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第三章归分析基础归模型简介一、数据、变量与模型数据是进行模型分析的基础一般地，数据可分为三类：一类为截而 数据(Cross-Section Data), 一类为时间序列数据(Time-Series Data),另一 类为平行数据(Panel Data)或混合数据(MixedData)o截面数据研究个休在某个时点上的变化情况例如，2001年1月末， 全国各省、自治区、直辖市的国内生产总值(GDP)、财政收入、财政支出、 货币发行最、固定资产投资额、进出口总额等，均为截而数据再如，在 某一时点上，某地区家庭费用开支数据，也是典型的截面数据时间序列数据是研究个体在一•定时期内的变化情况口吋间序列数据在 日帘生活中随处可见例如，建国以来我国历年的国内生产总值(GDP) 数据、居民消费额数据、零售物价指数数据等，均为时间序列数据平行数据是截面数据与时间序列数据的复合体，它既研究某段时间内 个体的变化情况，又研究个体在每个时点上的变化情况变量是构成模型的框架，是对个体不确定性的一种因素度量般町 将它分为两类：内生变彊(Endogenous Variable)和外生变彊(Exogenous Variable )□内生变量是指山经济系统本身决定的变量。

外生变量则指经济系统本 身无法决定、并山外部因素决定的变量内生产变量也称联合决定变量 (Jointly-Determined Variables)外生变最也称前定变 m (Predetermined Variables)o例如，在简单的原油供求模型：c q = d]+勺卩+(?』+刍(需求方程)q =禺+債p + CrR + &>(供给方程)中，原油总量g和原油价格〃均为内生变量，而国民收入y和降雨量/?均 为外生变量值得注意的是，内生变量与外生变量的认定并不是一成不变的，在一 定条件下二者可以相互转换，应视研究対象和研究目的的不同而不同此 外，内生变最与外生变最的划分直接关系到模型参数的估计与推断，这是 后话o模型是数据与变量的有机合成，它以i定的经济理论为指导，并与变 量的结构形式有关，是对经济关系最克观的农述按照不同的标准，可将 模型分为不同的类型从方程个数角度划分，可将模型分为三类：第一类 为单方程模型例如，研究货币投放量兀与国内收入y之间的关系，可建 立方程：X =a + 0兀/ +耳』=1,2,•…，N这是一个吋间序列的单方程经济计量模型，英中，哲为随机误差项第二类模型为多方程模型。

例如，在研究教育消费支出（％）与收入（兀）的关系，以及住厉消费支出（乙）与收入（兀）的关系时，有如下方程纽:■=勺 +b2xt + 匕英中，均和匕均为随机误差项在此二方程间没有必然联系，可以放在一 起研究，也可以拆开单独研究放在一•起研究的好处是可同时分析教育与 住房消费支出的结构行为，便于更深入地发掘二者之间内在的关联性第三类模型为联立方程组联立方程纟I［模型的显著特点是：方程之间 存在高度的结构依存关系例如，下面是一个三方程的供给一需求模型：‘ Q； = a】+ a比+勺片一］+ E （供给方程）< 0人+0比+03乙+均 （需求方程）I Q； = （平衡方程）在此方程纟I［中，山于供给方程、需求方程和平衡条件共同决定了市场处于 均衡吋的价格和供给最（也即需求量），故变量Qj、和*为内生变量,它们的值山模型内的方程确定同时，久和乙（收入）并不山模型直接 决定，是外生变量这里，价格滞后变Pt_x虽本质上仍山模型内部來决定——山价格变量匕的前期值确定，但通常的做法是，只耍包含滞后内生 变量的方程的误羞项不存在序列相关，则认定该滞后内生变量为先决变量, 即外生变昴显然，此供给一需求模型的三个方程间存在结构依存关系， 它不同于多方程模型。

二、模型的拟合建立模型的目的是通过探讨变量间的依存关系，定量、科学地反映经 济问题的本质，发现规律，预测未来，把握事物的发展动向山于变量间 结构依存关系通泊都很复杂，因此，我们采収循序渐近的方法进行研究 也即先简单后复杂、先特殊后一般的方法假定我们对变虽x和y之间的关系感兴趣，并山散点图可以看出：x 与丫之间存在近似的线性关系我们的任务是如何具休求出x与丫之间这 种近似的拟合直线，并且，在某种意义下这条拟合直线为最佳拟合直线”最佳”的标准有很多，但最常用的和最基本的即为“最小二乘准则”，或 称“最小二乘原理”我们先介绍它的基本思想和基本公式最小二乘原理是求最佳拟合直线，使各个样本点到该克线的离差平方 和达到垠小最小二乘原理的研究始于十九I比纪初，1806年和1809年先 后山著名数学家A. M. Legendre和C. F. Gauss独立地提出，并将它应用于 观测数据的误差分析3 1900年，A. A. Markov证明了线性单方程模型下冋 归系数的最小二乘估计性无偏差估计类中具有最小的方差即证明了 著名的Gauss-Markov定理，从而确立了最小二乘法（或原理）在模型参数 估计理论中的地位。

印度统计学家C. R. Rao在二十世纪中叶系统地发展了 最小二乘理论，形成所谓“最小二乘统一理论”，极大地推动了最小二乘理 论的研究，为模型的广泛应用奠定了坚实基础设有〃个观测点（= 并口，X和卩之间存在理论方程：Y = ci + bX山于有观测误差等因素存在，我们可写出X和丫之间如下的冋归模型：y = a + bX +ey e 〜（0,crIlt）最小二乘原理是求参数a和b的估计：和& ,使拟合直线Y = a + bX与务个样本点（乙必）之间的報体误差达到极小亦即，有公式：Minimize^ （/ 一 K ）2 = Minimize^ e,i=\ /=i以后，称2为拟合直线的截距估计值，称A为拟合直线斜率的估计值，血称*•为第i个观测乙的预测值利用求导理论，不难推导出：和&的计算公式事实上，为使E（x- -X-）2达到最小，可对（y厂a_b灯 求关于和方的偏导数，并1=1 1=1令其为0,得到：(=工(开-a-bx^ =_2工()[.--站.)=0 Oa 1=1 /=1◄、2(% -如=-2()1 -d-堆)=0 f=l /=1化简方程得到如下止规方程纽：” n工)；• = an +h^Xi (3.1.1)/=! /=!EI =aXj +b X： (3.1.2)用•和〃分别乘以（3.1.1）和（3.1.2）两端后，再将二方程相减,;=1得到:/(n 、0 "■b =吃I-工X乏X/./=! /=! /=! .//=!J /=!丿D 工 X「_ _a=——B — = Y-b Xn n亦即:;JLxy-nxyr b =—-——Dr _ nxV八 ■ —i a = y-bx现举例说明最小二乘原理的应用。

nLxy - SxSy riLx1 -(Xx)2例2.1.1某省1978〜1986年居民消费品购买力y与居入货币收入兀的统计数据如下表所示（单位：10亿元）：表2.1.1购买力与货币收入数据年份Xy2919788.511.698.6134.5672.25197911.114.1156.51198.81123.218013.617.1232.56292.41184.968115.819.6309.68384.16249.648217.622.1388.96488.41309.768320.525.6524.80655.36420.258427.833.6934.081128.96772.848533.540.51356.751640.251122.258639.247.81873.762284.841536.64Z187.6232.05875.707207.764791.80平均20.8425.78（1） 试建立y对兀的一元线性回归模型；（2） 对回归方程进行显著性检验；（3） 设居民货币收入下年将增长19%,试预测居民消费品购买力；（4） 在置信度95%下求1987年居民消费品购买力的区间估计、斜率 估计分别为：=0.84729x5875.70— 187.6x2329x7207.76 — (232)2。

丄—b— = (187.6 - 0.8472 x 232)/ 9 = -0.9945 n n故拟合直线为：y = -0.9945 + 0.8472兀冋归方程的能著性检验采用柑关系数厂检验111心y)(耳-兀)(％ -亍) ~nxy计算得:r(x, y) 0.9997查水平a = 0.01,自由度为n —2 = 9 —2 = 7的+11关系数临界值表，得临界值口(/?-2) = 0.798 o可见，y)>ra(n -2),故回归方程高度显著,初步可应用于预测3) 若居民货币收入下年增长19%,则有：州 o =47.8(1 + 19%) 56.882代入拟合直线方程，得到：儿)=Q + 处 io = -0.9945 + 0.8472 x 56.88247.20 (10 亿元)=472 (亿元)(4) 先求剩余平方和：e = (1 - r )Lvv =(1- 0.99972) x (4791.8-187.6x 20.84) 0.5293于是，剩余标准差为s = J-^-=Va0756 0.2750故匿信区间的宽v n - 2度为:2・（56.882-25.78）?7207.76-232x25.78x 0.27502-/?-2）x0.3790取显著水平a = 0.05,则有：d = t（）%（9 — 2）・ So = 2.36 x 0.3790 0.89从而儿)的置信度为0.95的置信区间为：(兀 一〃，5 + 〃) =(47.20一0.89,47.20 + 0.89) =(46.31,48.09)即该省1987年的居民消费品购买力将有95%的把握程度落入463.1亿元与 480.9亿元之间。

下面的例子取自《Econometric, models and Economic Forecasts (4th Edition), 1998》罗伯特S平荻克(Robert S. Pindyck)丹尼尔L.鲁宾劳 尔德(Daniel L . Rubinfeld)钱小军等译］The McGraw-Hill Companies, Inc《计量经济模型与经济预测》1999. 11. 北京 机械工业出版社例2丄2平均成绩表2.1.2学生平均成绩与家庭收入数据y平均成绩x (父母的收入/1000美元)4.021.03.015.03.515.02.09.03.012.03.518.02.56.02.512.0例2.1.3诉讼案件分析(P7)例2.1.4公用事业公司股票价格分析(P7)3.2多元线性回归模型现在，我们将上节讨论的一元线性冋归模型推广至多元线性冋归模型 的情形经典线性回归模型与GM假定。