专题2.11运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】-2024-2025学年八年级[含答案].pdf

试卷第 1 页，共 12 页专题专题2.11 运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】【浙教版】【浙教版】【题型 1 正方体中的最短路径】【题型 2 长方体中的最短路径】【题型 3 圆柱中的最短路径】【题型 4 圆锥中的最短路径】【题型 5 台阶中的最短路径】【题型 6 由垂线段最短求最短路径】【题型 7 由将军饮马求最短路径】【题型 8 不规则图形中求最短路径】【题型 1 正方体中的最短路径】【例 1】（23-24 八年级江西抚州阶段练习）1如图，在棱长为3cm的正方体上有一些线段，把所有的面都分成 9 个小正方形，每个小正方形的边长都为1cm若一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面A点沿表面爬行至右侧B点最少要花多长时间？【变式 1-1】（23-24 八年级四川乐山期末）2如图，正方体盒子的棱长为 2，M 为BC的中点，则一只蚂蚁从 M 点沿盒子的表面爬行到 A 点的最短距离为（）试卷第 2 页，共 12 页A12B13C14D17【变式 1-2】（23-24 八年级山东青岛期中）3如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（）dmA15B9C3 13D5 10【变式 1-3】（23-24 八年级河南郑州期中）4棱长分别为5cm 3cm，两个正方体如图放置，点 P 在11E F上，且11113E PE F=，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 P，需要爬行的最短距离是 【题型 2 长方体中的最短路径】【例 2】（23-24 八年级黑龙江佳木斯期末）5如图是一块长、宽、高分别是6cm 4cm、和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）试卷第 3 页，共 12 页 A32 13 cm+B97cmC85cmD109cm【变式 2-1】（23-24 八年级全国竞赛）6如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为 3 米、1 米和 6 米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕到上底面的顶点B，如果缠绕的圈数是n，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米【变式 2-2】（23-24 八年级安徽阜阳期末）7如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点 A 爬过木块到达蜂蜜 C 处需爬行的最短路程是 cm【变式 2-3】（23-24 八年级陕西西安期中）8如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为40cm 30cm 20cm、，点E到点D的距离为10cm现有一只蚂蚁从点B出发，沿着长方体的表面爬行到点E处，则蚂蚁需要爬行的最短距离是（）试卷第 4 页，共 12 页 A10 29cmB10 37cmC50cmD45cm【题型 3 圆柱中的最短路径】【例 3】（23-24 八年级广西北海期中）9如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若6BC=，点 P 移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（）A4B4pC8D10【变式 3-1】（23-24 八年级四川成都阶段练习）10如图，已知圆柱底面的周长为12dm，圆柱高为9dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 dm【变式 3-2】（23-24 八年级陕西西安期末）11如图，圆柱底面圆的周长为 6cm，CD、AB 分别是上、下底面的直径，高3cmBC=，用一条无弹性的丝带从 A 至 C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm试卷第 5 页，共 12 页【变式 3-3】（23-24 八年级广西河池阶段练习）12如图所示，已知圆柱的底面周长为 36，高5AB=，P点位于圆周顶面13处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为 【题型 4 圆锥中的最短路径】【例 4】（23-24 八年级内蒙古呼伦贝尔期末）13已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C 为母线PB的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从 A 爬到 C 的最短距离是 【变式 4-1】（23-24 八年级河北保定期末）14如图，小明用半径为 20，圆心角为q的扇形，围成了一个底面半径 r 为 5 的圆锥.（1）扇形的圆心角q为 ；（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点 A 出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 A 的最短路程是 .试卷第 6 页，共 12 页【变式 4-2】（23-24内蒙古赤峰中考真题）15某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽如图，这个圆锥的底面圆周长为20cm，母线AB长为 30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点 A 处开始，绕侧面一周又回到点 A 的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（）v A30cmB30 3cmC60cmD20cm【变式 4-3】（23-24 八年级安徽单元测试）16如图，圆锥的轴截面是边长为 6cm 的正三角形 ABC，P 是母线 AC 的中点，则在圆锥的侧面上从 B 点到 P 点的最短路线的长为（）A5B25C35D45【题型 5 台阶中的最短路径】【例 5】（23-24 八年级重庆九龙坡期中）17如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cmA和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（）试卷第 7 页，共 12 页A60cmB80cmC100cmD140cm【变式 5-1】（23-24 八年级河北廊坊阶段练习）18如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每级的长、宽、高分别为 24dm，3dm，3dm，点 M 和点 N 是这个台阶上两个相对的端点，M 点有一只蚂蚁，想到 N 点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 N 的最短路程（）A10dmB20dmC30dmD36dm【变式 5-2】（23-24 八年级山东烟台期中）19如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为 4m，34m和14m，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（）A3.5mB4.5mC5mD5.5m【变式 5-3】（23-24 八年级山东济南期末）20如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是 【题型 6 由垂线段最短求最短路径】【例 6】（12-13 八年级浙江杭州阶段练习）21 如图，ABCV中，90ACB=，4ACBC=，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD试卷第 8 页，共 12 页上找一点P，连接AP、EP，当APEP+最小时，这个最小值是 【变式 6-1】（23-24 八年级广西梧州期中）22如下图，某国道通过 A、B 两个村庄，而 C 村庄离国道较远，为了相应政府“村村通公路”的号召，C 村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道，已知 C 村到 A、B 两村的距离分别为6km、8km，A，B 两村的距离为10km，那么这条水泥路的最短距离为多少？【变式 6-2】（23-24四川宜宾模拟预测）23如图 A，B，C 为三个村庄，A，B 两村沿河而建且相距 17 千米，A，C 相距5 2千米，B，C 相距 13 千米，C 村需从河边修建一条引水渠到村庄，每千米造价 1.5 万元，则费用最低为（）万元A6B1522C4.5D7.5【变式 6-3】（23-24 八年级江苏南京阶段练习）24如图，在RtABC中，90ACB=，3AC=，4BC=，5AB=，AD平分CAB交BC于 D 点，E，F 分别是AD，AC上的动点，则CEEF+的最小值为 【题型 7 由将军饮马求最短路径】试卷第 9 页，共 12 页【例 7】（23-24 八年级福建宁德阶段练习）25如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是 km【变式 7-1】（23-24 八年级云南昭通期中）26如图，河CD的同侧有A、B两个村，且2 13kmAB=，A、B两村到河的距离分别为2kmAC=，6kmBD=现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需 2000 元请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w（元）【变式 7-2】（15-16 八年级江苏无锡阶段练习）27背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在 1994 年构造发现了一个新的证法小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图 1 放置，其三边长分别为 a、b、c显然，90DABB=，ACDE 请用 a、b、c 分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、EBCV的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：试卷第 10 页，共 12 页ABCDS=梯形_，EBCS=_，AECDS=四边形_，则它们满足的关系式为_，经化简，可得到勾股定理222abc+=知识运用：（1）如图 2，铁路上 A、B 两点（看作直线上的两点）相距 40 千米，C、D 为两个村庄（看作两个点），ADAB，BCAB，垂足分别为 A、B，25AD=千米，16BC=千米，则两个村庄的距离为_千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若40AB=千米，24AD=千米，16BC=千米，要在AB上建造一个供应站 P，使得PCPD=，求出AP的距离知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式2291681xx+-+的最小值016x，图 1 中的路径最短，这只蚂蚁至少要爬行的时间为 522.5 s=【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎么爬行最近”这类问题的关键答案第 2 页，共 23 页2B【分析】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行路程最短，2BC=Q，M为BC的中点，3,2M DAD=，223213AM=+=故选：B3C【分析】此题考查了勾股定理的应用，把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和D点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于3个棱长，利用勾股定理可求得，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”解题的关键【详解】如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AD即为最短路线，展开后由勾股定理得：222ADAMDM=+，22296117AD=+=，即有：3 13 cmAD=，故选：C44 5cm【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断；【详解】解：如图，有两种展开方法：答案第 3 页，共 23 页方法一22(53)(3 1)4 5cmPA=+=，方法二22(53 1)33 10cmPA=+=故需要爬行的最短距离是4 5cm故答案为：4 5cm【点睛】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型5C【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线【详解】解：AB就是蚂蚁爬的最短路线 但有三种情况：当：3AD=，4610DB=+=22310109cmAB=+=当4=AD，639DB=+=97cmAB=当6AD=，347DB=+。