高中数学函数的对称性知识点.docx

　　高中数学函数的对称性知识点　　高中数学函数的对称性知识点 　一、函数自身的对称性探究 　定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 　f (x) + f (2a－x) = 2b 　证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 　即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证 　（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) 　∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 　故点P（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P关于点A (a ,b)对称，充分性得征 　推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 　定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 　f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 　推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 　定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

　②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期 　③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期 　①②的证明留给读者，以下给出③的证明： 　∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， 　∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： 　f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*） 　又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称， 　∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得： 　f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 　f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得： 　f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。

　二、不同函数对称性的探究 　定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称 　定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称 　②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称 　③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称 　定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③ 　设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上 　同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。

故定理5中的③成立 　推论：函数y = f (x)的.图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称 　三、三角函数图像的对称性列表 　注：①上表中k∈Z 　②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的 　四、函数对称性应用举例 　例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）（第十二届希望杯高二 第二试题） 　(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数 　(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数 　解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x). 　∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

　故选(A) 　例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ） 　（A）1999； （B）2000； （C）2022； （D）2022 　解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称， 　∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2022 　故f(4) = 2022,应选（C） 　例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时， 　f (x) = － x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题） 　解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴； 　又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。

故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3 　例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）(92全国高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x = 　解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k + 　∴x = － ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = － 故选(A) 　例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时， 　f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） 　(A) 0.5(B)－0.5(C) 1.5(D) －1.5 　解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心； 　又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数 　∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B) 　高中函数的知识点总结 　1. 函数的奇偶性 　(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ; 　(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数); 　(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0); 　(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性; 　(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 　2. 复合函数的有关问题 　(1)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

　(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 　3.函数图像(或方程曲线的对称性) 　(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; 　(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然; 　(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); 　(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0; 　(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称; 　(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称; 　4.函数的周期性 　(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数; 　(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数; 　(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数; 　(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数; 　(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数; 　(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数; 　5. 　方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域); 　6. 　a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min; 　7. 　(1) (a0,a≠1,b0,n∈R+); 　(2) l og a N= ( a0,a≠1,b0,b≠1); 　(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; 　(4) a log a N= N ( a0,a≠1,N 　8. 判断对应是否为映射时，抓住两点： 　(1)A中元素必须都有象且唯一; 　(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象; 　9. 能熟练地用定义证明函数的。