高等数学高阶导数.ppt

二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即记为记为或记为或记为定义：定义： 若函数若函数的导数的导数在点在点处可导，处可导， 即即存在，存在， 则称此极限为函数则称此极限为函数在点在点处的二阶导数，处的二阶导数，或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 或或类似地类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,或或依次类推依次类推 ,分别记作分别记作这里这里设设求例例1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设求求例例2.2.解：解：解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 证：证：满足满足证明：证明：例例4. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设求求解：解：依次类推依次类推 , 可得可得特别有特别有:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求求的的 n 阶导数。

阶导数和和解解: : 一般地一般地 , ,类似可证类似可证: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一般地一般地机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设求求补：补：解：解：例例6. 求求的的 n 阶导数解解: :规定规定 0 ! = 1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 即即例例7. 7. 求求的的 n 阶导数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明：证明：特别地，特别地，当当时时设求求解解:依次类推依次类推 ,例例8.可得可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设设求求解解:特别有特别有:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 设设求使求使存在的最高存在的最高分析分析: : 但是但是不存在不存在 .2又又阶数阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束 推导推导 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、函数乘积的二、函数乘积的 阶导数的莱布尼兹公式阶导数的莱布尼兹公式都有都有 n 阶导数阶导数 , 则则及及设函数设函数用数学归纳法可证用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立成立 . .即即比较二项式定理展开式：比较二项式定理展开式：（（ 形式完全一样形式完全一样 ））例例11. 求求解解: 设设则则代入莱布尼兹公式代入莱布尼兹公式 , 得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求求解解: 设设则则代入莱布尼兹公式代入莱布尼兹公式 , 得得练：练：例例12. 设设求求解解:即即用莱布尼兹公式求用莱布尼兹公式求 n 阶阶导数导数令令得得由由得得即即由由得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习1. 如何求下列函数的如何求下列函数的 n 阶导数阶导数?解解: 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)提示提示: 令原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. (填空题填空题) (1) 设设则则提示提示:各项均含因各项均含因子子 ( x – 2 )(2) 已知已知任意阶可导任意阶可导, 且且时时,提示提示:则当则当机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 试从试从 导出导出解：解：同样可求同样可求(见见 P103 题题4 )第四节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P101 1 （（11））（（12）） 3 10 （（2））第四节 目录 上页 下页 返回 结束 。