高一第一学期期中数学试卷含答案(北京卷).pdf

1 北京市第一学期期中试卷高一数学卷一、选择题（共12 个小题，每题4 分，共 48 分每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1设集合1,2,3,4U，1,2,3M，2,3,4N，则()UMN（） A1,2B2,3C2,4D1,4【答案】 D 【解析】2,3MN，()1,4UMN，选择D2下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（） Ax yOBx yOCx yODx yO【答案】 C 【解析】函数中同一个向变量只能对应一个函数值，选择C3三个数2(0.3)，0.32，2log 0.3的大小顺序是（） A20.32(0.3)2log 0.3B20.32(0.3)log 0.32C20.32log 0.3(0.3)2D0.3222log 0.3(0.3)【答案】 C 【解析】20(0.3)1，0.30221，2log 0.30，显然有20.32log 0.3(0.3)2，选择C2 4函数1( )f xxx的图象（） A关于原点对称B关于直线yx对称C关于x轴对称D关于y轴对称【答案】 A 【解析】( )f x 的定义域为(,0)(0,) ，关于原点对称，且1()( )fxxf xx，( )f x 为奇函数，关于原点对称，选择A5126236log249的值是（） A43B1C1D34【答案】 B 【解析】原式1212626log (2 )7161761选择B6下列函数中值域是(0,) 的是（） A21(0)yxxB3xyC yxD2yx【答案】 B 【解析】A的值域为 (1,) ，C的值域为R，D的值域为(,0)(0,) ，选择B7如图给出了某种豆类生长枝数y（枝）与时间t （月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（） t y00.511.522.533.544.518171615141312111098765432103 A22ytB2logytC3ytD2ty【答案】 B 【解析】由图像知模型越来越平滑，只有B符合条件，选择B8 已知函数( )()()f xxa xb（其中ab） ， 若( )f x 的图象如图所示， 则函数( )xg xab的图像是（） 11x yOA1x yOB1x yOC1x yOD1x yO【答案】 A 【解析】由图像易知：1b，01a；( )xg xab为减函数，又0 x时，( )10g xb，与y轴加点在x轴下方；选择A9函数3( )21f xxx一定存在零点的区间是（） A10,4B1 1,4 2C1,12D(1,2)【答案】 B 【解析】3( )21f xxx在(0,) 上单调递增，以上集合均属于(0,) ，根据零点存在定理，( )( )0f af b，易知B选项符合条件，4 选择B10在R上运算：(1)xyxy ，若不等式()()1xaxa对任意实数x 成立，则（） A3112aB1322aC11aD02a【答案】 B 【解析】不等式()()1xaxa化简为：()(1)1xaxa，即：2210 xxaa对任意x成立，21(1)40aa，解得1322a，选择B11函数( )xf xxa， ()aR ，若函数( )f x 在 (1,) 上为减函数，则实数a的取值范围是（） A(,1B(,1)C(0,1D(0,1)【答案】 C 【解析】( )xf xxa，若( )f x 在 (1,) 上为减函数，00axa，01a，选择C12如图，函数( )f x 的图象为折线ACB，则不等式2( )log (1)f xx的解集是（） 122ABCx yOA| 10 xxB|11xxC| 11xxD|12xx 【答案】 B 【解析】作出函数2log (1)yx的图像：易知( )f x 与2log (1)yx相交于(1,1)P，由图可知解集为1,1，选择B5 log2a+1()Px yO二、填空题（共6 个小题，每题4 分，共 24 分请将正确答案填在答题纸相应的题号处）13映射:fxx ，2的象为 _，2的原象为 _【答案】2，4【解析】2的象为2，2的原象为22414已知关于x的不等式20 xaxb，( ,)a bR 的解集为| 13,AxxxR 则ab_【答案】5【解析】易知11x和23x是20 xaxb的两个根，根据韦达定理可知1212xxax xb，132a，12133bx x，5ab15函数lg(),(0)( )1,(0)xxf xxxx的零点为 _，单调减区间为_【答案】1x， (,0) 和 (0,1)【解析】lg()0 x时，1x，合题，当0 x时，1122xxxx，零点为1x1( )f xxx时，21( )1fxx，1x时( )0fx，当01x时，( )0fx，( )f x 为单调减函数，又( 0lg()f xx 在 (,0) 上为单调减函数，综上所述：( )f x 在 (,0) 和 (0,1) 上为单调减函数16函数2( )logf xx在区间2,2a上的最大值与最小值之差为12，则a_【答案】2【解析】2( )logf xx在区间2,2 a 上为单调增函数，6 由题可得：221log (2 )log 22a，221log22a，2a17函数21( )23f xaxax的定义域为全体实数，则实数a的取值范围为 _【答案】 0,3)【解析】0a时，1( )3f x，符合条件；0a时，等价于2230axax恒成立，0，有24120aa，解得03a；0a时，等价于2230axax恒成立，0，有24120aa，无解，故不符合条件综上所述a的取值范围为0,3) 18 对于函数( )f x ， 若00()f xx， 则称0 x为( )f x 的“ 不动点 ” ； 若00()ff xx ， 则称0 x为( )f x 的“ 稳定点 ” 函数( )f x 的“ 不动点 ” 和“ 稳定点 ” 的集合分别记为A和B，即|( )Ax f xx，|( )Bxff xx （1）设函数( )34f xx，则集合A_，B_（2）A_B （用，填空）【答案】（1）2，2； （2）【解析】（1）34xx，解得2x，2A；3(34)4xx ，解得2x，2B（2）若A，显然AB成立；若A，设tA，则( )f tt，( )( )ff tf tt，tB，AB三、解答题（共3 个小题，共28 分请将正确答案填在答题纸相应的题号处）19 （8分）已知集合2|430Ax xx，集合|2Bx x（1）化简集合A并求AB，AB（2）若全集UR，求()UBA【答案】见解析【解析】（1）2|430Ax xx，|13Axx，|2Bx x，7 |23ABxx，|1ABx x（2）|1UAx x或3x，()|3UBAx x20 （10分）已知函数21( )1f xx（）证明函数( )f x 为偶函数（）用函数的单调性定义证明( )f x 在 (0,) 上为增函数【答案】见解析【解析】（）( )f x 定义域为 (,0)(0,) ，关于原点对称，又2211()1=1( )()fxf xxx，( )f x 为偶函数（）证明：取1x，2(0,)x，且12xx，12222111()()f xf xxx12122212()()0 xxxxx x( )f x 在 (0,) 上为增函数21 （10分）函数2( )2f xxx（）若0,3x，求函数( )f x 的最小值和最大值（）讨论方程( )f xm， ()mR 的根的情况（只需写出结果）（）当,3xt t，tR时，求函数( )fx 的最小值【答案】见解析【解析】（）2( )2f xxx，关于1x对称，开口向上，( )max(3)963xff，( )min(1)121xff（）作出 |( ) |f x的图像如图：易得当0m时，方程无根；当0m时，方程有两个根；当01m时，方程有四个根；当1m时，方程有三个根；当1m时，方程有两个根8 y=m y= f x( )1x yO（）当13tt 时，min( )(1)1f xf，此时21t ，当1t时，( )2min( )2xff ttt ；当31t时，即2t 时，( )2min(3)43xff ttt卷一、填空题（共5 个小题，每题4 分，共 20 分，请将正确答案填写在答题纸相应题号处）22已知函数3 ,1,( ),1,xxf xx x若( )2f a，则a_【答案】23log【解析】32a时，23log1a，符合题意；又2a时，21a，不合题，舍去；23loga23已知函数2( )31f xxmx在(, 2 上递减，在 2,)上递增，则m_【答案】12【解析】已知( )f x 等于26mx对称，12m24若函数符合条件( )( )()f x fyf xy ，则( )f x_（写出一个即可） 【答案】2x【解析】易知222xyxy，( )2xf x符合条件25设( )f x 是定义在R上的奇函数，若( )f x 在 (0,) 上是减函数，且2是函数( )f x 的一个零点，则满足( )0 xf x的x的取值范围是 _【答案】 ( 2,0)(0,2)【解析】0 x时，( )0f x时( )0 xf x成立，又( )f x 在 (0,) 上是减函数，(2)0f，02x，又0 x时，( 2)(2)0ff，( )f x 在 (,0) 上单调减，20 x9 综上所述( 2,0)(0,2)x26已知集合1,2,Un ，*nN ，设集合A同时满足下列三个条件：AU；若xA，则2xA；若UxA，则2UxA（1）当4n时，一个满足条件的集合A是_ （写出一个即可）（2）当7n时，满足条件的集合A的个数为 _【答案】（1）2或1,4，或2,3或1,3,4； （2）16【解析】（1）易知4n时，1,2,3,4U，由条件易知：当1A，则2A， 2UA，则4UA，即4A，元素3与集合的关系无法确定故1,4A，或1,3,4A，当2A，则4A，1A，但元素3与集合关系无法确定，故2A，或2,3A（2）7n时，1,2,3,4,5,6,7U，由条件易知1，4必需属于A，此时2属于A的补集；或1，4必须同时属于UA，此时2属于A；3属于A时，6UA；3属于UA时，6A；而元素5，7没有限制，故满足条件的集合A共有4216 个二、解答题（共3 个小题，共30 分请将正确答案填在答题纸相应的题号处）27 （满分10分）设函数1( )2xf xa（0a，且1a） ，若( )yf x 的图象过点(1,7) （1）求a的值及( )yf x 的零点（2）求不等式5( )3f x 的解集【答案】见解析【解析】（1）( )f x 经过点 (1,7) ，即2(1)27fa，又0a，3a，1( )320 xf x时，解得32log3x，零点为32log3x1 0（2）5( )3f x 即15323x，1133x，11x，2x，不等式解集为2,) 28 （满分10分）已知函数( )()()f xxxa aR 的奇函数（）求a的值（）设0b，若函数( )f x 在区间,b b上最大值与最小值的差为b，求b的值【答案】见解析【解析】（）( )f x 为奇函数，()| ()( )| ()fxxaxf xxxa ，axxa，0a（）22,0( ),0 xxf xxx，( )f x 在R上为单调增函数，又0b，( )()f bfbb， 2 ( )f bb，即22bb ，12b29 （10分） 设( )f x 是定义在1,1上的奇函数， 且(1)1f，若a，1,1b，0ab有( )( )0f af bab恒成立（）求证：函数( )f x 在1,1上是增函数（）解不等式2(23 )0fxx（）若2( )21f xmam，对所有的1,1x，1,1a成立，求m的取值范围【答案】见解析【解析】（）证明：任取1x，21,1x，且12xx，( )f x 是奇函数，则有1212()()()()f xf xf xfx121212()()()()f xfxxxxx，( )( )0f af bab，即1212()()0()f xfxxx，120 xx，12()()0f xf x1 。