对数计算公式.doc

性质①lｏｇａ(１）=0;②logａ（a)=1;③负数与零无对数.2对数恒等式a^ｌogａN=N (ａ>０ ,a≠1)3运算法则①loga(MN)=logａＭ+logaN；②loｇa（M/Ｎ）＝logaＭ－lｏｇａN； 　 　 　　③对logａM中Ｍ的n次方有＝ｎｌogaM;如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m,e=２.…为自然对数的底定义:　若a＾n＝b（ａ＞０且a≠1） 则n=ｌoｇ(a)（b)基本性质:１、a＾(log(a）（ｂ))=b2、lｏg（a)(MN)=log(a）(M)+loｇ(a)(N);３、ｌｏg（ａ)(M÷N）＝ｌｏｇ(a)(M）-log（a)(N)；4、lｏg(a)（M^n)=nlog（a）(M)５、lｏg（ａ＾n)M=1/nloｇ(a）(M)推导：1、由于n=loｇ(ａ)(ｂ),代入则a^n=b,即ａ＾(loｇ(a)（b)）＝b2、ＭN＝Ｍ×Ｎ由基本性质1(换掉Ｍ和N)ａ^[lｏg(a）（ＭN)] = a^[lｏg(a)(M)]×a^[lｏg(a)(N）］由指数的性质a＾[log(a)(MN)] = a＾{[log(a)（M)] + [log(a)(Ｎ)]}又由于指数函数是单调函数,因此lｏg(a)(MN) =　log(a)(M) + log(a)(N)3、与(2）类似解决　Ｍ／N=M÷N由基本性质1（换掉M和Ｎ)a^[ｌoｇ(a)（M÷N)］ = a^[lｏg(ａ)（Ｍ）]÷a^[loｇ(a)(N)]由指数的性质ａ^［log（a）(Ｍ÷N)］ = a^｛[ｌog（a)(M)] － [ｌog（ａ)(N)］｝又由于指数函数是单调函数,因此ｌoｇ(a)(M÷N） =　loｇ(a）（M) -　lｏg(a)（N)4、与(2）类似解决M＾n=Ｍ＾n　由基本性质1（换掉M）　a^[ｌog(a)(M^ｎ）] = {a^[log(ａ)(M)]}＾n由指数的性质a^［lｏg(ａ)(Ｍ＾n）] = ａ^{［log(ａ）（M)］＊n}又由于指数函数是单调函数，因此loｇ(a）(Ｍ＾ｎ)＝nloｇ（a)(Ｍ)基本性质4推广log（ａ＾n）(b^m)＝m/ｎ*[log(a)(b)]推导如下： 由换底公式(换底公式见下面)[ｌnx是lｏg（e)(x），e称作自然对数的底] log(a＾n)(ｂ^m）＝lｎ(b＾ｍ)÷ln(a^n)换底公式的推导： 设e^x=b^m，ｅ^y=ａ^n　则log(a＾ｎ)（b^ｍ）=lｏg(e^y）(e^ｘ)=x/y　x=ln(b＾ｍ）,ｙ=ln(a^n) 得：lｏg(ａ^n）(b^m)=ｌｎ（ｂ^m)÷ln(ａ^n)由基本性质4可得 ｌoｇ(a^ｎ)（b^m)　=　［m×ln(b）]÷[ｎ×ln(a）]　= （ｍ÷n)×{[ln(b)]÷［ln(ａ)]｝再由换底公式 ｌoｇ(a＾ｎ)(b^ｍ)＝m÷n×[log(a)(b)]4换底公式设b=a^m，ａ=c^n,则b=(c^ｎ)^ｍ=c^(mn)………………………………①对①取以a为底的对数，有：ｌog(a)(b）=m……………………………．.②对①取以c为底的对数，有:ｌoｇ(c)(b)=mn……………………………③③/②,得：log(c）(ｂ)/lｏｇ(a)（b)=ｎ=ｌｏg(c)(a)∴log（a)(ｂ)=ｌog(c)（b)/loｇ(c)（ａ)注:ｌog（a)（b)表达以a为底ｘ的对数。

换底公式拓展：以ｅ为底数和以a为底数的公式代换:logae=１/(lｎａ）　5推导公式lｏｇ（1／a)（1／b）=ｌoga(b)lｏgａ(b)*ｌogｂ(ａ）=１6求导数（xlogaｘ）＇=lｏgax+lｎa其中,lｏgax中的a为底数，x为真数；(loｇax)'=1/xｌｎａ特殊的即ａ＝e时有（ｌogｅx）'=(lnx）＇＝１/ｘ。