正交表的构造详述.ppt

正交表的构造详述引言： 正交表• 使用正交设计方法进行试验方案的设计， 就必须用到正交表正交表请查阅有关参 考书 • 《1》各列水平数均相同的正交表 • 《2》混合水平正交表1 各列水平数均相同的正交表•各列水平数均相同的正交表，也称单一水平正交表这类正交表名称 的写法举例如下：•各列水平均为2的常用正交表有L4（23），L8（27），L12（211）， L16（ 215），L20（219），L32（231） •各列水平数均为3的常用正交表有：L9（34），L27（313） •各列水平数均为4的常用正交表有：L16（45） •各列水平数均为3的常用正交表有：L25（56）2 混合水平正交表• 各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正交 表，下面就是一个混合水平正交表名称的写法 ：• L 8（41×24）常简写为L 8（4×24）此混合水平 正交表含有1 个4水平列，4个2水平列，共有1 ＋4＝5列1 概述1. 基本术语 不同类型的正交表的构造方法差异很大,甚至有些类型正交表的存在 和构造至今还是一个未解决的数学问题Lｔu(tq)型表是一类特殊的正交表,其中:￿￿t——表示水平数。

它限定为某数(即除1和它自己以外,不能被任何 其他数整除的大于1的正整数如2、3、5、7、11、13、…等)或系数 幂(如22、32、23、…等)u——表示基本数列,可为任意正整数￿￿q——表示总列数￿￿t、u为基本参数,当t、u给定后,则试验次数为tu次,列数为q=(tu-1)/(t-1)一般常用的正交表,如L4(23)、L16(215)、L9(34)L16(45)、L25(56)等属于此类型,其基本参数为(t=2、u=2)、(t=2、u=4)、(t=3、 u=2)、(t=2、u=4)、(t=5、u=2)2. 正交表的同等变换正交表的行间置换、列间置换和同一列水平记号的置换,叫做正交表的三种初等变换经过初等变换所能得到的一切表称为等价 的(或同构的)可以根据不同试验要求,把一个表变成与此等价的其他特殊型式 的表2二水平正交表的构造￿1.￿￿ 二水平运算法则构造此类正交表要用到有限域的理论(所谓有限域,大致说就是对有限个元素 组成的集合定义了加法、乘法和除法的运算)我们用0和1表示二水平记号,这个有限域只有两个元素,它们的加法和乘法定 义为:￿￿ ＜a￿￿ 加法法则: ￿￿￿￿ 0+0=0￿￿0+1=1￿￿1+1=0￿￿ ＜b 乘法法则: ￿￿￿￿ 0×0=0￿￿0×1=0￿￿1×1=1用这种规则定义加法和乘法,是有限域理论所要求的。

构造正交 表时,将用到上面加法和乘法法则以后凡是讲到加法和乘法都指 这种有限域中的加法和乘法而言 2. 正交表与交互作用列表的构造(1) L4(23)的构造L4(23)表是二水平中最小的一个表它的两个基本参数是t=2、u=2,列数q=(4-1)/(2-1)=3第一列是将4个试验分成两半,前一半是“0”水平,后一半是“1”水 平,称为二分列第二列是将第一列的两个“0”水平试验和两个“1”水平试验分别再 分成一个“0”水平和1个“1”水平,称为四分列二分列和四分列称为L4(23)的基本列第三列是将第一列与第二列的相应水平,按“加法规则”相加所得 如表1所示￿￿表-1 L4(23)表的构造1 2 31 0 0 0+0=12 0 1 0+1=13 1 0 1+0=14 1 1 1+1=0列号 a b ab列号试验号构造交互作用列表时,一般引进“列名”和“列名运算规则”来 进行。

用a、b分别一记L4(23)的两个基本列,称a为第1列的列号,b为 第二列的列名第3列是由第1列和第2列相加得到的,它的列名可用第一列列名与第二列列名相乘得到的列名的运算规则是一种指数运算,指数的相加或相乘按加法表或乘法表给出 的规则进行二列交互作用列为其列名相乘如第1,2两列的交互作用列为a·b=ab,即第三列;第1、3列的交互作用列为 a·ab=a1+1·b=a0·b=b列,即第二列由此可见,当给出一组完备列的列名后,二列的交互作用列可由列名运算得到 2) L8(27)的构造L8(27)的参数为t=2、u=3,它有三个基本列,分别置于第1、2、4列,如表2所示 第1列是:二分列,列名为a,这列8个试验被分成两半第2列的列名为b,是一个四分列第四列的列名为C,是8分列其他4列通过列间运算才能得到￿￿￿￿￿￿表－4 L8(27) 表的构造1 2 3 4 5 6 71 0 0 0+0=0 0 0+0=0 0+0=0 0+0=0 2 0 0 0+0=0 1 0+1=1 0+1=1 0+1=13 0 1 0+1=1 0 0+0=0 1+0=1 1+0=14 0 1 0+1=1 1 0+1=1 1+1=0 1+1=05 1 0 1+0=1 0 1+0=1 0+0=0 1+0=16 1 0 1+0=1 1 1+1=0 0+1=1 1+1=07 1 1 1+1=0 0 1+0=1 1+0=1 0+0=08 1 1 1+1=0 1 1+1=0 1+1=0 0+1=1 列号 试验号将列名列成表,它就是L8(27)的一组完备列名表如下: 列号 1 2 3 4 5 6 7 列名 a b ab c ac bc abc可以验证,L8(27)中任意二列的交互作用列是七列中的某一列,并可通过 列名运算得到。

如1、7两列的交互作用a·abc=a2bc=bc列,即第6列因此,可根据列名运算构造交互作用表(如表3所示)供直接查用表-3 L8(27)交互作用表1 2 3 4 5 6 7 列号 (1) 3 2 5 4 7 6 1(2) 1 6 7 4 5 2(3) 1 6 5 4 3(4) 1 2 3 4(5) 3 2 5(6) 1 6(7) 7（2） L２u(2q)型正交表与交互作用列表的构造根据上面的方法,可以类似地构造任意基本列数为u的二水平正交表 L２u(2q)和交互作用列表

任意两列的交互作用列则是q列中的某一列,这一列可用这两列的列 名相乘得到据此即可构造出交互作用列表￿￿ ￿￿￿￿下面再以L16(215)加以说明:它的基本列数u=4,即有4个基本列,分别置于1、2、4、8列,其列 名分别为a、b、c、da为二分列；b为四分列；c为八分列；d为十六分列第2至第4列之间的列(即第3列)为第2列加第1列,列名ab,而第4列 与第8列间的列(即第5至第7列)是第4列依次与第1、2、3列相加而 得第9至15列(共7列)为第8列与前7列依次相加而得￿￿ L16(215)中的15列的列名表如下：列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15列名 a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd这是一组完备列名表,任何两列的交互列均在这15列中,可用 列名运算找出交互列,如第3列与第13列的交互列为ab·acd =a1+1 bcd=bcd即14列二水平正交表的构造原理,可推广到三水平的情况,所不同的只是交互作用列和列名运 算有些差别。