第8章立体几何专题3 平行的证明常考题型专题练习——【含答案】.pdf

旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 平行的证明 【方法总结】 1利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直 线 2证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、 平行公理等 3. 应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线 4. 有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，常与公理 4 等结合 起来使用 【分题型练习】 考向一 证明线面平行 例 1、如图，四棱锥PABCD中， 90BADABC = = ，证明：BC平面PAD 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 【答案】证明过程见详解； 【解析】因为四棱锥PABCD中，90= =BADABC， 所以BCAD，因为AD 平面PAD，BC 平面PAD，所以BC平面PAD； 例 2、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中 点，E是PD的中 点，/ /PB平面AEC 【答案】证明见解析 【解析】连接BD，设BD与AC的交点为O，连接EO. 因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点， 又因为E为PD的中点,所以//EOPB， 因为EO平面AEC，PB 平面AEC，所以/ /PB平面AEC. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 例 3、 如图,已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形, //ABDC且 1 2 DCAB=,M是PB 的中点，证明: / /MC平面PAD 【答案】证明见解析 【解析】证明：取PA中点为N，因为,N M分别是 ,PA PB中点， 所以 1 / / 2 MNAB，又因为 1 / / 2 DCAB，所以MN/ /DC, 所以四边形MNDC为平行四边形， 所以/ /MCND，ND平面PAD，MC 平面PAD，所以/ /MC平面PAD. 例 4、如图，在四面体ABCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q段AC 上，且3AC=求证：//PQ平面BCD. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 【答案】证明见解析 【解析】 如下图所示， 取BD的中点O， 段CD上取点F， 使得3DFFC=， 连接OP、 OF、FQ. 3AC=Q ， 3 AQDF QCFC == ，//QF AD，且 1 4 QFAD=. O、P分别为BD、BM的中点，//OP AD，且 1 2 OPDM=. M为AD的中点， 1 4 OPAD=. //OP QF 且OPQF=，四边形OPQF是平行四边形，//PQ OF. PQ Q 平面BCD，OF 平面BCD，//PQ平面BCD. 【巩固练习】 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，证明： / /PA平面BDM； 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】连接AC交BD于点O，连接OM， 因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC中点. 在PAC中,又M为PC中点，所以/ /OMPA. 又PA平面BDM，OM 平面BDM，所以/ /PA平面BDM. 2如图，在三棱锥A-BCD中，点M，N分别在棱AC，CD的中点，求证：AD平面BMN 【答案】详见解析 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 【解析】证明：在ACD中，因为M，N分别为棱AC，CD的中点， 所以//MN AD，又AD平面BMN，MN 平面BMN，所以AD平面BMN 3四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，求证：/ /CD平面PAB 【答案】详见解析 【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以//CDAB, 又因为AB平面PAB，CD 平面PAB,所以/ /CD平面PAB。

4 如图， 已知四棱锥PABCD中， 底面ABCD是棱长为 2 的菱形，2,60PAABC==， E是BC中点，若H为PD上的点，2AH =，求证：EH平面PAB 【答案】见解析 【解析】由题意，可得2,2PAADAH===，所以H为PD的中点， 取PA的中点M，连接,HM MB， 则 1 2 HMAD=且//HMAD， 1 2 BDAD=且//BDAD， 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 所以//HMBD且HMBD=，所以四边形DHMB为平行四边形， 所以/ /EHBM，又由EH 平面,PAB BM 平面PAB，所以//EH平面PAB. 5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点， M是PD的中点，求证：OM平面PAB 【答案】证明见解析 【解析】证明：在PBD中，O、M分别是BD、PD的中点， OM是PBD的中位线，OMPB， OM平面PAB，PB平面PAB， OM平面PAB； 6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PDDC=，点E是PC的中点， 旗开得胜 读万卷书 行万里路 8 求证：/ /PA平面BDE 【答案】证明见解析 【解析】 连接AC交BD于O， 连接OE， 由题意可知，,PEEC AOOC==，//PAEO， 又PA在平面BED外，EO平面BED，所以/ /PA平面BED. 考向二 面面平行的证明 例 1、如图，在正方体 1111 ABCDABC D 中， ,E F分别为 11 ,AB C D的中点 求证：平面 1 ADF平面 1 B EC; 旗开得胜 读万卷书 行万里路 9 【答案】 （1）详见解析； （2） 2 6 5 . 【解析】 （1）证明：因为在正方体 1111 ABCDABC D 中，,E F分别为 11 ,AB C D的中点， 所以 11 ADBC， 1 AFEC， 又 1 A D 平面 1 B EC， 1 BC 平面 1 B EC， 1 AF 平面 1 B EC，EC 平面 1 B EC， 1 AD平面 1 B EC； 1 AF P平面 1 B EC； 因为 1 A D 平面 1 ADF， 1 A F 平面 1 ADF，且 111 =ADAFA， 平面 1 ADF平面 1 B EC； 【巩固练习】 1如图，在四棱锥PABCD中，ABAD=，ADCD，60BAD=，M，N分别 为AD，PA的中点,证明：平面BMN P平面PCD 【答案】证明见解析； 【解析】连接BD，ABAD=，60BAD=，ABD为正三角形. M为AD的中点，BMAD. ADCD，,CD BM 平面ABCD，BMCDP. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 10 又BM 平面PCD，CD 平面PCD，BM平面PCD. M，N分别为AD，PA的中点，MNPDP. 又MN 平面PCD，PD 平面PCD，MN平面PCD. 又,BM MN 平面BMN，BMMNM=，平面BMN P平面PCD. 2如图，在四棱锥P-ABCD中，E为PA的中点，F为BC的中点，底面ABCD是菱形， 对角线AC，BD交于点O求证：平面EFO平面PCD 【答案】见解析 【解析】因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EOPC 又EO平面PCD，PC平面PCD，所以EO平面PCD 同理可证，FO平面PCD，又EOFOO所以，平面EFO平面PCD 旗开得胜 读万卷书 行万里路 11 考向三 动点问题（线面平行） 例 1、如图，四棱锥SABCD的底面ABCD是直角梯形，ABCD，试在棱AB上找一 点M，使得BC平面SDM 【答案】M为AB边的中点 【解析】因为BC平面SDM,BCABCD 平面, 平面SDM 平面ABCDDM=,所以BCDM由题设可知点M为AB边的中点 例 2如图，在斜三棱柱 111 ABCABC 中， 1 D为 11 AC上的点。

当 11 11 AD DC 为何值时， 1 BC 平面 11 AB D？ 旗开得胜 读万卷书 行万里路 12 【答案】当 11 11 1 AD DC = 时， 1 BC平面 11 AB D. 【解析】当 11 11 1 AD DC = 时， 1 BC平面 11 AB D. 如图，连接 1 AB交 1 AB于点O，连接 1 OD. 由三棱柱的性质知，四边形 11 A ABB为平行四边形， 所以点O为 1 AB的中点. 在 11 ABCV 中， 1 OD， 分别为 111 ABAC， 的中点， 11 ODBC . 又 1 OD 平面 11 AB D， 1 BC 平面 11 AB D， 1 BC平面 11 AB D， 当 11 11 1 AD DC = 时， 1 BC平面 11 AB D. 【巩固练习】 1 如图， 在等腰梯形ABCD中，M为AB的中点，/ /ADBC， 棱AD上是否存在一点N， 使得/ /PD平面MNC？请说明你的结论 旗开得胜 读万卷书 行万里路 13 【答案】见解析 【解析】如图，取N为AD的中点，连接MN，CN， 由,M N均为,PA AD的中点，则MN为APD的中位线，所以//MNPD， 又MN 面MNC，PD面MNC，所以/ /PD平面MNC 2如图，四棱锥中，底面为菱形， 为中点，段上求一点 ，使 得平面； 【答案】见证明 【解析】设线段的中点为 ，则 为所求 设线段中点为 ，连结，， 旗开得胜 读万卷书 行万里路 14 在中，，， 四边形是菱形，为中点， ，，，， 四边形为平行四边形，且， 平面，平面， 平面， 即 为线段中点时，满足平面 3如图，四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF 是矩形，BAD=CDA=90， AB=AD=DE= 1 2 CD，M 是线段 DE 上的动点，试确定点 M 的位置，使 BE平面 MAC， 并说明理由 【答案】见解析 【解析】当 1 3 EMDE=时，BE平面MAC 旗开得胜 读万卷书 行万里路 15 证明如下：连接BD，交AC于N，连接MN， 由于 1 2 ABCD=， =2 DN NB ，得MNBE， 由于MN 平面MAC，BE 平面 MAC，BE平面MAC； 考向四 动点问题（面面平行） 例 1、如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是矩形，E为棱SA上中点，P为AD 的中点，F是SB的中点，求证：平面PEF平面SCD 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为E、F分别是SA、SB的中点，所以EFAB， 旗开得胜 读万卷书 行万里路 16 在矩形ABCD中，ABCD，所以EFCD， 又因为E、P分别是SA、AD的中点，所以EPSD， 又因为EFCD，EFEPE=，,EF EP 平面PEF，,SD CD 平面SCD， 所以平面PEF平面SCD. 【巩固练习】 1 在正方体 1 AC中，E、F分别为 11 DC、 11 BC的中点，ACBDP=I ， 11 ACEFQ=I ， 如图. （1）若 1 AC交平面EFBD于点R，证明：P、Q、R三点共线； （2）线段AC上是否存在点M，使得平面 11 //B D M 平面EFBD，若存在确定M的位置， 若不存在说明理由. 【答案】 （1）证明见解析； （2）存在，且 1 4 AM AC =. 【解析】 （1）ACBDP=QI，AC 平面 11 AAC C，BD 平面EFBD，所以，点P是 旗开得胜 读万卷书 行万里路 17 平面 11 AAC C和平面EFBD的一个公共点， 同理可知， 点Q也是平面 11 AAC C和平面EFBD 的公共点，则平面 11 AAC C和平面EFBD的交线为PQ， 1 AC 平面EFBDR=， 1 AC 平面 11 AAC C，所以，点R也是平面 11 。