2022年高考数学考纲解读与热点难点突破专题18圆锥曲线的综合问题文.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑2022年高考数学考纲解读与热点难点突破专题18圆锥曲线的综合问题文 圆锥曲线的综合问题 【2022年高考考纲解读】 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，测验范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题. 2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类议论等多种思想方法，对计算才能也有较高要求，难度较大． 【重点、难点剖析】 一、 范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解． (2)设E与y轴正半轴的交点为B，过点B的直线l的斜率为k(k≠0)，l与E交于另一点P.若以点B为圆心，以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点，求k的取值范围． →→ 【解析】解法一 (1)设点M(x，y)，由2MQ＝AQ，得A(x,2y)， 由于点A在圆C：x＋y＝4上，那么x＋4y＝4， 即动点M的轨迹E的方程为＋y＝1. 4(2)由(1)知，E的方程为＋y＝1， 4 由于E与y轴正半轴的交点为B，所以B(0,1)， 所以过点B且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)． 2 2 2 2 x2 2 x2 2 y＝kx＋1，??2由?x2 ＋y＝1，??4 得(1＋4k)x＋8kx＝0， 22 设B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此x1＝0，x2＝－8|k|22 |BP|＝1＋k|x1－x2|＝1＋k. 2 1＋4k8k2， 1＋4k由于以点B为圆心，线段BP长为半径的圆与椭圆E的公共点有4个，由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P，T，得志|BP|＝|BT|，此时直线BP的斜率k＞0， 记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k， 8|k1|2 那么|BT|＝1＋k1， 2 1＋4k1 8|k1|8|k|k1＋k1k＋k22故1＋k1＝1＋k，所以222－2＝0， 1＋4k11＋4k1＋4k11＋4k 2 4 2 4 即(1＋4k)k1＋k1＝(1＋4k1)k＋k， 所以(k－k1)(1＋k＋k1－8kk1)＝0， 由于k1≠k，因此1＋k＋k1－8kk1＝0， 2 2 22 2 2 2 2 22 224224k211＋1 故k＝2＝＋8k1－18 2 9k21－ . 9 k21－ 1 ＞. 8 1222 由于k＞0，所以8k1－1＞0，所以k＝＋ 8又k＞0，所以k＞ 2. 4 2 2 22 又k1≠k，所以1＋k＋k－8kk≠0， 所以8k－2k－1≠0.又k＞0，解得k≠所以k∈? 4 2 2， 2 2??2?2?，?∪?，＋∞?. 2??2?4? 2??22?? 根据椭圆的对称性，k∈?－∞，－?∪?－，－?也得志题意． 2??24?? 2??22??22??2?? 综上所述，k的取值范围为?－∞，－?∪?－，－?∪?，?∪?，＋∞?. 2??24??42??2??解法二 (1)设点M(x，y)，A(x1，y1)，那么Q(x1,0)． ?→→x1－x＝0，? ?由于2MQ＝AQ，所以2(x1－x，－y)＝(0，－y1)，所以 ?－2y＝－y1，? ??x1＝x， 解得? ?y1＝2y.? 由于点A在圆C：x＋y＝4上，所以x＋4y＝4， 所以动点M的轨迹E的方程为＋y＝1. 4 (2)由(1)知，E的方程为＋y＝1，所以B的坐标为(0,1)，易得直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)． 4 2222 x2 2 2 x2 y＝kx＋1，??2由?x2 ＋y＝1，??4 得(1＋4k)x＋8kx＝0， 22 8k设B(x1，y1)，P(x2，y2)因此x1＝0，x2＝－2， 1＋4k8|k|22 |BP|＝1＋k|x1－x2|＝1＋k. 2 1＋4k64k1＋k那么点P的轨迹方程为x＋(y－1)＝2 1＋4k2 2 2 22 ， 64k1＋k??x2＋y－2＝2 1＋4k由? ??x2＋4y2＝4， 222 ， 64k1＋k得3y＋2y－5＋21＋4k2 222＝0(－1＜y＜1)． (*) 依题意，得(*)式在y∈(－1,1)上有两个不同的实数解． 2 64k1＋k设f(x)＝3x＋2x－5＋21＋4k222(－1＜x＜1)， 1 易得函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－， 3 要使函数f(x)的图象在(－1,1)内与x轴有两个不同的交点， 64k1＋k??Δ＝4－4×3×??－5＋1＋4k2 ?那么? ??f－1＞0，4k－4k＋1＞0，??22整理得?64k1＋k－4＋22＞0，?1＋4k? 2 4 2 2 22 ?＞0， ?? ??4k－4k＋1＞0，即?2 ?8k－1＞0，? 42 1 k≠，??2所以?1 k＞??8，2 得k∈?－∞，－ ? ?2??22??22??∪?－，－?∪?，?∪ 2??24??42? ?2? ?，＋∞?， ?2? 所以k的取值范围为?－∞，－2??2?2??，?∪?，＋∞?. 2??2?4?【方法技巧】 1．解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件举行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应留神挖掘题目中的隐含条件，探索量与量之间的转化． 2．圆锥曲线中最值的求解策略 (1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. ? ?2??22??∪?－，－?∪ 2??24? x2y22 【变式探究】(2022·山东)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2. ab2 (1)求椭圆E的方程； (2)如图，动直线l：y＝k1x－ 32 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝.M24 是线段OC延长线上一点，且|MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S， T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率． 解 (1)由题意知，e＝＝所以a＝2，b＝1， 所以椭圆E的方程为＋y＝1. 2 ca2 ，2c＝2，所以c＝1， 2 x2 2 由题意可知，圆M的半径r为 2221＋k1 1＋8k1r＝|AB|＝·. 2 332k1＋1由题设知k1k2＝ 22 ，所以k2＝， 44k1 222 因此直线OC的方程为y＝x. 4k1 ??2＋y＝1， 联立方程? 2y＝??4kx， 21 2 2 x2 8k112 得x＝2，y＝2， 1＋4k11＋4k1因此|OC|＝x＋y＝ 2 2 1＋8k1 2. 1＋4k1 2∠SOTr1 由题意可知，sin＝＝. 2r＋|OC||OC| 1＋ r 而 |OC| ＝ 22r221＋k1 1＋8k1 ·231＋2k1 2 1＋8k1 2 1＋4k1 2321＋2k1＝·， 22 41＋4k1 1＋k1 12 令t＝1＋2k1，那么t>1，∈(0,1)， t|OC|3t3因此＝·＝·2 r22t＋t－12 11 2＋－ 3＝·12 tt2≥1， 119??2－?－?＋?t2?4 1 112 当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±， t22∠SOT1∠SOTπ 所以sin ≤，因此≤， 2226π 所以∠SOT的最大值为. 3 π2 综上所述，∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±. 32 【变式探究】已知N为圆C1：(x＋2)＋y＝24上一动点，圆心C1关于y轴的对称点为C2，点M，P分别是线段 2 2 C1N，C2N上的点，且MP·C2N＝0，C2N＝2C2P. (1)求点M的轨迹方程； (2)直线l：y＝kx＋m与点M的轨迹Γ只有一个公共点P，且点P在其次象限，过坐标原点O且与l垂直的直线l′与圆x＋y＝8相交于A，B两点，求△PAB面积的取值范围． 解 (1)连接MC2， 2 2 →→→→ →→ 由于C2N＝2C2P， 所以P为C2N的中点， →→ 由于MP·C2N＝0， →→所以MP⊥C2N， 所以点M在C2N的垂直平分线上， 所以|MN|＝|MC2|， — 14 —。