节变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍.ppt

10/4/2019,微积分讲义,设计制作,王新心,10/4/2019,§4.8 变化率及相对变化率,（一）函数变化率——边际函数,,（二）成本,在经济中的应用,（三）收益,（四）函数的相对变化率——函数的弹性,（五）需求函数与供给函数,（六）需求弹性与供给弹性,（七）用需求弹性分析总收益的变化,10/4/2019,（一）函数变化率——边际函数,第四章 中值定理与导数的应用,设函数 可导，,导函数 也称为,边际函数称为 在 内的平均变化率，,它表,示 在 内的平均变化速度10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,际函数值，,相应改变的真值应为 在点 处，,从 改变一个单位，,在 处的导数 称为 在点,处的变化率，,也称为 在点 处的边,它表示 在点 处的变化速度单位很小时，,但当 改变的,或 的“一个单位”与 值相对来说,很小时，,则有,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,的改变时，,当 产生一个单位,这说明 在 处，,在应用问题中解释边际函数值的具体意义,近似改变 个单位时一般略去“近似”二字10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,例1 函数,在点 处,边际函数值为,它表示当 时，,改变一个单位，,（近似）改变 个单位。

例2 设某产品成本函数 （ 为,总成本， 为产量），,其变化率 称为,边际成本称为当产量为 时的边际成,西方经济学家的解释是：,生产 前最后一个单位产品所增添的成本当产量达到 时，,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,（二）成本,某产品的总成本是指生产一定数量的产品,所需的全部经济资源投入（劳动力、原料、设,备等）的价格或费用总额它由固定资本与可,变资本组成平均成本是生产一定量的产品，,平均每单,位产品的成本边际成本是总成本的变化率10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,在生产技术水平和生产要素的价格固定不,变的条件下，,产品的总成本、平均成本、边际,成本都是产量的函数设 为总成本，,为固定成本，,为可变,成本，,为平均成本，,为边际成本，,为产量,则有,总成本函数,平均成本函数,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,例3 已知某商品的成本函数为,边际成本函数,本解 由,求：当 时的总成本、平均成本及边际成,有,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,平均成本最小？,平均成本,解 由,总成本,当 时，,边际成本,例4 例3中的商品当产量 为多少时，,令,得,又,所以 时，平均成本最小。

10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,（三）收益,收益是生产者出售一定量产品时所得到的,全部收入平均收益是生产者出售一定量的产品，,平,均每出售单位产品所得到的收入，,边际收益是总收益的变化率即单位产品,的售价总收益、平均收益、边际收益均为产量的,函数10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,设 为商品价格，,为商品数量，,益，,为平均收益，,为边际收益，,为总收,则有,需求（价格）函数,总收益函数,平均收益函数,边际收益函数,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,需求与收益的关系,总收益与平均收益的关系,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,总收益与边际收益的关系,（参见第六章）,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,例5 设某产品的价格与销售量的关系为,收益求销售量为 时的总收益、平均收益的与边际,解,10/4/2019,,第四章 中值定理与导数的应用,下面讨论最大利润原则：,取得最大值的必有条件为,即,取得最大利润的必有条件：,设总利润为,10/4/2019,,第四章 中值定理与导数的应用,取得最大值的充分条件为,即,取得最大利润的充分条件：,边际收益的变化率 边际成本的变化率,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,例6 已知某产品的需求函数为,成本函数为,求产量为多少时总利润,解 由,并验证是否符合最大利润原则。

最大？,有,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,令 ，,得,所以当 时，,总利润 最大此时,有,有,所以符合最大利润原则10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,例7 某工厂生产某种产品，,每生产一单位产品，,元，,问每年生产多少产品时，,元，,总利润最大？,固定成本,成本增加,已知总收益 是年产量 的函数,此时总,利润是多少？,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,得总利润函数为,总成本函数为,解 由题意知，,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,令 ，,得,所以 时 最大此时,即当年产量为 个单位时，,总利润最大，,此时总利润为 元10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,（四）函数的相对变化率——函数的弹性,前面谈到的函数的改变量与函数的变化率,是绝对改变量与绝对变化率，,到，,仅仅研究函数的绝对改变量和变化率是不,够的商品乙每单位价格1000元，,例如，,商品甲每单位价格10元，,品的绝对改变量都是1元，,从实践中我们体会,涨价1元；,也涨价1元两种商,但各与其原价相比，,两者涨价的百分比却有很大不同，,商品甲涨了,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,10%，,因此我们有必要,研究函数的相对改变量和变化率。

此时自变量与因变量的绝对改,例如，,而商品乙只涨了0.1%100改变到144，,而,当 由10改变到12时，,由,变量分别为,这表明当 改变到 时，,的改变量，,产生了,产生了 的改变10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,这就是相对改变量函数 的平均相对变化率这表明在 内，,从 ，,改变 时，,平均改变 ，,称它为从 到 ，,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,函数的相对改变量,【定义4.5】设函数 在点,称为,与自变量的相对改变量 之比 ，,处可导，,函数 从 到 两点间的相对,变化率，,或称为两点间的弹性当 时，,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,即,的极限称为 在 处的相对变化,率（或弹性），,记作,或,当 为定值时，,为定值10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,则,对一般的 ，,若 可导，,称为 的弹性函数的变化反应的强烈程度或灵敏度是 的函数，,函数 在点 的弹性 反映了随,着 的变化 变化的幅度的大小，,即 对,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,的改变时，,在应用问题中解释弹性的具体意义时，,“相对性”是相对初始值而言的。

表示在点 处，,说明 两点间的弹性是有方向的，,因为,当 产生1%,近似地改变 经常略去“近似”二字10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,解,例8 求函数 在 处的弹性,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,解,例9 求函数 的弹性函数及函数,在点 的弹性,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,解,函数,例10 求幂函数 （ 为常数）的弹性,说明 幂函数的弹性函数为常数，,即在任,意点处弹性不变，,称其为不变弹性函数10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,（五）需求函数与供给函数,（1）需求函数,“需求”是指在一定价格条件下，,消费者愿,意购买并且有支付能力购买的商品量现在不考虑价格以外的因素，,只研究需求,与价格的关系10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,设 表示商品价格，,则有,称为需求函数 为自变量， 为因变量）,表示需求量，,一般而言，,商品价格低，需求大；,格高，需求小商品价,因此，,一般需求函数,是单调减少函数其反函数 也称为需,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,经济学中用 表示需求曲线，,如图所示,常用下列一些初等函数来拟合需求函数，,,,,建立经验曲线：,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,线性函数,反比函数,幂函数,指数函数,称为边际需求。

需求函数 的边际函数,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,例如 若已知需求函数为,则边际函数,当 时，,称为 时的边际需求,它表示：,当 时，,价格上涨（下跌）1个单位,需求将减少（增加）4个单位10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,（2）供给函数,“供给”是指在一定价格条件下，,生产者愿意,出售并且有可供出售的商品量现在不考虑价格以外的因素，,只研究供给,与价格的关系10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,设 表示商品价格，,则有,称为供给函数 为自变量， 为因变量）,表示供给量，,一般而言，,商品价格低，供给少；,格高，供给多商品价,因此，,一般供给函数,是单调增加函数其反函数 也称为供,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,经济学中用 表示供给曲线，,如图所示,,,,需求曲线,,供给曲线,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,线性函数,幂函数,指数函数,常用下列一些初等函数来拟合供给函数，,建立经验曲线：,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,（3）均衡价格,均衡价格是市场上需求量与供给量相等时,的价格，,如图所示,,,,需求曲线,,供给曲线,是在需求曲线 与供给,横坐标 。

曲线 相交的点 处的,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,当 时，,消费者希望购买的商品量为,，,市场上出现“供不应求”，,,,,生产者愿意出售的商品量为 ，,商品短缺，,会形成抢,购、黑市等情况这种情况不会持久，,必然会导致价格上涨，,增大10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,当 时，,消费者希望购买的商品量为,，,市场上出现“供过于求”，,,,,生产者愿意出售的商品量为 ，,商品滞销这种情况也不会持久，,必然会导致价格下跌，,减小市场上的商品价格将 围绕均衡价格波动,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,例11 设某商品的需求函数和供给函数,解,分别为,求均衡价格,得均衡价格,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,（六）需求弹性与供给弹性,函数，,为正数，,只讨论需求与供给对价格的弹性,性，,为了用正数表示需求弹,采用需求函数相对变化率的相反数（绝对,需求弹性是刻画当商品价格变动时需求变,动的强弱由于需求函数 为单调减少,与 异号，,于是,及 皆为负数值）来定义需求弹性10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,【定义4.6】某商品需求函数 在,记为,处可导，,两点间的需求弹性，,称为该商品在 与,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,记作,称为该商品在 处的需求弹性，,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,例12 已知某商品的需求函数为,求（1）从 到 各点间的,需求弹性；,（2） 时的需求弹性,解（1）列表如下,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,举两个例子说明其经济意义,时，,在区间 内，,说明当商品价格 从 降至,从 每降低1%，,需求从,平均增加1.5%。

时，,在区间 内，,说明当商品价格 从 涨至,从 每上涨1%，,需求从,平均减少0.6%10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,（2）,减少1%；,价格上涨1%，,这说明在 时，,需求则,价格下跌1%，,需求则增加1%此需求函数为幂函数，,是不变弹性函数，,即 为任何值时均有 10/4/2019,第四章 中值定理与导数的应用,例13 设某商品的需求函数为 ，,求（1）需求弹性函数；,（。