线性代数：5-3 实对称矩阵的对角化.ppt

第三节　实对称矩阵的对角化第三节　实对称矩阵的对角化实对称矩阵的性质　实对称矩阵的性质　第五章　特征值问题与二次型第五章　特征值问题与二次型实对称矩阵的正交对角化方法实对称矩阵的正交对角化方法 1、特征值全为实数、特征值全为实数. .从而对应的特征向量全为从而对应的特征向量全为　　实向量　　实向量. .　　说明　　说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵．． 　　3、属于不同特征值的特征向量必正交、属于不同特征值的特征向量必正交.n阶方阵阶方阵A的的r 重重特征值，则必有特征值，则必有 　　　　.一、实对称矩阵一、实对称矩阵的性质的性质　　　　　　实对称矩阵的特征值与特征向量之特性：实对称矩阵的特征值与特征向量之特性：2、对每个、对每个特征值特征值λ ，都有，都有 　　 ，即若，即若λ是是证明证明于是于是因为因为A对称，即对称，即 由性质由性质1，，2，，3可得：实对称矩阵必正交相似可得：实对称矩阵必正交相似问题：如何寻找正交阵问题：如何寻找正交阵，，使使称称A可可正交对角化正交对角化正交对角化正交对角化. .于对角阵，即存在正交阵于对角阵，即存在正交阵Q，使，使【【【【例例例例1 1】】】】 将矩阵将矩阵 正交对角化正交对角化. .二、实对称矩阵二、实对称矩阵的正交对角化方法的正交对角化方法　　　　　　【【【【解解解解】】】】对应的特征向量：　　对应的特征向量：　　两两正交，规范化得　　　两两正交，规范化得　　　令　　令　　【【【【例例例例2】】】】 将矩阵将矩阵 正交对角化正交对角化. . 利用利用 schmidt正交化方法，将正交化方法，将 正交化：　　正交化：　　【【【【解解解解】】】】对单重特征值　　对单重特征值　　对对3重特征值重特征值 　　　　　　 ，取，取(A－－I) x = 0 的基础解系的基础解系　　　　则　　　　　是则　　　　　是A的的4个两两正交的特征向量．　　个两两正交的特征向量．　　规范化：　　规范化：　　取　　　取　　　则　　则　　　　　　根据上述讨论，将对称矩阵正交对角化的具体根据上述讨论，将对称矩阵正交对角化的具体步骤步骤为：为：4.将将3中所有特征向量组合后即得正交阵中所有特征向量组合后即得正交阵Q.1.求出求出A的所有不相等的特征值的所有不相等的特征值2.求出求出 的基础解系，的基础解系，即得属于即得属于λi 的线性无关的特征向量；的线性无关的特征向量；3.若若λi 为单重特征值，将对应的特征向量规为单重特征值，将对应的特征向量规范化；范化；若若λi 为多重特征值，将为多重特征值，将2中的基础解系正交中的基础解系正交化，再规范化；化，再规范化；则　　则　　【【【【例例例例3】】】】设实对称阵设实对称阵设实对称阵设实对称阵A的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为λ1＝＝4, λ2,3＝－＝－2,　　　　 且对应于且对应于λ1的特征向量为　　　　　，求的特征向量为　　　　　，求 A．　　．　　【【【【解法一解法一解法一解法一】】】】由实对称矩阵性质知，对应于由实对称矩阵性质知，对应于由实对称矩阵性质知，对应于由实对称矩阵性质知，对应于λ2,3＝－＝－2　　必有两个线性无关的特征向量，且它们都与　正交．　必有两个线性无关的特征向量，且它们都与　正交．　即满足　即满足　取其一个基础解系：　　取其一个基础解系：　　则　　则　　则　　则　　取取 对　对　 正交化：正交化： 再对　　　单位化得：再对　　　单位化得：令　　　　　，则令　　　　　，则Q为为正交阵正交阵. 有　　有　　【【【【解法二解法二解法二解法二】】】】【【【【解法三解法三解法三解法三】】】】由由由由A是对称阵知是对称阵知是对称阵知是对称阵知, , 存在正交阵　　存在正交阵　　存在正交阵　　存在正交阵　　使　使　　　其中其中　　　　则则A的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为λ1＝＝4, λ2,3＝－＝－2,对应于对应于λ1的特征向量为的特征向量为。