，则 有有n个个5©￿2009,￿Henan￿Polytechnic￿University5§8 §8 §8 §8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式二、实系数多项式二、实系数多项式 命题命题：若：若 是实系数多项式是实系数多项式 的复根，则的复根，则 的共轭复数的共轭复数 也是也是 的复根．的复根． 若若 为根，则为根，则两边取共轭有两边取共轭有 ∴ ∴ 也是为也是为 复根．复根． 证：证：设设6©￿2009,￿Henan￿Polytechnic￿University6§8 §8 §8 §8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理　　　　　　　　　　 ，若，若 ，， 则则 可唯一可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积． 证：对证：对 的次数作数学归纳的次数作数学归纳． ① ① 时，结论显然成立时，结论显然成立. . ② ② 假设对次数假设对次数