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第二章 线弹性断裂力学,第一节 裂纹及其分类第二节 裂纹尖端的应力场第三节 应力场强度因子第四节 裂纹扩展的能量理论第五节 平面应变断裂韧性的测量第六节 复合型裂纹的断裂理论,第一节 裂纹及其分类,在实际的构件中常存在各种缺陷，除了裂纹外还可能是冶炼中产生的浃渣、气孔、加工中引起的刀痕、刻槽、焊接中的气泡、未焊透等，在断裂力学中，常把这些缺陷都简化为裂纹，并统称为“裂纹”1）按缺陷在结构中的位置 （a）穿透裂纹：贯穿构件厚度的裂纹称为穿透裂纹 （b）表面裂纹：裂纹位于构件表面，或裂纹深度相对于构件厚度比较小，简化为半椭圆片状裂纹 （c）深埋裂纹：裂纹位于构件内部，常简化为椭圆片状裂纹或圆片状裂纹a）穿透裂纹（b）表面裂纹（c）深埋裂纹,2）按裂纹的受力情况（a）张开型（I型）：在与裂纹表面正交的拉应力作用下，裂纹面产生张开位移而形成的一种裂纹（位移与裂纹面正交即沿拉应力方向（图a）b）滑开型（II型）：在平行于裂纹面而裂纹尖端线垂直方向的剪应力作用下，使裂纹面产生沿裂纹面（即沿作用的切应力方向）的相对滑动而形成的一种裂纹c）撕开型（III型）：在平行于裂纹面而与裂纹尖端线平行方向的切应力作用下，使裂纹面产生沿裂纹面外（即沿作用的切应力方向）的相对滑动而形成的一种裂纹（图c）,（a）张开型裂纹（b）滑开型裂纹（c）撕开型裂纹,3）按缺陷的形状根据缺陷的真实形状确定。

可简化为圆型、椭圆型，表面缺陷的半圆型、半椭圆型及贯穿型直裂纹等 4）按缺陷的密集程度单个缺陷、多个缺陷和密集缺陷多个缺陷及密集缺陷又分为共面缺陷及非共面缺陷 5）按裂纹的方向直裂纹、斜裂纹和曲裂纹表面平面缺陷,埋藏平面缺陷,多个平面缺陷,6）裂纹的模型及特征尺寸（1）模 型：圆型及椭圆型平面裂纹2）特征尺寸：* 裂纹长度l ：穿透裂纹的评定尺寸，是缺陷分类的主要特征尺寸 裂纹深度a：表面裂纹的主要特征尺寸，是判别裂纹是否为允许的主要参数 裂纹间距s（或理解纹中心距2b）：是区分多个裂纹是否相互干涉的特征尺寸之一 裂纹距自由表面的最小距离s’：由其确定是埋藏裂纹还是表面裂纹7）裂纹的方向和位置（1）方 向：与最大主应力方向的关系（垂直或平行）（2）位 置：表面或浅埋裂纹等8）单个与密集缺陷多个裂纹存在时，裂纹对材料的影响受相邻裂纹间距的影响，会产生干涉9）裂纹特征的验证可用超声波探伤方法探测缺陷的面积和形状第二节 裂纹尖端的应力场,1）I 型裂纹尖端的应力场对于“无限大”板具有长为2a的中心穿透裂纹，在无限远处受双向等值的拉伸应力σ作用1）裂纹尖端的应力场,,,式中 ，σ为名义应力（结构中无缺陷时该处的应力）；a为裂纹尺寸；Y为形状修正系数（随裂纹尺寸、形状、裂纹处结构的几何参数、边界条件而变化）。

说 明：（a）对于裂纹尖端附近区域内某一定点（r，），其应力大小取决于KI的大小， KI越大，该点的应力也越大因此，是表征裂纹尖端区域应力强弱程度的参量，而且是唯一的参量b）因为 ，故当r→0时， ，称为应力具有 的奇异性只要是I型裂纹问题裂尖区域的应力场都具有相同的奇异性，它远比其它附加项要大得多c）适用于裂纹尖端附近区域，即要求r＜＜a应力分量由两部分组成：一部分是关于场分布的描述，它随点的坐标而变化，通过的奇异性及角分布函数 来体现；另一部分是关于场强度的描述，由应力强度因子KI来表示，它与裂纹体的几何及外加载荷有关2）裂纹尖端的位移,,,其中：,（3）有限尖端半径（ρ）的裂纹端部区域的应力场,,把极坐标原点移动一个距离，这个距离等于裂纹尖端半径 的一半必须注意，因为在裂纹尖端处，r是有限的（ ），所以，应力也是有限的，没有裂纹尖端的奇异性4）单向拉伸“无限大”裂纹板,,2）II型裂纹尖端的应力场对无限大板，中心有一长为2a的裂纹，无穷远处受剪切应力τ的作用其中：,3）III型裂纹尖端的应力场对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。

但对于III型裂纹，由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移u=0，v=0，只有z方向的位移w≠0，显然这一问题不属于平面问题，它是反平面问题第三节 应力场强度因子,1）不同裂纹下的应力场强度因子（1）无限大板中的I型裂纹(a) “无限大”平板具有长为2a的中心穿透裂纹 ，并在“无限远”处受到双向拉应力作用b）“无限大”平板，在长为2a的中心穿透裂纹表面上，距裂纹中心点为x=±b处，各作用一对集中力P（单位厚度上承受的压力）,,（c）“无限大”平板，在裂纹面上从x=-a到x=-a1，从x=a1到x = a到受到均匀分布的张力P作用推论： “无限大”平板，在裂纹面上x=-a到x = a到受到均匀分布的张力P作用d）“无限大”平板，具有长为2a的中心穿透裂纹，并在无穷远处受到单向均匀拉应力的作用e）“无限大”平板，受二向均匀拉伸应力作用，在x轴上有一系列长度为2a，间距为2b的穿透裂纹当b≥a时，则 ：,,表明当相邻的两个裂纹之间的间距相对于裂纹长度足够较大时，裂纹之间的相互影响可忽略不计2）有限宽平板I型裂纹（a）有限宽板条受单向均匀拉应力作用b）有限宽板条，在双边具有穿透裂纹，受均匀拉应力作用 。

c）有限宽板条受单向均匀拉应力作用3）“无限大”体内深埋裂纹,,,,,* 若a=c，则椭圆片状裂纹成为圆片裂纹* 若a≤c，则 ， 当θ=π/2时，即椭圆短轴端点处，KI有最大值，即,,,,,可见，当a≤c，则 ，无限大体内的椭圆片状裂纹可近似按无限大板内的中心穿透裂纹来处理4）半无限体表面椭圆片状裂纹,2）裂纹尖端的塑性区根据线弹性力学，由应力场公式，当r→0,σij →∞ 但实际上对一般金属材料，当应力超过材料的屈服强度，将发生塑性变形，在裂纹顶端将出现塑性区因塑性区带来的问题：* 一方面这是因为断裂是裂纹的扩展过程，裂纹扩展所需的能量主要支付塑性变形功，材料的塑性区尺寸越大，消耗的塑性变形功也越大，材料的断裂韧性KIC相应地也就越大 另一方面，由于我们是根据线弹性断裂力学来讨论裂纹顶端的应力应变场的，当塑性区尺寸增大时，线弹性断裂理论是否适用就成了问题以I型裂纹问题为例来讨论裂纹尖端的塑性区我们知道，对于I型裂纹问题，裂纹尖端附近区域的应力分量为：,裂纹顶端的主应力，可由下式求解：,将Irwin应力场代入上式得：,（1）按第四强度理论（Mises准则）其中σ1、σ2、σ3为主应力。

将上述的主应力代入到第四强度理论中，可计算得到裂纹顶端塑性区的边界方程为：,平面应力,平面应变,（2）第三强度理论即：于是有裂纹尖端的塑性区为：,,平面应力,平面应变,塑性区的特征尺寸：在裂纹延长线θ=0上的尺寸：,,平面应变的塑性区只有平面应力的16%这是因为在平面应变状态下，沿板厚方向有较强的弹性约束，使材料处于三向拉伸状态，材料不易塑性变形的缘故，这实际上反映了这两种不同的应力状态，在裂纹顶端屈服强度的不同可知平面应变的塑性区比平面应力的塑性区小得多对于厚板，表面是平面应力状态，而心部则为平面应变状态 有效屈服应力与塑性约束系数 通常将引起塑性变形的最大主应力，称为有效屈服应力，以 σys记之有效屈服强度σys与单向拉伸屈服强度σs之比，称为塑性约束系数C(σys /σs)根据最大切应力理论：,,* 平面应力状态时：σ3=0 ，则有 σys=σ1=σs，C=1* 平面应变状态时，因σ3=2μσ1，按故有：如以μ=1/3代入，可得在平面应变状态下，σys=3σs ，C=3 C=1/（1-2μ）,实际上平面应变状态下的有效屈服强度并没有这么大，对具有环形缺口的圆柱形试样进行拉伸试验，所得到的σys为：,,因此，最常用塑性区的表达式为：,即C=1.7,3）应力场强度因子的塑性区修正当弹性应力超过材料的效屈服强度σys。

便产生塑性变形，使应力重新分布其原始塑性区就是上面公式所表示的r0 在塑性区r0范围内如不考虑形变强化，其应力可视为恒定的， 则高出σys的部分势必要发生应力松驰应力松驰的结果，使原屈服区外周围弹性区的应力升高，相当于BC线向外推移到EF位置应力松驰后的塑性区,应力松驰的结果使塑性区从r0扩大到R0扩大后的塑性区R0如何计算呢？从能量角度直观地看，阴影线面积DBA=矩形面积BGHE，或者用积分表示为：,,* 平面应力状态 下，把 代入上式得 ：* 平面应变状态下，考虑应力松驰后，也同样可得到扩大后的塑性尺寸R0为：,,,当塑性区一经产生并且修正之后，原来裂纹顶端的应力分布已经改变原来的应力分布为DBC线，现改变为ABEF线此时便产生了如下的问题：（1）线弹性力学是否还适用？（2）在什么条件下才能近似地运用？（3）此时的应力强度因子该如何计算？,Irwin认为，如果裂纹顶端塑性区尺寸远小于裂纹尺寸( r0/a<1/10) ，这时称为小范围屈服在这种情况下，只要将线弹性断裂力学得出的公式稍加修正，就可以获得工程上可以接受的结果基于此想法，Irwin提出了等效裂纹的概念。

裂纹顶端的弹性应力超过材料的屈服强度后，会产生应力松弛应力松驰可以有两种方式，一种是通过塑性变形；另一种方式则是通过裂纹扩展如认为这两种应力松驰的方式是等效的因此为计算K值，可以设想裂纹的长度增加了，由原来的长度a 增加到a’=a+ry，而裂纹顶端的原点由O点移动了ry的距离达到了O’点这一模型就称为Irwin等效裂纹模型， a’=a+ry称为等效裂纹长度 O’点以外的弹性应力分布曲线为GEH，与线弹性断裂力学分析结果符合而EF段，则与实际应力分布曲线重合这样一来，线弹性断裂力学的分析仍然有效KI因子的塑性区修正,,,对等效裂纹来说，如仍以无限宽板含中心穿透裂纹问题为便，其应力强度因子应成为：计算表明，修正量ry等于应力松驰以后的塑性区宽度R0的一半，即：,,,对裂纹应力强度因子进行修正后得：,,可以看出，修正后的K’I比未修正时的KI稍大当工作应力低于0.5σs时，应力强度因子的误差在7%以内，是工程精度所允许的，可不进行修正工作应力高于0.5σs时，应力强度因子要进行修正但如果应力水平过高，以致r0/a>1/10时，线弹性断裂力学已不适用了4） 应力场强度因子断裂准则K是描述裂纹尖端附近应力场强弱程度的参量。

裂纹是否会发生失稳扩展取决于K值的大小，因此可用K因子建立断裂准则（亦称K准则）即K= KC ，其含意是：当含裂纹的弹性体在外载荷的作用下，裂纹尖端的K因子达到KC裂纹发生失稳扩展时材料的临界值时，裂纹就发生失稳扩展而导致裂纹体的断裂对于I型裂纹，在平面应变条件下，其断裂准则为： K= KIC 用K准则可解决如下的问题：（a）确定带裂纹构件的临界载荷若已知构件的几何因素、裂纹尺寸和材料韧度值，运用“K准则”可确定带裂纹构件的临界载荷b）确定裂纹容限尺寸当给定载荷，材料的断裂韧度值以及裂纹体的几何形状以后，运用“K准则”可以确定裂纹的容限尺寸，即裂纹失稳扩展时对应的裂纹尺寸 （c）确定带裂纹构件的安全度d）选择与评定材料按照传统的设计思想，选择与评定材料主要依据屈服极限或强度极限，对于疲劳破坏则为持久极限但按断裂观点应选用高KIC的材料一般情况下，材料的 越高， KIC反而越低，所以选择与评定材料应该两者兼顾，全面考虑第四节 裂纹扩展的能量理论,研究裂纹扩展有两种观点，一种是应力场强度观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力强度因子KI达到材料的临界值KIC ，由此建立的脆性断裂准则，称为K准则；另一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出来的能量，提供产生新裂纹表面所消耗的能量，由此建立的脆性断裂准则，称为G准则。