小船渡河问题的研究.docx

小船渡河问题的研究摘要本文建立了经典的小船渡河速度模型，利用速度的合成与分解求出最优渡河方案针对问题一，首先，讨论船速和水速的关系，得出小船大致行驶方向，再运用平行四边形法则，构建直角三角形，运用勾股定理建立关于合速度和船速与河岸夹角的方程并求解针对问题二，用数值解法求渡河所需时间，再利用问题一中求解的方程，做出小船位置和航行曲线图，最后与解析解比较关键词：小船渡河 船速 水速 速度的合成与分解 夹角1 问题重述一只小船要从要从宽度为d的河的一岸A 点，到达正对岸B点河水流速 和𝑣1静水船速 之比k已知想要求解以下两个问题𝑣2（i）建立小船航线的方程，求其解析解ii）设d = 100 m， =1 m/s， = 2m/s，用数值解法求渡河所需时间、任𝑣1 𝑣2意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较2 问题分析此类问题可归结为小船渡河问题，要使小船能够到达正对岸，在水流速度恒定的情况下，按照船速来分类，有两种情况：其一，船速可变；其二；船速不变；根据题意可知，本题船速不变，故采用第二种情况建立模型并求解分析可知，在船速和水速都恒定的情况下，要使小船到达正对岸，小船速度与水流速度的合速度方向必然垂直于河岸。

3 模型假设（1）假设小船的行驶速度恒定不变2）假设水流的速度恒定不变且始终与河岸平行3）假设无风力、水流阻力等外力影响4）假设该段河流为理想直段4 符号说明A 小船出发点B 小船目标点船速与河岸夹角𝛼船速与水速的合速度𝑣合小船渡河所用总时间𝑡总S 小船距离河岸 A 的距离5 模型建立与求解5.1 问题一（1）问题分析小船航线如下图所示，根据已知的船速和水速，运用平行四边形法则，构建直角三角形，运用勾股定理建立关于合速度的方程再求解即可BA1 若 𝛼≥ 90°由速度的合成知识可知，船速与水速的合速度方向指向下游，则小船不可能到达河流正对岸⒉ 若 0＜ 𝛼＜ 90°1） 若 ≤ ，由速度的合成知识可知，合速度指向下游，小船也不能到达𝑣2 𝑣1正对岸2） 若 ＞ ，通过调整船速 与河岸的夹角 可使 的合速度垂直河岸𝑣2 𝑣1 𝑣1 𝛼 𝑣1， 𝑣2（2）模型的建立𝑣2𝑣1合速度𝛼d{𝑘=𝑣1𝑣2 ①𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑣1𝑣2=𝑘 ②𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑣合𝑣2 ③𝑣2合 +𝑣21=𝑣22 ④𝑠𝑖𝑛𝛼2+𝑐𝑜𝑠𝛼2=1 ⑤ （3）模型的求解联立方程①②③④⑤，解得{𝑣合 =𝑣22‒𝑣21=𝑣21‒𝑘2𝛼=𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛1‒𝑐𝑜𝑠𝑘2 所以小船想要到达正对岸，船速方向应与河岸成 角 ，以𝛼 （ 0＜ 𝛼＜ 90°）实际速度 行驶至正对岸。

𝑣合5.2 问题二（1）问题分析2 首先，用数值解法求渡河所需时间，再利用问题一中求解的方程，做出小船位置和航行曲线图，最后与解析解比较2）模型的建立𝑡总 =𝑑𝑣合{𝑠=𝑣合 𝑡𝑑𝑠𝑑𝑡=𝑣合 （3）模型的求解𝑡总 =1003=57.74 𝑠6 模型评价与改进总体来说，此模型的设计较为简单，确定小船与河岸的夹角 后就可轻𝛼易的确定船速的方向，从而确定航行路线，以最短路线到达正对岸但模型最大的不足之处也在于此，局限性太大，并未很好的模拟出多变的小船航行曲线路线七、附录Clc;clear;tic;t=0:1:(100/sqrt(3));v=sqrt(3);s=v*t;plot(t,s,'r')toc;。