第24讲 最短路线问题.doc

小升初面试第二阶段数学课程---最短路线问题第一部分 思维提升（45 分钟）在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数方法：1、两点之间，线段最短；连接两点之间的线段，为两点之间的最短路线；A、B 两点在直线 CD 的同侧，做 A 点关于直线 CD 的对称点 A’，连接 A’与 B 的线段与直线 CD 交于 E 点，则 AE+BE 最短；2、标数法：适用于求从点 A 到点 B 的最短路线的条数；从起点到达任何一点的最短路线数，都等于从起点出发到达与这一点相邻的点的最短路线数之和本质上是利用加法原理进行分类计数例 1、直线 是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄现在要在公路上建一个AB汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线长度之和最短，问汽车站建在哪儿最好？例 2、 下图 4—1 中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从 A 走到B 处共有多少条最短路线?J　　分析 为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母.如图 4—2.在这里，首先我们应该明确从 A 到 B 的最短路线到底有多长?从 A 点走到 B 点，不论怎样走，最短也要走长方形 AHBD 的一个长与一个宽，即 AD+DB.因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于 AD;在竖直方向上，所有线段的长度和应等于 DB.这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。

有些同学很快找出了从 A 到 B 的所有最短路线，即：A→C→D→G→B A→C→F→G→BA→C→F→I→B A→E→F→G→BA→E→F→I→B A→E→H→I→B通过验证，我们确信这六条路线都是从 A 到 B 的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的现在观察这种题是否有规律可循1.看 C 点：由 A、由 F 和由 D 都可以到达 C，而由 F→C 是由下向上走，由 D→C 是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线.因此，从 A 到 C 只有一条路线同样道理：从 A 到 D、从 A 到 E、从 A 到 H 也都只有一条路线我们把数字“1”分别标在 C、D、E、H 这四个点上，如图 4—22.看 F 点：从上向下走是 C→F，从左向右走是 E→F，那么从 A 点出发到 F，可以是 A→C→F，也可以是 A→E→F，共有两种走法.我们在图 4—2 中的 F 点标上数字“2”.2=1+1.第一个“1”是从 A→C 的一种走法;第二个“1”是从 A→E 的一种走法3.看 G 点：从上向下走是 D→G，从左向右走是 F→G，那么从 A→G，我们在 G 点标上数字“3”。

3=2+1，“2”是从 A→F 的两种走法，“1”是从 A→D 的一种走法4.看 I 点：从上向下走是 F→I，从左向右走是 H→I，那么从出发点在 I 点标上“3”.3=2+1.“2”是从 A→F 的两种走法;“1”是从 A→H 的一种走法J5.看 B 点：从上向下走是 G→B，从左向右走是 I→B，那么从出发点 A→B 可以这样走：共有六种走法.6=3+3，第一个“3”是从 A→G 共有三种走法，第二个“3”是从 A→I 共有三种走法.在 B 点标上“6”我们观察图 4—2 发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点 A 到这点的所有最短路线的条数.这样，我们可以通过计算来确定从 A→B 的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也“不漏”解：由上面的分析可以得到如下的规律：每个格右上角与左下角所标的数字和即为这格右下角应标的数字.我们称这种方法为对角线法，也叫标号法根据这种“对角线法”，B 点标 6，那么从 A 到 B 就有 6 条不同的最短路线(见图 4—3)答：从 A 到 B 共有 6 条不同的最短路线例 3、图 4—4 是一个街道的平面图，纵横各有 5 条路， 某人从 A 到 B 处(只能从北向南及从西向东)，共有多少种不同的走法?分析:因为 B 点在 A 点的东南方向，题目要求我们只能从北向南及从西向东，也就是要求我们走最短路线。

解：如图 4—5 所示答：从 A 到 B 共有 70 种不同的走法J 例 4、如图 4—6，从甲地到乙地最近的道路有几条?分析 要求从甲地到乙地最近的道路有几条，也就是求从甲地到乙地的最短路线有几条.把各交叉点标上字母，如图 4—7.这道题的图形与例 1、例 2 的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的①由甲→A 有 1 种走法，由甲→F 有 1 种走法，那么就可以确定从甲→G 共有1+1=2(种)走法②由甲→B 有 1 种走法，由甲→D 有 1 种走法，那么可以确定由甲→E 共有1+1=2(种)走法.③由甲→C 有 1 种走法，由甲→H 有 2 种走法，那么可以确定由甲→J 共有1+2=3(种)走法④由甲→G 有 2 种走法，由甲→M 有 1 种走法，那么可以确定从甲→N 共有2+1=3(种)走法⑤从甲→K 有 2 种走法，从甲→E 有 2 种走法，那么从甲→L 共有 2+2=4(种)走法⑥从甲→N 有 3 种走法，从甲→L 有 4 种走法，那么可以确定从甲→P 共有3+4=7(种)走法⑦从甲→J 有 3 种走法，从甲→P 有 7 种走法，那么从甲→乙共有 3+7=10(种)走法。

解：在图 4—7 中各交叉点标上数，乙处标上 10，则从甲到乙共有 10 条最近的道路J 巩固练习：1、直线 是一条公路，公路同侧有甲、乙两个村庄现在要在公路上建一个汽AB车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪儿最好呢？2、小明很喜欢上活动课，因为活动课上他们经常做不同的游戏，今天他们又做了一个新游戏，如图， 、 分别是两条拉好的绳子，同学们需要从 处出发，分别MNOPK触摸两条绳子后再回到 ，看谁最快，同学们，快设计一条最短的路线吧 K3、李大伯的果林内有 棵果树（如图）李大伯每天都要给果树浇一次水为了8帮李大伯节省时间，同学们，你能帮李大伯设计一条浇水的最短路线吗？ 3乙3乙4乙4乙J 4、阿呆和阿瓜到少年宫参加数学培训如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？5、从甲到乙的最短路线有几条？乙乙6、阿花和阿红到少年宫上课他们从学校出发到少年宫最多有多少种不同的行走路线？7、从 A 点到 B 点有多少条最短路线呢？8、学校组织学生帮助农民伯伯锄草，从学校乘车出发，去往的李家村（如图）爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？J 9、在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从 A 到 B 的最短路线有多少种？第二部分 学科知识（15 分钟）圆锥的体积1、一个圆锥的底面积为 21 平方厘米，高是 6 厘米，圆锥的体积是多少立方厘米？2、一个圆锥形的小麦堆的底面半径为 4 分米，高为 4.5 米。

则 这堆小麦的体积是多少立方米？3、一个圆锥形沙堆，底面周长是 94.2 米，高是 9 米，这堆沙子有多少立方米？J 4、将一个长 10 厘米，宽 8 厘米，高 6 厘米的长方体木料削成一个最大的圆锥体，削去部分的木料体积是多少立方厘米？5、一个底面直径是 18 厘米的圆锥形木块，沿着它的直径和高将其切割成形状大小相同的两个木块后，表面积比原来增加了 54 平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？6、将一个体积为 628 立方厘米的正方体铁块和一个底面半径为 10 厘米，高为 6 厘米的圆柱形铁块熔铸成一个底面半径为 10 厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？7、一个底面直径是 20 厘米的圆柱形玻璃杯中装有一部分水，水深 10 厘米，将一个底面直径为 4 厘米，高 6 厘米的圆锥放入水中，杯中的水面要上升多少厘米？8、下面的圆锥容器装有 3 升水，水面的高度正好是圆锥高度的一半，水面的半径正好是圆锥半径的一半，则这个容器还能装多少水？J 9、圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长，已知正方体的体积是 45 厘米3。

求圆锥的体积是多少厘米 3？10、一个底面直径是 20 厘米的圆柱形玻璃杯中装着水，水下放着一个底面直径为6 厘米，高 20 厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水面会下降多少厘米？J。