医用高等数学：换元法与分部积分法.ppt

2024/7/30(4)在定积分在定积分 的定义中，总假设的定义中，总假设 ，为了，为了 今后的使用方便，对于今后的使用方便，对于 时作如下规定：时作如下规定：即互换定积分的上、下限，定积分要变号即互换定积分的上、下限，定积分要变号.2024/7/30 牛顿 – 莱布尼茨公式( 牛顿牛顿 - 莱布尼茨公式莱布尼茨公式) 记作定理定理3.6.函数 , 则2024/7/30定积分的换元法定积分的换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系之间的联系——微积分基本公式，利用这微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而而换元法和分部积分法换元法和分部积分法是求不定积分的两是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，的计算简化，下面我们就来建立定积分的下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。

换元积分公式和分部积分公式2024/7/30先来看一个例子先来看一个例子例例1换元求不定积分换元求不定积分令令则则2024/7/30先来看一个例子先来看一个例子例例1故故2024/7/30为去掉根号为去掉根号, 令令则则 当当 x 从从0连续地增加到连续地增加到4时，时，t 相应地从相应地从1连续连续地增加到地增加到3;于是于是尝试一下直接换元求定积分尝试一下直接换元求定积分:2024/7/30换元并换限换元并换限 2024/7/30将上例一般化就得到定积分的换元积分公式将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一样由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而代原积分变量，而对定积分则只需将其对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量定积分，而不必回代原积分变量2024/7/30一、换元公式一、换元公式2024/7/30应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意: :(1):(2):(3):2024/7/30计算计算o例例2令令解解12024/7/30计算计算解解2 由定积分的几何意义由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积等于圆周的第一象限部分的面积解解3 故故o例例22024/7/30解解 令令 例例3 3 计算计算2024/7/30如果用第一换元法如果用第一换元法(凑微分法凑微分法)求原函数，求原函数，一般不用设出新变量，因此原积分限不变一般不用设出新变量，因此原积分限不变.2024/7/30例４例４换元必须换限换元必须换限 不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限 凑微分凑微分凑微分凑微分 另解另解另解另解 原式原式原式原式 解解解解 原式原式原式原式 2024/7/30 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子的例子. 换元积分换元积分例例 证证 由于由于由由被积函数的变化和积分区间变化被积函数的变化和积分区间变化来确定变换来确定变换.通常通常作作变换变换,还可以证明一些定积分等式还可以证明一些定积分等式,2024/7/30利用这一结果计算利用这一结果计算:则则2024/7/30可得可得: 由定积分的几何意义由定积分的几何意义(面积的代数和面积的代数和)也可得也可得.奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有且有则则则则2024/7/30例例 2024/7/30定积分的换元积分法小结定积分的换元积分法小结定积分的换元积分法小结定积分的换元积分法小结 1 1、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；2 2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代， 但必须做到但必须做到但必须做到但必须做到换元同时换限换元同时换限。

若是凑微分，没有发生换元行为，那么就不用换限若是凑微分，没有发生换元行为，那么就不用换限若是凑微分，没有发生换元行为，那么就不用换限若是凑微分，没有发生换元行为，那么就不用换限2024/7/30几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式设设 f(x) 是以是以L为周期的连续函数：为周期的连续函数：三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式2024/7/30定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式二、定积分的二、定积分的分部积分分部积分法法设设有有连续的导数连续的导数,则则definite integral by parts定理定理2由不定积分的分部积分法由不定积分的分部积分法及及N--L公式公式.2024/7/30例1. 计算计算解解: 原式 =分部积分过程分部积分过程：： 已积出的部分要求值已积出的部分要求值 2024/7/30例2 求求解解: 令则原式分部积分过程：分部积分过程： 已积出的部分要求值已积出的部分要求值 2024/7/30例例3 定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 解解解解 原式原式原式原式 作业作业P90，（8）-（12）2024/7/30定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法三、小结三、小结定积分的换元公式定积分的换元公式奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式2024/7/30例例8 8 计算计算解解原式原式偶函数偶函数奇函数奇函数四分之一单位圆的面积四分之一单位圆的面积2024/7/30思考题思考题解解 令令2024/7/30 思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.正确解法是正确解法是2024/7/30练练 习习 题题2024/7/302024/7/302024/7/302024/7/30练习题答案练习题答案。