《复变函数论》PPT课件.ppt

      对 象象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任主要任务研究复变函数之间的相互依赖关系，研究复变函数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分具体地就是复数域上的微积分.主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等共形映射等.复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、学习方法复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似 之处之处.但又有不同之处，在学习但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结意复数域上特有的那些性质与结 果果.背　景背　景　　 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的. .为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域数域扩大到复数域. . 但在十八世纪以前，由于对复但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人数的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的们把复数看作不能接受的““虚数虚数””. . 直到十八世纪，直到十八世纪，J.D’Alembert与与L.Euler等人逐等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题等方面的一些问题. . 复数才被人们广泛承认接受，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展复变函数论才能顺利建立和发展. . 　　　　复变函数的理论基础奠定于十九世纪复变函数的理论基础奠定于十九世纪. .         A.L.Cauchy 和和K.Weierstrass分分别应用用积分和分和级数研究复数研究复变函数，函数，G.F.B.Riemann研究复研究复变函数的映函数的映照性照性质。

他们是这一时期的三位代表人物质他们是这一时期的三位代表人物. .经过他们经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用体力学和电学等方面也得到了很多的应用. . 　　　　 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切它分支的联系也日益密切. .      1. 1. 复数的概念复数的概念复数的概念复数的概念      2. 2. 代数运算代数运算代数运算代数运算￿ ￿ ￿ ￿     3. 3. 共共共共轭轭复数复数复数复数 一一 复数及其代数运算复数及其代数运算  1. 复数复数复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任          意的实数，i是虚数单位(    的平方根）.  x和y分别称为的实部和虚部，分别记作： 注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等.          如果Imz=0，则z可以看成一个实数；          如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数；          如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.   2.复数的四则运算复数的四则运算复数的四则运算定义为： 全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域 .记为C，复数域可以看成实数域的扩张. 注:在复数域中不能规定复数像实数那样的大小关系.z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 . 运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，共轭复数的性质3. 共轭复数共轭复数 定义    若z=x+iy , 称z=x—iy 为z 的共轭复数.(conjugate)     1. 1. 点的表示点的表示点的表示点的表示      2. 2. 向量表示法向量表示法向量表示法向量表示法￿ ￿ ￿ ￿     3. 3. 三角表示法三角表示法三角表示法三角表示法        4.  4.  指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法 二二     复数的表示方法复数的表示方法1. 1. 点的表示点的表示点的表示：点的表示：2. 向量表示法向量表示法                                   o x y (z) P(x,y) x y    称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；； 以正实轴以正实轴 为始边为始边, 以以               为终边的角的为终边的角的 弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z≠0时时)辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ，， k∈∈Z，，把其中满足把其中满足                      的的θ0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值， 记作记作θ0=argz.z=0z=0时，辐角不确定时，辐角不确定. .     计算计算 argz(z≠0)    的公式的公式3. 三角表示法三角表示法非零复数的三角表示定义为：复数加、减法的几何表示如右图： 关于两个复数的和与差的模，有以下不等式： 4. 指数表示法例例4 4 用复数方程表示用复数方程表示: : （（1 1）过两点）过两点zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；o x y (z) L z1z2z解解 ：：z=z1+ t (z2-z1)（（-∞ 0, 对任意对任意 z ∈∈D, 均有均有 z∈∈G={z | |z|

的重点             定义定义    称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或                       Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线            z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质(Jardan定理定理) 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线  C：：z=z(t)，， t∈∈[a，，b]，把复，把复 平面唯一地分成三个点集，具有如下性质平面唯一地分成三个点集，具有如下性质 1、彼此不相交、彼此不相交; 2、、I(c)一个是有界区域，称为一个是有界区域，称为C的内部；的内部； 3、、E(c)一个是无界区域，称为一个是无界区域，称为C的外部；的外部； 4、若简单折线Ｐ的一个端点属于、若简单折线Ｐ的一个端点属于I(c) ，而另一个，而另一个 　　端点属于　　端点属于E(c)则Ｐ必与Ｃ有交点则Ｐ必与Ｃ有交点.3. 单连通域与多通域与多连通域通域z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界界定义定义    复平面上的一个区域复平面上的一个区域D，如果，如果D内的任何简单闭曲线内的任何简单闭曲线的的 内部总在内部总在D内，就称内，就称 D为单为单连通连通 域；非单连通域称为多连域；非单连通域称为多连通域通域.例如例如    |z|0）是单连通的；）是单连通的；             0≤r<|z|

在原点及负实轴上不连续证明证明x y (z) ozz 定理定理4   连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商 (分母不为分母不为0)                仍为连续函数仍为连续函数;                连续函数的复合函数仍为连续函数连续函数的复合函数仍为连续函数有界性：有界性：例例2   1.复球面与无穷大复球面与无穷大  2. 无无穷远点点￿ ￿        7 复球面与无穷远点复球面与无穷远点一、复球面与无穷大一、复球面与无穷大: 在点坐标是在点坐标是(x,y,u)的三维空间中，把的三维空间中，把 xOy面看作是面看作是z面考虑球面面考虑球面S：：    取定球面上一点取定球面上一点N(0,0,1)称为球极称为球极    我我们们可可以以建建立立一一个个复复平平面面C到到S-{N}之之间间的的一一个个1-1对应（球极射影）：对应（球极射影）：球极射影球极射影:   我们称上面的映射为球我们称上面的映射为球极射影：极射影：    1、、(x,y,0), (x’,y’,u’), (0,0,1)三点共线；三点共线；     2、、x:y:-1=x’:y’:u’-1; 二二 无穷远点无穷远点:   对应于球极射影为对应于球极射影为N，我们引入一个新的非，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，正常复数无穷远点，称称                为扩充复平面，记为为扩充复平面，记为       。

         关关于于无无穷穷远远点点，，我我们们规规定定其其实实部部、、虚虚部部、、辐角无意义，模等于：辐角无意义，模等于： 它和有限复数的基本运算为：它和有限复数的基本运算为： 这些运算无意义：这些运算无意义： 。