因式分解定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,一、因式分解定理,二、重因式,§5.3,因式分解定理,三、多项式函数与余数定理,,因式分解与多项式系数所在数域有关,如：,（在有理数域上）,问题的引入,（在实数域上）,（在复数域上）,一、因式分解定理,,设 ，且 ，若,不能表示成数域,P,上两个次数比 低的多项式的,,,,定义,5.6,乘积，则称 为数域,P,上的,不可约多项式,.,注,①,一个多项式是否不可约依赖于系数域,.,,②,一次多项式总是不可约多项式,.,,1,、不可约多项式,,③,多项式 　　　　　　 不可约,.,的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍,.,或,,引理,,多项式 不可约，对　　　　　　有,证,：设 则,,或,即 或,,不可约,.,，若,,则 或,,证,：若 结论成立,.,若　 　不整除 ，则,,定理,5.7,设,不可约，,,则必有某个　　　使得,,推广：,设,,若 ，则 可,唯一地分解成数域,P,上的一些不可约多项式的乘积,.,,所谓唯一性是说，若有两个分解式,,定理,5.8,则 ，且适当排列因式的次序后，有,,其中 是一些非零常数．,,2,、因式分解及唯一性定理,,总可表成,,对,其中　为　　 的首项系数，　　 为互不相同的，,,首项系数为,1,的不可约多项式，,的,标准分解式,.,称之为,,标准因式分解式：,,注：,①,,若已知两个多项式 的标准分解式,,,则可直接写出,就是那些同时在 的标准,分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带,方幂指数等于它在　　　　　中所带的方幂指数,中较小的一个．,,例,,若　　　　　的标准分解式分别为,则有,,,②,,虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，,,,但并未给出一个具体的分解多项式的方法．,,,实际上，对于一般的情形，普通可行的分解多,,项,式,的方法是不存在的．而且在有理数域上，多,,项式的可约性的判定都是非常复杂的．,,,二、重因式,设,,为数域,P,的不可约多项式，,,则称 为 的,重因式,，其中,k,是非负整数,.,若,>1,,则称 为 的,重因式,.,（若,=0,， 不是 的因式,),,若,，,但,,定义,5.7,若 ＝,1,,则称 为 的,单因式,.,1,、定义,,,,若,,的标准分解式为：,,则,,为,的,重因式,.,,时，,为单因式,,;,时,,,,为重因式,,.,2,、重因式的判别和求法,方法一：,,方法二：,,（,定理,5.9,）,若不可约多项式 是 的 重因式,则它是　　 的微商 的 重因式,.,为,,的,,重因式，但　　未必是,的 重因式,.,,注：,定理,5.9,的逆命题不成立,，,即,,例　举例说明下面命题是不对的．,,解：令 　 则,但,,是 的,2,重根，,,不是 的根，从而不是 的,3,重根．,,,推论,1,若不可约多项式,,是,,的,,重因式,,,则,,是,,的因式,，,但不是,,,,,的因式,.,推论,2,不可约多项式,,是,,的重因式,,是,,与,,的公因式,.,,,推论,3,注,:,不可约多项式,,为,,的,,重因式,,,,为,,的,,重因式,.,,,与,,有完全相同的不可约因式，,,,且 　　　的因式皆为单因式,.,,，,若,,,,其中,,为不可约多项式，,,则,,为,,,,的,,重因式,.,,推论,4,推论,5,多项式 没有重因式,,根据推论,3,、,4,可用辗转相除法,，,求出,注：,来判别,,是否有重因式．若有重因式,，,还可由,的结果写出来,.,,例,5.6,,判别多项式　　 有无重因式,.,若有求出重因式，及其重数,.,,,三、多项式函数与余数定理,1.,,多项式函数,将　　的表示式里的　用　代替，得到,P,中的数,称为当　　　时　　 的,值,，记作,这样，对,P,中的每一个数　，由多项式　　 确定,P,,,中唯一的一个数　　 与之对应，于是称　 为,P,上,,,的一个,多项式函数,．,设,数,,,若多项式函数,在 　处的值为,0,，即,,则称 为,的一个,根,或,零点,．,,2.,多项式函数的根,(,或零点,),,易知，若,则，,,（余数定理）,：若用一次多项式 去除多项式,,则所得余式是一个常数，该常数等于函数,值,,二、多项式函数的有关性质,1.,余数定理（,定理,5.10,）,,是 的根,,推论,:,,,,例,1,,求 在 处的函数值,.,法一：,把 　 代入 求,,用 去除 所得余数就是,,法二：,答案：,,若 是 的 重因式， 则称 为,,的,重根,.,当 时，称 为 的单根．,,当 时，称 为 的重根．,,2.,多项式函数的,k,重根,定义,,注：,,①,是 的重根 是 的重因式．,,②,有重根 必有重因式．,反之不然，即,有重因式未必 有重根．,例如，,为 的重因式，但在,R,上 没有根．,,3.,根的个数定理,,(,定理,5.11,),任一 中的 次多项式 在 中的根,,不可能多于 个，重根按重数计算．,,4.,定理,5.12,且,,若有 使,,则,,,证：令 则有,,由,Th5.11,，若 的话，则,矛盾．,所以，,即 有,,个根，,即,定理,5.12,,解：,例,2,求,t,,值，使,有重根．,法一：辗转相除法,,若,即,则,此时，　　有重根，,为　　 的三重根．,若,即,则,此时，　　有重根，,为　　 的二重根．,,法二：利用重根的定义和性质,,例,3,,,若 　求,,解：,从而，,1,为 的根．,于是有，,,1,为,,的重根，,,。