随机向量的数字特征.ppt

第二节第二节1一、随机向量的数学期望一、随机向量的数学期望(1) (1) 若若( (X, ,Y) )是离散型随机是离散型随机变量，且其量，且其联合分布律合分布律为 则则(2) (2) 若若(X, ,Y)是是连续连续型随机型随机变量量，，联合概率密度合概率密度为f(x, ,y)，，则则 21 1xy解解例例1 1 设随机随机变量量( (X, ,Y) )的的联合概率密度合概率密度为 31 1xy解解例例1 1 设随机随机变量量( (X, ,Y) )的的联合概率密度合概率密度为 4例例2 2解解易见易见 X 和和Y 的联合概率密度为的联合概率密度为 11xyO5解解易见易见 X 和和Y 的联合概率密度为的联合概率密度为 11xyO例例2 26二、随机变量的和与积的数学期望及方差二、随机变量的和与积的数学期望及方差性质性质2 2 设设 X、、Y 独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);性质性质1 1 E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);(诸诸Xi 独立时独立时)推广：推广：注意：由注意：由E(XY)=E(X)E(Y)不能推出不能推出X,Y 独立独立 .7性质性质3 设 X 和和Y 是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机变量，量，则 证证而而8当当X 和和Y 相互相互独立独立时时，，有有所以所以推广：推广： 若若X1, X2, …, Xn 两两两两独立独立, 则则更一般地，更一般地，性质性质3 设X和和Y是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机变量，量，则 证证9注意注意：以下两个式子是等价的：以下两个式子是等价的 ,例如例如, ,当当 X 和和Y 相互独立相互独立时时, ,有有若若X1, X2, …, Xn 两两两两独立独立, 则则10例例3 3 一民航送客车载有一民航送客车载有20 位旅客自机场开出位旅客自机场开出, 旅客旅客有有10个车站可以下车个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下如到达一个车站没有旅客下车就不停车车就不停车. 以以 X 表示停车的次数表示停车的次数, 求求 E(X) (设每设每位旅客在各个车站下车是等可能的位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是并设各旅客是否下车相互独立否下车相互独立) .引入随机变量引入随机变量则有则有解解由题意由题意, 有有11则有则有由题意，有由题意，有所以所以由数学期望的性质，得由数学期望的性质，得12例例4 4 下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的数学期望和方差数学期望和方差 .设设 X ~ B ( n, p )，， X表示表示n重伯努利试验中的成功次数重伯努利试验中的成功次数.设设而而 X= X1+X2+…+Xn ，，i =1, 2, …, n则则所以所以Xi 相互独立，相互独立，13三、随机变量的相关系数和相关性三、随机变量的相关系数和相关性 为了研究为了研究随机向量随机向量的的分量之分量之间的相关程度，的相关程度，下面下面引引进协方差协方差和和相关系数相关系数这两个概念两个概念. .定义定义计算公式：计算公式： covariance1 1. . 协方差的概念及其性质协方差的概念及其性质14定义定义计算公式：计算公式： 其中其中三、随机变量的相关系数和相关性三、随机变量的相关系数和相关性15协方差的性质：协方差的性质：(1)(1)对称性：称性： (2)(2)线性线性性：性： (3)(3)若若X 和和Y 相互独立，相互独立，则 因为因为X 和和Y 相互独立相互独立注意注意：反之未必成立：反之未必成立. .16(4) (4) 类似地有类似地有推广：推广：因此，若因此，若 X1, X2, …, Xn 两两独立，则有两两独立，则有17 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间的相互间的关系，但它还受关系，但它还受 X与与Y 本身度量单位的影响本身度量单位的影响 . 例如：例如： 为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准化的概念化的概念 .可以可以验证，， 2 2. .相关系数的概念及其性质相关系数的概念及其性质标准化随机准化随机变量消除了量量消除了量纲的影响的影响. . 18可以可以验证，， 19定义定义计算公式：计算公式：20例例5 5 设设( (X, ,Y ) )的联合分布律为的联合分布律为 解解先求出边缘分布，先求出边缘分布，2122例例6 6 设设( (X, ,Y ) )的联合密度函数为的联合密度函数为 解解先求出边缘密度，先求出边缘密度，均匀分布均匀分布23类似地，类似地，2425注注：实际上：实际上, ,本题不必求边缘密度本题不必求边缘密度, ,可以直接用以下公式计算可以直接用以下公式计算E( (X) )、、E( (Y ) )等等. .实际上实际上, ,第一种方法限定了求积分的次序第一种方法限定了求积分的次序, ,有时不方便有时不方便. .26性质性质1 1证证性质性质2证证相关系数的性质：相关系数的性质：27性质性质2证证28例例7 7解解29 相关系数是随机变量之间相关系数是随机变量之间线性关系线性关系强弱的一个强弱的一个度量度量(参见如下的示意图参见如下的示意图) .| |的值越接近于的值越接近于1, Y与与X的线性相关程度越高的线性相关程度越高 ;| |的值越接近于的值越接近于0, Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱 .3 3. .随机变量的线性相关性随机变量的线性相关性30定义定义下列事下列事实彼此等价：彼此等价： 定理定理 若若X与与Y 相互独立，相互独立，则X与与Y 不相关不相关. . 注意：注意：逆命逆命题不成立不成立, ,即即X与与Y 不相关不相关时, ,不一定独立不一定独立. . 31例例8 8 设设( X,Y )的分布律为的分布律为所以所以这表示这表示 X, ,Y 不存性关系不存性关系 . .但但, ,知知 X, ,Y 不独立不独立. .事实上事实上, , X, ,Y 具有非线性关系具有非线性关系: :32前面已经证明前面已经证明X和和Y不是相互独立的不是相互独立的.但但 X和和Y不是相互独立的不是相互独立的. . 解解上的均匀上的均匀分布，分布，试验证X和和Y是不相关的是不相关的, ,例例9 9 设二二维随机随机变量量( (X, ,Y) )服从单位圆服从单位圆同理同理, ,( (X, ,Y) )的概率密度的概率密度为 利用利用对称性称性所以所以即即 X 和和Y 不相关不相关. .33四、随机向量的协方差矩阵和相关矩阵四、随机向量的协方差矩阵和相关矩阵将二维随机变量（将二维随机变量（X1, X2））的四个二阶中心矩的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为称此矩阵为(X1, X2)的的协方差矩阵协方差矩阵 .这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵34类似定义类似定义n维随机向量维随机向量(X1, X2, …, Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1, X2, …, Xn) 的的协方差矩阵协方差矩阵.称矩阵称矩阵都存在都存在,若若显然协方差矩阵是一个对称矩阵显然协方差矩阵是一个对称矩阵. .可以证明：协方差矩阵是一个可以证明：协方差矩阵是一个半正定半正定矩阵矩阵. .35例例10 10 已知随机向量已知随机向量( (X, ,Y ) )的协方差矩阵为的协方差矩阵为 求随机向量求随机向量( (X+ Y, ,X- -Y ) )的协方差矩阵的协方差矩阵 . 解解由题意知由题意知, ,所以所以( (X+ Y, ,X- -Y ) )的协方差矩阵为的协方差矩阵为36还可定义还可定义n维随机向量维随机向量(X1, X2, …, Xn) 的相关矩阵的相关矩阵.为为(X1, X2, …, Xn) 的的相关矩阵相关矩阵.显然，相关矩阵也是对称的显然，相关矩阵也是对称的半正定半正定矩阵矩阵. .定义定义设设(X1, X2, …, Xn)是是n维随机向量维随机向量, X与与Y 的的称矩阵称矩阵都存在都存在相关系数相关系数37练习：练习：P114 习题三习题三 38。