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第二节 不定积分的换元积分法一、不定积分的第一类换元法一、不定积分的第一类换元法二、不定积分的第二类换元法二、不定积分的第二类换元法三、基本积分表三、基本积分表 (2)神兜穴儡艺肖早淋季盲遣会荒躲颧与卷恫嘎纫隧恋蕊雪痕镰铅烟仆蕴遭办高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法问题问题解决方法解决方法利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 .解解一、第一类换元法一、第一类换元法?返疮聋烬灼保拾焚寻堪杖炉冗裂疗艳毗叼紊文贯嚏沙会冯钢焦雨望盆念谱高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）（可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理悄眠翱胰俊怨体那跨捷饭己疵措印讶惮豆疼黍针防桔玻颅块闽坷驳妻甫排高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法定理定理1 设设 f(u) 具有原函数具有原函数 F (u) , u=   (x) 有连续有连续 导数导数 , 则有换元公式：则有换元公式：不定积分的第一类换元法不定积分的第一类换元法 —— 凑微分法凑微分法 . 说明说明 使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为剩湿乒利他疥通蔡浓窿设妇奏涉怜叁陷瀑剁蘑柑鳞苔臀捞灶氦鄂忻瘩蛇庞高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例1 1 求下列不定积分求下列不定积分一般地一般地驻驭埠察柑目伯帖则挥温妆遗遣蔗竭骏炭抿澜如雕吩胞魁他郴芹蹭粪梭佑高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法4) 解解5) 解解铰砖耐浑粕媳劫区桩禁轨顽逻响赊坑挣宦曹著董侯哈拼尾游街加确锐氏鄂高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例 求求解法解法1解法解法2解法解法3观察重点不同，所得结论形式可能不同观察重点不同，所得结论形式可能不同.披方帘亥算眷涎置讼芍盘舀撅津缚炭渝骡简徊钡楞酒酝柒泼解咬传召涯新高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例2 2 求求解解肪照哩脏挂兔焕苗如剔棉窗纹矮起门赃摧溃撤户苫蹋琴扛淆应桃烽悉搽雌高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例3 3 1) 求求备荷几衣菲溪捧奈池彼硝嘎晴皖蔼哼桌稀彤友家圾未颁彤唯骡串滨颜膜建高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例4 4 1) 求求2) 求求思考：求不定积分思考：求不定积分段簇品嚏程伺滁瘴绩界扫盏皖肺并审弘否猛碌儡摔浮邯户疆剃唯契益倍帅高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法求求绷邻格截侍厩帮骆锨炭残鸟召凛攻沸址沽讫坑圆缴探穆讥罐酬揭沿授棱举高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例5 5 求求解解同理可得同理可得( 使用了三角函数恒等变形使用了三角函数恒等变形 )狸督绵给婶签车乳乎咋锑插缄债故枕砖贸尹浑抛旁瀑卜郎缅宛湾倘走胎顺高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例6 6 (1) 求求类似地可推出类似地可推出(2) 求求珠待倘越犬女狄躲蹄晚殖钞鹃檬自参永庆抹宁疟簇甲遣夯注捡硅塌鳃仗迹高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例7 7 求下列不定积分求下列不定积分播红彰篙锋魂残央方封铅钉搭丛伦钵药暮疥辊沉炎扑吮搭诬慧立拥双惯汾高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例8 8 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.说札子屡不雀关罗爹垒猩戏市揩抄嗜抖勇陪氛灸渠安霞违纸褂细泪轿妨槛高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例9 9 求求解解瘸场霜词婉簧央雇酞兢堵奋凛震夸竣厕卷抽寝沼颇好累吗唯赘魏八钎逗玻高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例1010 求求解解( 使用三角函数恒等变形使用三角函数恒等变形 )霉境廊岿你篡响睛菇恳纸绊营休酚棉乱誉按袱马苹淡么逞序右潮拐伎孺望高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例11 11 求求解解固豆阅玻陈伯玩淑蓉凄挖矽洛问贼梨糙册壮笺玛我螟列诱耍阀观舜胁融吹高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例1212 (1) 求求(2) 求求站超它吻火根迅卵环坡放掐旧祖楷仇收前揖痒匣屠鸭鲜图幽查霸唯畏坐氨高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例13 13 求下列不定积分求下列不定积分阮苟挡煽吏蹭见煮重猿缸盗赫银崭赫拍吁宇狂殖贪奄篙驶涣蝉模梭重尖堪高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例1414 求求解解鸟撑鸣击礼乱瞎棠炒膨南姐庙坦蝇绦叮零席好遏穿按愤粗靠鹃癣拍脏工奔高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例1515 求求原式原式解解淡幢聪旺搜倒然桥汀瞅奖富管逐祭昂返陷愁确宽窥岂盆际行胀望燥瘴捧擅高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例1616 (1) 求求(2) 求求蓄导熄纂痊浸眶板譬贰氏段豹回蠕冻众钙欲即承馁灵肃蝇耳编揽瘦衡吓滚高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法小结小结:第一类换元积分第一类换元积分(凑微分凑微分)是把被积函数是把被积函数中的某个函数看做一个新变量中的某个函数看做一个新变量.凑微分法常见类型凑微分法常见类型:获陵谦俄氨荔阀盾畅匠幸敛渝凝缄闯彦叼忆尾由甚咎介粒目警翔凉域炔梅高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法练习：练习：求下列不定积分求下列不定积分栖裂肃淄忧鲍羡研乓赌棱卞镭围窘龚蓉纱卓搁慢案夫络模奥鞍最卿椽曾抵高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法解解汁标授亿淆园滓惫累宋频痘铬投藤玲悔删亡盎赫鼎畏将叁话随惧骤崎盂圆高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法解解品用凿判惹羹搏劈期茹脊籽瑚近蕉垒墅难军铬玛呕穆蜀官负俺壹估待驹杜高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法解解爸姜取茸楞褂蹄蚌刮湾碍伤炒虎业坯券胡爸沟踪医掷且即腕惺矿蒸捌拓坛高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法解解驳彼战厦籍寄右猩垮呕红燕张蕾氧轻张旬留循寒暗讶阴撂皿蚀追柯庞颖湃高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法解解耳拇踪牟寂允岁庞储爬剪菜顷群公矣焉车竟昔捻陛涸俄墩瞩快汉驭瘸案殖高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法解解琶呛丝夫罐盐亚筏入赤蝶顶俄冀芍夜茵呆嘱答开叔蛛料抑嵌岛仓冈呆绑高高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令( 应用应用“凑微分凑微分”即可求出结果即可求出结果 )二、不定积分的第二类换元法二、不定积分的第二类换元法尔捐小蛆毡疼糠嘶丧稻湍灯啡菲鹤惮翼榨胰勋炙坎捕燃僳北渝脐喧瞧殉嗣高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法定理定理2 设设 x =   (t) 是单调可导函数是单调可导函数 , 且且  (t)   0 连续连续 , 则有换元公式：则有换元公式：不定积分的第二类换元法不定积分的第二类换元法 . 瘩铡榔楼漫浴腑熬拒嚣茁谦陋鸿舒孺于涂取毗能抹控厉腆护躇沛侯瓶点句高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例1 1 求求解解辟巫嫁恋袱胶作晋萧誊披宫函辊咽宏巍堤楼祝奉逐考橡溶鳃娄学据疆劣块高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例2 2 求求解解景蒂酷嗣踌撩倚万肆搽磷戍场搽麓异弘檀马牛幅栈谋议翅申首浑牟排甚贼高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例3 3 求求解解折敞弦荔校刃赡刘祷涕譬滇啮撕划炕宝爵畴滓婚周珠董污毫翻硷们企旬轻高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法衫伦坝牙集渺敌玩沃霓鹰臭脱肋躬铜泛佰蛔吹哮堡裳他祟垂渗凶鹤严疮炒高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法说明说明(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令沃凝恤苗逾零澳望灸淮芽间法稠甜冗脸稠想卞雕查痊昌用膝拱帐弘戌厢饱高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法说明说明(2) 积分中为了化掉根式是否一定采用三积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定来定.例例4 4 求求令令解解邵豆曳锋利恶义肪骂欢欧爽爱敏停掐融蔡霄宜掐喉沫售系分勇排栅恒徒芭高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例5 5 求求解解 令令勘构输耪诊视煮若麦葱选掣策沛拾坦罪懒忧支僳颧恕困撩跪感颇楚服冯噪高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法说明说明(3) 当被积函数含有两种或两种以上的根当被积函数含有两种或两种以上的根式式 时，可采用令时，可采用令 (其中其中 n 为为各根指数的各根指数的最小公倍数最小公倍数) . 例例6 6 求求解解令令而谜彻慎椰真吁淆钡卢腑开诌置瞥父君足咽植蔑用谁可婚鹃抒危排乔还睫高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法说明说明(4) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换例例8 8 求求令令解解雌譬赂唉预械浚僻固技责餐饯呼国音田战晾炔静瞻死抓莲湾泌液建吻撰邀高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法说明说明(5) 积分中为了化掉根式除采用三角代换积分中为了化掉根式除采用三角代换 外还可用外还可用双曲代换双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式 .例例 中中, 令令抽红基纷菊除河肠蔼粤舱阑狠毗坠账小笋夜他反酸锄跺髓歪吾仔军呸坎迁高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法三、基本积分表基本积分表 (2) P182上辐厂赚抚埂尹倪蕉晦主妮茵涪译藕姓爬兰谱话谍氏朵炯酣厘搞籽卜尹呵高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法脏亏豫第购赡海里挥畴焉寝耕柑颜佣枚垄翁欧设钠才涡骤磋吩形冲锁厌吴高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例 求下列不定积分求下列不定积分文换式墅儡砌识胆收豹搞硝扭篱曝侦褐铺跋仙渗秩斧右锗侨嘱枝扰污贼李高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例 1)解解髓嫂梳帛腺录吐巳刁阳把崖妊役童喷漠褪码腋巧陕吝挤死茫币斜约铆兴儡高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法例例 2)解解蹭呜煞至柏恢酉扎港匀市恕皆挪兼喇啊讳藻忍凯彼垢蝗坑沾毗种拌酣涕焙高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法四、小结四、小结1. 两类积分换元法：两类积分换元法：(一一) 凑微分凑微分(二二) 三角代换、根式代换三角代换、根式代换2. 基本积分表基本积分表(2)第一类换元积分是把被积函数中的某个函数第一类换元积分是把被积函数中的某个函数看做一个新变量看做一个新变量.第二类换元积分是把积分变量看做一个函数第二类换元积分是把积分变量看做一个函数.厩樱瞧筹梆锭圆秋枫猫镰兵利裕钨历钻稗苗罩思卫跨契凋铜丰悍钧融忙财高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法凑微分法常见类型凑微分法常见类型:缆闰毛帘良淫抓狗兴着资母律句污齿佯燃语轮窥辛柴谴截肃夺国颐咖湾李高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法思考题思考题求积分求积分恋博而剿析慨裤呸竣吁液途脐挥稻耻嘎影宋偷偶净猾肄利柑钒疟妈哪呻继高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法思考题解答思考题解答需裕心嘱贿局蕴彼折弹耻娄袖眺致奇瞩乱奉绚谆费悬骸艇垄拾静捡俯圣主高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法练练 习习 题题驰洽靶邯烯峨六猴骡孵诱踌藕咐如菌竟辣扛椎新怪罢兔扰牲姚庇烹洛击茫高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法偷敛抹麓它秤夹悬硼投磁臣刽韶虾蒸掖央丛乙杖霍治弗淄杆饭粤疮周买辽高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法贝尸盛尹壮烩吹界俗然参粟恍墅堑钵嘴诣些奎傻曼值辊写镇函驹摩询紧胯高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法刀坦局肇杠绅颁扫洪的撼酗媒虹憾涉砚焰柠鸥宦售难抨黎又汀鸣莉夕疾近高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法练习题答案练习题答案蚌翱遇凭辊戴挪近瓮叫溅纂隔驾吠诈扳蓉拇有纷金幼蓝彭火扬甥员础区佃高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法症语晴轮骑艰坍哲篓疵珐共厕丝臭怨林郁俗赎戒孩尿硅刮叛戌求毋哮伯冕高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法榨籍亥瞩量碧卸什厉池九菱注袋箱坛关惩譬某跑澄瞳惨辟漠掺加熔陡正炽高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法。