441乘法公式(基础)知识讲解.doc

4・41乘法公式(基础)【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：(2 -戻两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，d"既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：(1) 位置变化：如(a + b)(-b + Q)利用加法交换律可以转化为公式的标准型(2) 系数变化：女口(3x + 5y)(3x-5y)(3) 指数变化：$0(W3 + n2)(m3 -n2)(4) 符号变化：如(—d—Z?)(d — Z?)(5) 增项变化：女0+ p)(m — n+ p)(6) 增因式变化：$0(a-b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)要点二、完全平方公式完全平方公式：(G + b)'=a2+2ab + b2(a-b)2 =a- 一2ab + b?两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形：cr +Z?2 =(^z4-Z?)2 -2ab =(a-b『 +2ab(a + b)2 = (a _ +4ab要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各 项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式(兀 + p)(兀+ g)=疋 +(p + g)x+ pq ； (a±b)(a~ 午 ab + b') = cF ±/A(a±bf =cr ±/icrh-{-3ab~ ±Z?3 ； (a + b + c)，= a1 +Z?2 +c2 + lab + lac + 2bc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果.(1) (2a — 3b)(3b — 2d)； (2) (—2a + 3b)(2a + 3b)；(3) (―2tz — 3/?) (―2a + 3/?) ； (4) (2a + 3/?)(2d — 3/?)；(5) (-2a-3b)(2a-3b)； (6) (2d + 3b)(—2d — 3b).【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、⑸可以用平方差公式计算，(1)、⑹不能用平方差公式计算.(2) (-2a + 3b)(2d + 3b) = (3/?)~ — (2q『=9b2 -4a2.(3) (-2a_3b)(_2d + 3b) = (_2a)~ — (3b)~ = 4a2 -9h2.(4) (2G + 3®(2G_3/?) = (2c2)'_(3b)‘ =4a2-9b\(5) (_20_3/?)(20_3/?)=(-3/?『_(2^)2 = 9戻_4/.【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项(系数为相反数的同类项). 举一反三：(x 3 V X 3 、【变式】计算：(1) 一 + —丿 y ； (2) (一2 +兀)(一2-工)；U 2- [2 2•丿(3) (一3兀一2y)(2y— 3兀).【答案】解:(1)/ \ f XJ<3 )—-V<2；<2 J原式=4(2)原式=(一2)2—兀2 =4— 兀2.(3)原式= -(3x + 2y)(2y-3x) = (3x + 2y)(3x-2y) = 9x2 -4y2.▼ 2、计算：(1) 59.9X60. 1； (2)102X98.【答案与解析】解：(1)59.9X60. l=(60-0. 1) X (60+0. 1) = 602 -0.I2 =3600-0. 01=3599. 99(2) 102X98=(100+2) (100-2) = 1002 -22 = 10000-4=9996.【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数, 通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式.这样可顺利地利用平方差公式来计算.举一反三：【变式】用简便方法计算：仃)899X901 + 1； (2)99X101X10001；(3) 20052 -2006X2004；【答案】解：(1)原式=(900—1) (900+1) +1 = 9002 -12 +1 =810000.(2) 原式=[(100—1) (100+1)] X10001 = (1002 -1) X 10001= (10000-1) X (10000+1) =100000000-1 =99999999.(3) 原式=2OO52 一 (2005+1) (2005-1) = 20052 一 (2OO52 一 F) = 1 ・类型二、完全平方公式的应用¥ 3、计算：⑴(3d + b)2: (2) (—3 + 2a『:(3)(兀一2刃2: (4)(-2x-3v)2 -【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) (3« + Z?)2 =(3a)2 + 2x3a-b + b2 =9a2-^6ab-^b2.(2) (-3 + 2汀=(267-3)2 =(2«)2-2x2^x3 + 32=4^2-12^ + 9.(3) (x-2y)2 =x2 -2-x-2y + (2>,)2 =x2 -4xy-^-4y2 .(4) (-2%-3j)2 = (2x + 3y)2 = (2x)2 +2x2%x3}? + (3y)2 = 4x2 +12a>? + 9>,2 .都为正，当所给的二项式符号相反时，结果小两平方项为正，乘积项的符号为负.(2)注意(-a-b)2(a + b)~之间的转化.4、计算：(1) 20022； (2) 19992. (3) 999.92.【答案与解析】解：(1) 20022 =(2000 + 2)2 =20002+2x2000x2 + 22=4000000+8000 + 4=4008004.(2)19992=( 2000 一 1)2 = 20002 - 2 x 2000 xl + 12=4000000-4000+1 =3996001.(3) 999.92 =(1000-0.1)2 =10002-2xlOO()xO.1 + 0.12= 1000000-200+0. 01=999800. 01.【总结升华】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方.5、己知a + b = 7, ab =12.求下列各式的值:(1) cr — cih + h~ ； (2) (ci _b)_.【答案与解析】解：(1) T a~ -ab + b~ = a~ +b~ — ab = (^ + Z?)2 o—3 ab = T —3 X 12= 13.(2) •/ (^a-hy = (a + b)2 —4ah = 72 —4X 12 = 1.【总结升华】由乘方公式常见的变形：①(d + b)，— (a-=4ab ；②/ +b2 = (a + b)2 —2ab = [-b)2 +2ab.解答本题关键是不求出d"的值，主耍利用完全平方公式的整体变换求代数式的值.举一反三:【变式】已知(d +历2=7, (°_疔=4,求cr^h2和“的值.【答案】解：由(+)2=7,得/+2" +丄7； ①由(°一历2=4,得a2-2ab + b2=4. ②① ②得2(/+/?2) = 11,・・・a2+b2= —・23① -②得 4ab = 3 ,二 ab-—.4【巩固练习】一.选择」1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）2. 若 x+y=6, x—y=5,则 - y2 等于(A. 11 B. 153. 下列计算正确的是()・A. (5-/?2)(5 + /?2)= m2-25C. (-4-3/?)(-4 + 3/?) = -9h2 + 164. 下列多项式不是完全平方式的是()・A. x~ — 4x — 4C. 9a~ + 6tz/? + b~5. 下列等式能够成立的是().A. (口一方)2 = (—0_方『C. (m-n)2 =(/z-/n)26. 下列等式不能恒成立的是().A.(3兀一〉')2=9兀2—6“°' +〉'21 o 1 ?C. (— m - ny = — 一 mn + at4).C. 30 D. 60B. (1 一3加)(1 + 3加)=1 一3〃『D. ( 2ah -,?) (2ah + 〃)= 4ah2 一 n~B. — + m24D. 4r2+ 12/ + 9B. (x-y)2 =x2D. (x —y) (x+y) = ( —x —y) (x —y)B. (a + b-cy = (c-a-byD. (x- >9(%+ y)(< - /) = x4 - /二填空7. 若x?+2or+16是一个完全平方式，则。

若9兀'+4〉'= (3x + 2y『+M，贝g 皿=9. 若x+y =3, xy = U 贝ijx2 + y2 =10. 观察等式22-!2 =3,32 -22 =5,42 -32 =7,…用含自然数力的等式表示它的规律为:11. 5(兀一2)(兀 + 2) — ( 2x — 1)~ = .12. 若(x-1)2=2,则代数式x2-2x + 5的值为 三•解答题13. 计算下列各题：3 3(1) (x + 2y--)(x-2y + ~)(2) (兀+4)(兀一4)(兀$+16)(3) (2x-y)(x+y)-4(x-2y)2(4) 3(y-z)，-(2y + z)(-z + 2y)冃兀〉y,求兀一y的值.14. 先化简，再求值：3(q + 1)2—5( 1)(q —1) + 2(—1尸，其中a = 3.15. 已知：X2 + y2 — 25,兀+y = 7【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A；【解析】A中加和-加符号相反，〃和符号相反，而平方差公式小需要有一项是符号相同的，另一项互 为相反数.2. 【答案】C；【解析】x2-y2 =(x+y)(x-y) =6X5=30.3. 【答案】C；【解析】(5-m)(5 + in) = 25-nr : (1一3加)(1 + 3加)=1一9加2 。