函数百年考（改）.ppt

中国中学数学函数概念百年演变考中国中学数学函数概念百年演变考代代 钦钦 内蒙古师范大学内蒙古师范大学 对动态和变量的描述，推进了函数的产生，并且对动态和变量的描述，推进了函数的产生，并且随其发展，函数及其思想方法逐渐在整个数学中占随其发展，函数及其思想方法逐渐在整个数学中占有越来越重要的地位有越来越重要的地位v 在中学数学中，函数逐渐从方程图解中分离开，在中学数学中，函数逐渐从方程图解中分离开，并且函数解析式与函数图象成为联系中学代数与几并且函数解析式与函数图象成为联系中学代数与几何的重要纽带何的重要纽带 20世纪初，在德国数学家世纪初，在德国数学家F.克莱因的数学教育改克莱因的数学教育改革倡导下，欧美将函数概念引进中学数学，然而在革倡导下，欧美将函数概念引进中学数学，然而在我国中学数学教科书中引进函数概念经历了复杂的我国中学数学教科书中引进函数概念经历了复杂的过程 关于我国中学数学中引进函数概念的过程，我们关于我国中学数学中引进函数概念的过程，我们可以从两个方面考察：可以从两个方面考察： 一是在数学教育制度下的教科书中引进函数。

一是在数学教育制度下的教科书中引进函数 二是不受数学教育制度限制在中学数学教科书中二是不受数学教育制度限制在中学数学教科书中引进函数内容引进函数内容 国人按照数学教育制度要求编写的教科书引进函数国人按照数学教育制度要求编写的教科书引进函数比翻译教科书晚十几年比翻译教科书晚十几年 主要原因是：主要原因是： 在清末，我国数学教育制度完全模仿日本数学教育在清末，我国数学教育制度完全模仿日本数学教育制度，而当时的日本数学教育制度倡导的是欧洲十九制度，而当时的日本数学教育制度倡导的是欧洲十九世纪末的数学教育思想，换而言之，我国通过日本学世纪末的数学教育思想，换而言之，我国通过日本学习了习了19世纪末欧洲传统数学教育思想欧美传统数学世纪末欧洲传统数学教育思想欧美传统数学教育崇尚欧氏几何学，对实用数学的关心不够教育崇尚欧氏几何学，对实用数学的关心不够 日本近代国家数学教育的奠基人藤泽利喜太郎和菊日本近代国家数学教育的奠基人藤泽利喜太郎和菊池大麓格外欣赏英国和德国的传统数学教育思想，于池大麓格外欣赏英国和德国的传统数学教育思想，于是在他们这样的主张下制定了是在他们这样的主张下制定了《《寻常中学校数学科教寻常中学校数学科教授细目授细目》》和和《《中学校数学科教授要目中学校数学科教授要目》》，而对，而对20世纪世纪初的贝利初的贝利——克莱因教育改革运动视而不见。

这与从克莱因教育改革运动视而不见这与从1901年开始数学教育改革运动是背道而驰的年开始数学教育改革运动是背道而驰的  1922年，教育部公布了年，教育部公布了《《学校系统改革令学校系统改革令》》（壬戌（壬戌学制），学习美国学制并实行学制），学习美国学制并实行“六三三制六三三制”，，1923年年教育部颁布了教育部颁布了《《新学制课程标准纲要新学制课程标准纲要》》和和《《初级中学初级中学算学课程纲要算学课程纲要》》，终于摆脱欧洲传统数学教育的影响，，终于摆脱欧洲传统数学教育的影响，把初中算术、代数、几何、三角四项联络贯通成为一把初中算术、代数、几何、三角四项联络贯通成为一种混合算学，并在中学数学中引进了函数这也说明，种混合算学，并在中学数学中引进了函数这也说明，我国中学数学教育真正地与欧美现代数学教育的接轨我国中学数学教育真正地与欧美现代数学教育的接轨v 另一方面，清末民国初年是大变革的时期，各种另一方面，清末民国初年是大变革的时期，各种思潮接踵而来，虽然制度层面制定了很多规定，但是思潮接踵而来，虽然制度层面制定了很多规定，但是人们不一定受制度的制约如，在数学教育制度中虽人们不一定受制度的制约。

如，在数学教育制度中虽则没有设置函数内容，但却在蜂拥而来的翻译数学教则没有设置函数内容，但却在蜂拥而来的翻译数学教科书中不乏函数内容科书中不乏函数内容 下面在简要介绍我国中学数学概念的历史背景的基下面在简要介绍我国中学数学概念的历史背景的基础上的自清末至今函数概念的相关问题：础上的自清末至今函数概念的相关问题：v一、中学数学教科书中函数概念表述之演变一、中学数学教科书中函数概念表述之演变v二、函数概念的有关名词术语的演变二、函数概念的有关名词术语的演变 v三、中学数学教科书中的函数图象及其名词术语的变三、中学数学教科书中的函数图象及其名词术语的变迁迁v（一）我国数学教育制度下的中学数学教科书中的函数概（一）我国数学教育制度下的中学数学教科书中的函数概念定义之演变念定义之演变v（二）不受我国数学教育度制制约的中学数学教科书中函（二）不受我国数学教育度制制约的中学数学教科书中函数概念的定义方法的变迁数概念的定义方法的变迁一、中学数学教科书中函数概念表述之演变一、中学数学教科书中函数概念表述之演变（一）数学教育制度下的中学数学教科书中函数概念（一）数学教育制度下的中学数学教科书中函数概念表述之演变表述之演变 函数是什么？函数是什么？ 函数概念描述主要有三种描述，即函数变量说、函函数概念描述主要有三种描述，即函数变量说、函数对应说、函数关系说。

数对应说、函数关系说中学的函数主要采用了函数的变量说和对应说中学的函数主要采用了函数的变量说和对应说 下面以中学数学教科书中的函数概念为中心，介绍下面以中学数学教科书中的函数概念为中心，介绍从从1922年年“壬戌学制壬戌学制”颁布以来的我国中学数学函数颁布以来的我国中学数学函数概念的演变概念的演变 我国对我国对“函数函数”的名词术语的称谓：的名词术语的称谓：函数函数倚数倚数 方程图解表示方程图解表示应数应数 1.1922年，吴在渊的年，吴在渊的《《近世初等代数学近世初等代数学》》 函数函数：有相互联系之二量，一：有相互联系之二量，一量变，另一量随之而变，一量定，量变，另一量随之而变，一量定，另一量亦因之而定；则自变自定另一量亦因之而定；则自变自定之一量名曰自变数，因自变数之之一量名曰自变数，因自变数之变而变、定而定之一量名曰函数，变而变、定而定之一量名曰函数，或曰因变数或曰因变数2.1927年，何鲁的年，何鲁的《《新学制高级中学教科书新学制高级中学教科书——代数学代数学》》倚数倚数：此量定时，彼量亦随之俱定；或彼量定时，此：此量定时，彼量亦随之俱定；或彼量定时，此量亦然，是谓两量相倚。

量亦然，是谓两量相倚3.1929年，何鲁、陶三氏的年，何鲁、陶三氏的《《高中代数学高中代数学》》（第二册）（第二册）方程的图解法方程的图解法：至少有两变数，：至少有两变数，其关系至切，任变其一，则其其关系至切，任变其一，则其它之俱变且常有一变数，其它之俱变且常有一变数，其它数因变数而变者它数因变数而变者4.1932年，熊庆来的年，熊庆来的《《高等算学分析高等算学分析》》应数应数：设二变数：设二变数x与与 y，若于，若于x之之每数值，有每数值，有y之一数值应之；则之一数值应之；则 y称为称为 x之函数或应数，而吾等之函数或应数，而吾等书书 y=f(x) 该书中亦将函数称为该书中亦将函数称为“应数应数”5.1933年，薛天遨的年，薛天遨的《《新课程标准高中代数学新课程标准高中代数学》》函数函数：设有二量，当第一量：设有二量，当第一量确定后，第二量即由此二量确定后，第二量即由此二量的关系而确定，则第二量为的关系而确定，则第二量为第一量的函数第一量的函数 6.1938年，吴上千改编的年，吴上千改编的《《近世初等代数学近世初等代数学》》（此书为（此书为1922年吴在渊年吴在渊《《近世初等代数学近世初等代数学》》之改编本）之改编本）函数函数：有相互联系的二数，一：有相互联系的二数，一数变，他一数跟着变；则自变数变，他一数跟着变；则自变的一数，叫自变数。

因自变数的一数，叫自变数因自变数的变而变的一数叫做因变数，的变而变的一数叫做因变数，或叫函数或叫函数7.1946年，虞明礼原编，荣方舟改编的年，虞明礼原编，荣方舟改编的《《复兴高级中学复兴高级中学教科书代数学教科书代数学》》函数函数：有甲、乙两变数，如：有甲、乙两变数，如甲数之值改变时，乙数亦随甲数之值改变时，乙数亦随之而变，则谓乙数为甲数之之而变，则谓乙数为甲数之函数，甲数为自变数，乙数函数，甲数为自变数，乙数为依变数为依变数8.1956—1963年的函数定义相同年的函数定义相同如，余元庆，魏群，吕学礼如，余元庆，魏群，吕学礼《《高级中学课本高级中学课本》》（第一册）（第一册）函数：函数：如果对于自变量的每一如果对于自变量的每一个确定的值，另一个变量有确个确定的值，另一个变量有确定的值和它对应，那么这个变定的值和它对应，那么这个变量叫做自变量的量叫做自变量的函数函数9.1960年年,北京师范大学数学系普通教育改革小组编的北京师范大学数学系普通教育改革小组编的《《九年一贯制试用课本（全日制）初等函数九年一贯制试用课本（全日制）初等函数》》函数函数：如果对于变量：如果对于变量 x的每一个的每一个所能取的值都有变量所能取的值都有变量 y的一个确的一个确定的值与它对应，那么称变量定的值与它对应，那么称变量y是变量是变量x的一个函数，用符号的一个函数，用符号 表示表示 y=f(x)。

10.1978年，年，《《河南省中学试用课本河南省中学试用课本》》（第五册）（第五册）v函数函数：在某一变化过程中，：在某一变化过程中，有两个相互联系着的变量有两个相互联系着的变量 x和和y，如果对于变量，如果对于变量x的每一个确定的每一个确定的值，变量的值，变量 y总有确定的值和总有确定的值和它对应，那么变量它对应，那么变量 y就叫做变就叫做变量量 x的函数其中的函数其中x叫做自变量叫做自变量v 函数记作：函数记作：y=f(x)11. 1979年，中小学通用教材数学编写组编的年，中小学通用教材数学编写组编的《《全日全日制十年制学校高中课本制十年制学校高中课本 数学数学》》（第一册）（第一册）函数函数：设在某变化过程中有两个变：设在某变化过程中有两个变量量 x和和 y变量x依赖于依赖于 y如果对于于 x的每一个确定的值，按照某个的每一个确定的值，按照某个对应关系，都有唯一的值对应关系，都有唯一的值y和它对和它对应，应，y就叫做就叫做 x的函数，的函数，x叫做自变叫做自变量x的取值范围叫做函数的定义的取值范围叫做函数的定义域和 x值相对应的值相对应的 y的值叫做函的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值数值，函数值的集合叫做函数的值域。

域 该定义中，将函数概念和集合概该定义中，将函数概念和集合概念联系起来，但不彻底念联系起来，但不彻底12.1995年人民教育出版社中学数学室编的年人民教育出版社中学数学室编的《《高级中学高级中学课本课本 代数代数》》（上册）中的定义上册）中的定义函数：函数：如果在某变化过程中有两个如果在某变化过程中有两个变量变量x,y并且对于并且对于x在某个范围内在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应的每一个确定的值，按照某个对应法则，法则，x都有唯一确定的值都有唯一确定的值y和它对和它对应，那么应，那么y就是就是x的的函数，函数，x 叫做自叫做自变量，变量，x的取值范围叫做函数的定义的取值范围叫做函数的定义域，和域，和x的值对应的的值对应的 y的值叫做函数的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域值，函数值的集合叫做函数的值域 如上所说，如上所说，函数函数实际上是集合实际上是集合 A到集合到集合 B的映射，的映射，其中其中 A,B都是非空的数的集合，对于自变量都是非空的数的集合，对于自变量 x在定义在定义域域 A内的任何一个值，在集合内的任何一个值，在集合 B中都有唯一的函数值中都有唯一的函数值 y和它对应；自变量的值相当于原象，和它对应的函和它对应；自变量的值相当于原象，和它对应的函数值相当于象；函数值的集合数值相当于象；函数值的集合 C就是函数的值域。

很就是函数的值域很明显明显 C⊆B 该定义将函数概念和集合概念彻底联系在一起了该定义将函数概念和集合概念彻底联系在一起了函数：函数：一般地，在一个变化一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量过程中，如果有两个变量 x和和 y，并且对于的每一个确，并且对于的每一个确定的定的 x的值，都有唯一确定的值，都有唯一确定 y的值与其对应，那么我们的值与其对应，那么我们就说就说 x是自变量，是自变量，y是是 x 的的函数函数13. 2006年年—2010年间，初中数学中函数概念的定义没年间，初中数学中函数概念的定义没有变化，有变化，如，人民教育出版社的如，人民教育出版社的《《义务教育课程标准试义务教育课程标准试验教科书验教科书 数学八年级数学八年级》》（上册）（上册）14. 2004年年《《普通高中实验教科书普通高中实验教科书 数学数学》》（人教社，（人教社，B版）版）函数函数：设集合：设集合A是一个非空的数是一个非空的数集，对集，对A中的任意数中的任意数x，按照确定，按照确定的法则的法则f，都有唯一确定的数，都有唯一确定的数y与与它对应，则这种对应关系叫做集它对应，则这种对应关系叫做集合合A上的一个函数。

上的一个函数 记作：记作：y=f(x) ,x∈∈A15. 2007年年《《普通高中实验教科书普通高中实验教科书 数学数学》》（人教社，（人教社，A版）版）函数函数：设：设 A,B是非空的数集，是非空的数集，如果按照某种确定的关系如果按照某种确定的关系f：：A→B，使对于集合，使对于集合A中的任意中的任意一个数一个数x，在集合，在集合B中都有唯一中都有唯一确定的数确定的数y和它对应，那么就称和它对应，那么就称y 为从集合为从集合 A到集合到集合 B的一个的一个函数，记作函数，记作 y=f(x) ，，x∈∈A（二）不受数学教育制度制约的教科书中的函数概念（二）不受数学教育制度制约的教科书中的函数概念 1902年我国虽然有了制度，但是一时还没有根据数学年我国虽然有了制度，但是一时还没有根据数学教育制度编写中学数学教科书的客观条件，国人只好选教育制度编写中学数学教科书的客观条件，国人只好选择一些外国数学教科书进行翻译，并没有充分考量这些择一些外国数学教科书进行翻译，并没有充分考量这些教科书是否符合我国数学教育制度的要求和国情教科书是否符合我国数学教育制度的要求和国情 1922年，颁布的数学教育制度中首次引进函数，而实年，颁布的数学教育制度中首次引进函数，而实际上在清末的中学数学教育中已经有了函数，这是通过际上在清末的中学数学教育中已经有了函数，这是通过翻译的数学教科书来实现的。

我们从下面的翻译中学数翻译的数学教科书来实现的我们从下面的翻译中学数学教科书中可以了解函数概念的引入超前于数学教育制学教科书中可以了解函数概念的引入超前于数学教育制度的变革的情况度的变革的情况1.（日）上野清原著的（日）上野清原著的《《大代数学讲义大代数学讲义》》 （王家菼，张庭华译述，（王家菼，张庭华译述，1909年）年）变数变数：二数量有一定之关系二数量有一定之关系其第一量任意两值之比等于其第一量任意两值之比等于第二量相当两值之比则谓之第二量相当两值之比则谓之第一量因第二量而变方程第一量因第二量而变方程中的比例中项）中的比例中项）2.《《汉译温德华士代数学汉译温德华士代数学》》（屠坤华译，商务印书馆，（屠坤华译，商务印书馆，1910年初版）年初版）函数函数：二变数互相依赖此值：二变数互相依赖此值有变，致令彼值亦变凡此情有变，致令彼值亦变凡此情形次变数为首变数之函数次变数为首变数之函数凡想定值之变数谓之自变数凡想定值之变数谓之自变数而其函数谓之因变数而其函数谓之因变数3.《《布利氏新式算学教科书布利氏新式算学教科书》》（唐楩献、文亚文译，（唐楩献、文亚文译，商务印书馆，商务印书馆，1924年初版）年初版）函数函数：若与为两变数，而与以一：若与为两变数，而与以一值即可限定之值，则称为之函数。

值即可限定之值，则称为之函数4.《《范氏高等代数学范氏高等代数学》》（韩桂丛译述，算学丛刻社，（韩桂丛译述，算学丛刻社，1935年初版）年初版）函数函数：若变数依变数之值而变，而：若变数依变数之值而变，而对于之任一值，均有一定值或数定对于之任一值，均有一定值或数定值与之对应时，则称为之函数值与之对应时，则称为之函数5.《《范氏大代数范氏大代数》》（田长和译，北平华成书局，（田长和译，北平华成书局，1935））函数函数：设变数，依变数而变，：设变数，依变数而变，其变之法，为于每值，则有其变之法，为于每值，则有一相当之定值或一组值，则一相当之定值或一组值，则称为之函数称为之函数 由上可知，在中学数学教科书中函数概念的名词术由上可知，在中学数学教科书中函数概念的名词术语采用了函数、倚数、方程图解表示、应数、变数等，语采用了函数、倚数、方程图解表示、应数、变数等，但是在当时的但是在当时的《《数学辞典数学辞典》》和和《《算学辞典算学辞典》》均采用了均采用了“函数函数” ：：1.《《数学辞典数学辞典》》（倪德基、酈禄琦，中华书局（倪德基、酈禄琦，中华书局 1925年）年）函数函数：（数）于二变数，前：（数）于二变数，前数给以一值时，后数对应之数给以一值时，后数对应之而得一值，则后数称为前数而得一值，则后数称为前数之函数。

之函数2.《《算学辞典算学辞典》》（段育华、周元瑞，商务印书馆，（段育华、周元瑞，商务印书馆，1938年）年）函数函数：若有二量，一量改变：若有二量，一量改变他量亦相应的改变，则后量他量亦相应的改变，则后量称为前量之函数函数一名称为前量之函数函数一名词含有变动之意，即谓二量词含有变动之意，即谓二量或多量按某种算学规律共同或多量按某种算学规律共同改变是也改变是也 二、函数概念的有关名词术语演变的二、函数概念的有关名词术语演变的分析分析 由上可知中学中函数的概念分为两类：变量说与对由上可知中学中函数的概念分为两类：变量说与对应说变量说是基本的函数定义，更容易接受而对应说变量说是基本的函数定义，更容易接受而对应说更加严密化，规范了自变量与函数的范围，即定应说更加严密化，规范了自变量与函数的范围，即定义域与值域义域与值域 综上，中学中函数概念逐步优化，使概念表达简洁综上，中学中函数概念逐步优化，使概念表达简洁明了，易于学生接受并且概念更加规范化使学生明了，易于学生接受并且概念更加规范化使学生在学习函数概念知识及其思想方法在学习函数概念知识及其思想方法 分析见表分析见表1、表、表2函数表.doc 三、函数图象名词术语之演变三、函数图象名词术语之演变 函数图象这个术语在我国经历了界线（函数图象这个术语在我国经历了界线（1874）、图）、图解（自解（自1929年以后）、图象（自年以后）、图象（自1949年以后）的演变年以后）的演变过程。

过程 我国从我国从1850年代开始引进西方数学，在解析几何学年代开始引进西方数学，在解析几何学和代数学中有了函数和图象从和代数学中有了函数和图象从1923年开始在初中学年开始在初中学采用了采用了“混合教授法混合教授法”，在初高中代数中有了函数及，在初高中代数中有了函数及其图象1.界线：界线：《《代数学代数学》》（（1874，傅兰雅口述，华蘅芳笔述傅兰雅口述，华蘅芳笔述 《《代微积拾级代微积拾级》》、、《《代数学代数学》》、、《《微积溯源微积溯源》》中有了函中有了函数和图象数和图象 在该书中把在该书中把Graph翻译为翻译为“界线界线”2.图象图象：：20世纪世纪20、、30年代，数学教科书中普遍出现年代，数学教科书中普遍出现了函数和函数图象了函数和函数图象 1922年，中国学制模仿日本转向了模仿美国，即六年，中国学制模仿日本转向了模仿美国，即六三三制 在在1923年的年的“课程纲要课程纲要”的的“算学算学”中，采用了代中，采用了代数和几何的数和几何的“混合教学法混合教学法” 当时还出版了混合教学的教科书当时还出版了混合教学的教科书——《《新数学教科新数学教科书初级混合数学书初级混合数学》》。

3.二元一次方程之迹，二元二次方程之迹二元一次方程之迹，二元二次方程之迹：其中将一次：其中将一次函数图象和二次函数图象均同方程之迹的说法表示这函数图象和二次函数图象均同方程之迹的说法表示这也从另一个角度来阐述方程与函数的关系也从另一个角度来阐述方程与函数的关系如，如，1929年张鹏飞的年张鹏飞的《《新中华算学教科书新中华算学教科书》》（第六册）（第六册）中的描述中的描述4.图解图解：：1929年的年的“暂行课程标准暂行课程标准”中，规定各学校根中，规定各学校根据情况选择据情况选择“混合制混合制”和和“分科制分科制”初中二年级的代初中二年级的代数中有数中有“图解法图解法”（图象的内容）图象的内容）例如，杜坤华翻译的例如，杜坤华翻译的《《汉译温氏高中代数汉译温氏高中代数》》的序言中写的序言中写道：道：“参列图解参列图解”该书第13章是章是“图解图解”5.图示法图示法：又如，：又如，《《霍奈二氏代数学霍奈二氏代数学》》的原序二中写的原序二中写道：增订了下册的第道：增订了下册的第49章章“函数之图示法函数之图示法”6.图解与图线图解与图线：在周为华、刘薰：在周为华、刘薰宇、章克标、仲光然合编的宇、章克标、仲光然合编的《《开开明算学教本明算学教本 代数代数》》的第十二章的的第十二章的标题为：图解、变数、函数。

将标题为：图解、变数、函数将函数图象称为函数图象称为“图解图解”，而函数，而函数图象的一部分称为图象的一部分称为“图线图线”7.图线图线：在虞明礼原编，荣方舟改编的：在虞明礼原编，荣方舟改编的《《复兴高级中复兴高级中学教科书代数学学教科书代数学》》（上册）中将一元一次函数的图象（上册）中将一元一次函数的图象称为一次函数之称为一次函数之“图线图线” 在清末民国期间，虽然国家有了统一的数学教育制在清末民国期间，虽然国家有了统一的数学教育制度，但是对使用何种数学教科书没有具体规定，客观度，但是对使用何种数学教科书没有具体规定，客观上在出版商、教科书编写者（编译者）和教科书使用上在出版商、教科书编写者（编译者）和教科书使用者之间留下了自由选择的空间者之间留下了自由选择的空间 这样使得函数在中学数学教科书中出现超前于数学这样使得函数在中学数学教科书中出现超前于数学教育制度的颁布这从另一个方面说明了文化教育界教育制度的颁布这从另一个方面说明了文化教育界的包容心态的包容心态 1949年后，情况发生的巨大变革，完全遵照数学教年后，情况发生的巨大变革，完全遵照数学教育制度改编写教科书，国家制定的教科书出版商为一育制度改编写教科书，国家制定的教科书出版商为一家或几家，教科书选择超于全国统一化。

这样中学数家或几家，教科书选择超于全国统一化这样中学数学中的函数内容完全是按照国家数学教育制度来选择学中的函数内容完全是按照国家数学教育制度来选择的v 诚然，数学教科书有很多版本，但对函数概念的诚然，数学教科书有很多版本，但对函数概念的定义方式、名词术语基本相同在此不作介绍定义方式、名词术语基本相同在此不作介绍谢谢聆听！谢谢聆听！。