数学第5章 四边形 第21讲 多边形与平行四边形.ppt

第五章　四边形第五章　四边形 第第21讲　多边形与平行四边形讲　多边形与平行四边形考点梳理考点梳理过关过关考点考点1 1 多边形多边形 6年年4考考概念平面上，由不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形性质(1)多边形内角和定理：n边形的内角和等于①　(n－2)·180°　；(2)多边形外角和定理：n边形的外角和等于②　360°　；(3)n边形对角线的数量：过一个顶点可以引(n－3)条对角线，n边形共有③　　条对角线考点考点2 2 正多边形正多边形考点考点3 3 平行四边形的性质和判定平行四边形的性质和判定 6 6年年3 3考考定义：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.典型例题典型例题运用运用类型类型1 1 多边形的内角和与外角和多边形的内角和与外角和 【例1】 [2017·宜昌中考]如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是(　 　)A．①② B．①③ C．②④ D．③④B　∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°，∴①③剪开后的两个图形的内角和相等．B　技法点拨►1.计算多边形的角度直接利用多边形内角和公式，正多边形每个内角相等，用内角和除以边数即得每个内角的度数．2．求正多边形边数时，可以运用多边形内角和公式，但有时利用外角和为360°这一不变性解决更简单(直接用360°除以一个外角的度数即可得到多边形的边数)．3．根据多边形内角和公式列方程求解是解决多边形边数问题的常用方法．很多几何问题都根据几何图形的相关公式或定理列出方程或方程组进行解答．这一解题思路反映了代数方法在解决几何问题中的重要作用．类型类型2 2 平面镶嵌平面镶嵌( (密铺密铺) )【例2】小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是(　 　)B　正八边形、正三角形的内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的角，故不能密铺；正方形、正八边形的内角分别为90°、135°，由于135°×2＋90°＝360°，故能密铺；正六边形和正八边形的内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的角，故不能密铺；正八边形、正五边形内角分别为135°、108°，显然不能构成360°的角，故不能密铺．B 技法点拨►用一种、两种或两种以上的某些正多边形可以实现镶嵌．用不同种正多边形镶嵌时应满足的条件：镶嵌的正多边形的边长相等；顶点重合；一个顶点处的各角之和为360 °.类型类型3 3 平行四边形的性质和判定平行四边形的性质和判定【例3】[2017·湘潭中考]如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．【思路分析】：(1)利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出∠D＝∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE；(2)证出AB＝FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．【自主解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE和△FCE中，∴△ADE≌△FCE(ASA)．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC，AB＝2BC，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°.技法点拨►1.利用平行四边形性质可以证明角相等或互补、线段相等或平行，一般是先判定四边形是平行四边形，然后再利用性质求角的度数、边的长度或线段的数量及位置关系．2．解决平行四边形相关问题时，观察线段或角所在图形的形状，既要利用平行四边形的判定和性质，又要借助三角形的一些性质定理．变式运用►如图1，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.(1)求证：CF＝CH；(2)如图2，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当∠BCD为多少度时，四边形ACDM是平行四边形，请说明理由；(3)当AC＝ 时，在(2)的条件下，求四边形ACDM的面积．解：(1)证明：∵AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝45°.在△BCF和△ECH中，∴△BCF≌△ECH(ASA)．∴CF＝CH.(2)当∠BCD＝45°时，四边形ACDM是平行四边形，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCD＝45°，∴∠ACF＝∠DCH＝45°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°.∵∠E＝45°，∴∠ACF＝∠E.∴AC∥DE.∴∠AMH＝180°－∠A＝135°＝∠ACD.又∵∠A＝∠D＝45°，∴四边形ACDM是平行四边形．(3)∵四边形ACDM是平行四边形，AC＝CD＝ ，∴AM＝CD＝ .∵∠A＝45°，∴AC边上的高为1.∴四边形ACDM的面积为1× ＝ .六年真题六年真题全练全练命题点命题点1 1 多边形的边角关系多边形的边角关系1．[2014·河北，15,3分]如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则 为(　　)A．3 B．4C．5 D．6C　如图，正六边形的三条对角线将它分割成6个小等边三角形，每个小等边三角形的边长均为a.原来的两个直角三角形恰好合并成一个边长为a的小等边三角形，其面积为正六边形面积的 ，∴2．[2015·河北，19,3分]平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝　24 正三角形的一个内角为60°，正方形的一个内角为90°.由多边形的内角和公式求得，正五边形的一个内角为108°，正六边形的一个内角为120°.∴∠3＝90°－60°＝30°，∠2＝108°－90°＝18°，∠1＝120°－108°＝12°，∴∠3＋∠1－∠2＝30°＋12°－18°＝24°.3．[2012·河北，18,3分]用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1.用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2.若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为6　∵正六边形的每个内角的度数为 ∴两个全等的正六边形拼接的顶点处剩余角度为360°－120°×2＝120°.这个角度就是中间正多边形的一个内角，则由解得n＝6.4．[2016·河北，22,9分]已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解：(1)甲对，乙不对．理由如下：当θ＝360°，即(n－2)×180°＝360°.解得n＝4.∴θ能取360°.当θ＝630°，即(n－2)×180°＝630°.解得n＝ ∵n为整数，∴θ不能取630°.(2)依题意，得(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°.解得x＝2.猜押预测►把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图所示的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点J，则∠3－∠2－∠1的大小为　24°　∵BE是正六边形ABCDEF的对角线，∴∠1＋∠2＝∠ABE＝ ∠ABC.又∵∠ABC＝ ＝120°，∴∠1＋∠2＝∠ABE＝60°.在正五边形中，∠I＝∠IAB＝ ＝108°，∴由四边形的内角和，得∠3＝360°－∠I－∠BAI－∠ABE＝360°－2×108°－60°＝84°，∴∠3－∠2－∠1＝∠3－(∠2＋∠1)＝84°－60°＝24°.命题点命题点2 2 平行四边形的性质和判定平行四边形的性质和判定5．[2016·河北，13,2分]如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　)A．66° B．104°C．114° D．124°C　∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠ACD＝∠BAC.由折叠的性质，得∠BAC＝∠B′AC.∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝ ∠1＝22°.∴∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°.6．[2015·河北，22,10分]嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图，在四边形ABCD中，BC＝AD.AB＝________.求证：四边形ABCD是________四边形．(1)在方框中填空，以补全已知和求证；(2)按嘉淇的想法写出证明：证明：(3)用文字叙述所证命题的逆命题为________________________________________________________________________．解：(1)CD　平行(2)证明：如图，连接BD.在△ABD和△CDB中，∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(SSS)．∴∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB.∴AD∥CB，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．(3)平行四边形的两组对边分别相等7．[2017，河北，25,11分]平面内，如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝ 点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.(1)当∠DPQ＝10°时，求∠APB的大小；(2)当tan ∠ABP∶tan A＝3∶2时，求点Q与点B间的距离(结果保留根号)；(3)若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．(结果保留π)解：(1)当点Q与点B在PD异侧时，由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°，得∠BPD＝80°，∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°.当点Q与点B在PD同侧时，如图，∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80°.∴∠APB是80°或100°.(2)如图，过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ.∵tan∠ABP∶tan A＝ ＝3∶2，∴AH∶HB＝3∶2.而AB＝10，∴AH＝6，HB＝4.在Rt△PHA中，PH＝AH·tan A＝8.∴PQ＝PB＝ ∴在Rt△PQB中，QB＝ (3)16π或20π或32π.注：下面是(3)的一种解法．①点Q在AD上时，如图1，由tan A＝ ，得PB＝AB·sin A＝8.∴S阴影＝16π.②点Q在CD上时，如图2，过点P作PH⊥AB于点H，交CD延长线于点K.由题意，得∠K＝90°，∠KDP＝∠A.设AH＝x，则PH＝AH·tan A＝ x.∵∠BPH＝∠KQP＝90°－∠KPQ，PB＝QP，∴Rt△HPB≌Rt△KQP.∴KP＝HB＝10－x.∴AP＝ AD＝15＝ 解得x＝6.∵PB2＝PH2＋HB2＝80，∴S阴影＝20π.③点Q在BC延长线上时，如图3，过点B作BM⊥AD于点M，由①，得BM＝8.又∠MPB＝∠PBQ＝45°，∴PB＝8 .∴S阴影＝32π.。