选修21苏教版：第3章　空间向量与立体几何 3.1.33.1.4 Word版含答案.doc

2019-2020学年苏教版数学精品资料3.1.3　空间向量基本定理3.1.4　空间向量的坐标表示学习目标　1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一　空间向量基本定理思考　只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案　不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直．梳理　空间向量基本定理(1)定理内容：①条件：三个向量e1，e2，e3不共面．②结论：对空间中任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.(2)基底：定义在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示(3)推论：①条件：O，A，B，C是不共面的四点．②结论：对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z.知识点二　空间向量的坐标表示思考　若向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标一定为(x1，y1，z1)吗？答案　不一定．由向量的坐标表示知，若向量的起点A与原点重合，则B点的坐标为(x1，y1，z1)，若向量的起点A不与原点重合，则B点的坐标就不为(x1，y1，z1)．梳理　(1)空间向量的坐标表示：①向量a的坐标：在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i，j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z)．②向量的坐标：在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一点A(x，y，z)，向量是确定的，即＝(x，y，z)．(2)空间中有向线段的坐标表示：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，①坐标表示：＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则：运算表示方法加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)(4)空间向量平行的坐标表示：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且a≠0，则a∥b⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．1．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间的一个基底．(√)2．若向量的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)．(×)3．在空间直角坐标系O－xyz中向量的坐标就是B点坐标减去A点坐标．(√)类型一　空间向量基本定理及应用例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．解　假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立．所以＝e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋e3.得解得故，，共面，不可以构成空间的一个基底．反思与感悟　基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1　以下四个命题中正确的是________．(填序号)①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案　②③解析　因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．例2　如图，在空间四边形OABC中，点D是边BC的中点，点G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量和.解　因为＝＋＝＋＝＋(－)，又点D为BC的中点，所以＝(＋)，所以＝＋(－)＝＋×(＋)－＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．而＝－，又因为＝＝·(＋)＝(b＋c)，所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.所以＝(a＋b＋c)，＝－a.引申探究若将本例中的“G是△ABC的重心”改为“G是AD的中点”，其他条件不变，应如何表示，？解　＝(＋)＝＋×(＋)＝a＋b＋c.＝＝×(＋)＝(b＋c)．所以＝－＝(b＋c)－＝－a＋b＋c.反思与感悟　用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键．跟踪训练2　如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量．(1)；(2)；(3)；(4).解　连结AC，AD′.(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．(2)＝(＋)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c.(4)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c.类型二　空间向量的坐标表示例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．(1)，，；(2)，，.解　(1)＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝，＝＋＋＝＋＋＝.(2)＝－＝－＝＋＝，＝－＝－＝－－＝，＝－＝＋－＝－＝.引申探究本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标．解　＝＋＝－＋＝，＝＋＝－＝－＋＝，＝＋＝.反思与感悟　用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3　如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.求向量的坐标．解　∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴，，是两两垂直的单位向量．设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A－xyz.∵＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋(＋＋)＝＋＝e2＋e3，∴＝.类型三　空间向量的坐标运算及应用例4　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．(1)求＋，－；(2)是否存在实数x，y，使得＝x＋y成立，若存在，求x，y的值；若不存在，请说明理由．解　＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)＋＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)．－＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)．(2)假设存在x，y∈R满足条件，由已知可得＝(－2，－1,2)．由题意得(－1,0,2)＝x(1,1,0)＋y(－2，－1,2)，所以(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)，所以所以所以存在实数x＝1，y＝1使得结论成立．反思与感悟　1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标．2．进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质．跟踪训练4　已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．证明　∵＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴＝＝，∴与共线，即AB∥CD，又∵＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴≠≠，∴与不平行．∴四边形ABCD为梯形．1．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是________．答案　(12,14,10)解析　设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．2．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝________.答案　(2，－4,2)解析　依题意，得b＝a－(－1,2，－1)＝a＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．3．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b＝________.答案　(8,0,4)解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________．答案　(0,2,1)　(2,2,1)解析　根据已建立的空间直角坐标系知，A(0,0,0)，C1(2，2,1)，D1(0,2,1)，则的坐标为(0,2,1)，的坐标为(2,2,1)．5．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)答案　a＋b＋c解析　＝＋＝＋×(＋)＝＋×(－＋－)＝＋＋＝a＋b＋c.1．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．一、填空题1．有下列三个命题：①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．其中为真命题的是________．(填序号)答案　①②解析　①正。