热传导方程的导出ppt课件.ppt

电子科技大学电子科技大学1/12热传导方程的导出 热传导问题三类边境条件热传导问题三类边境条件 三维热传导方程推导三维热传导方程推导 几个记号几个记号电子科技大学电子科技大学2/12记记与与Laplace算子相关的另一算子算子相关的另一算子(梯度算子梯度算子(grad))或或(Laplace算子算子)那么那么有有显然显然梯度算子梯度算子电子科技大学电子科技大学3/12其中其中, k 是是导热系数系数, u(x, y, z) 是是导热体中的温度体中的温度,付里叶热传导定律付里叶热传导定律: : 在在dt时段内时段内,经过面积元经过面积元dS流入体流入体积元的热量积元的热量 dQ 与沿面积元外法线方与沿面积元外法线方向的温度变化率向的温度变化率 成正比成正比, 也与也与 dS 和和dt成正比成正比经过曲面曲面进入入导热体的体的总热量量:三维热传导方程推导三维热传导方程推导电子科技大学电子科技大学4/12经过曲面进入导热体的总热量经过曲面进入导热体的总热量:温度升高所需温度升高所需热量量:Q1 = Q2电子科技大学电子科技大学5/12三三维热传导方程方程: ut = a2[uxx + uyy + uzz ]Q1 = Q2记 a2 = k/(c) 电子科技大学电子科技大学6/12初始条件初始条件: u(x, y, z, 0)=  (x, y, z)ut = a2[uxx + uyy + uzz ]=ΔuII. 第二类边境条件第二类边境条件:III. 第三类边境条件第三类边境条件:I. 第一类边境条件第一类边境条件:(知知边境温度境温度)(边境上有境上有热流流进入入)(边境上有境上有热交交换)热传导问题三类边境条件热传导问题三类边境条件电子科技大学电子科技大学7/12一一维热传导方程方程: ut = a2uxx热传导方程的初方程的初边值问题(第一第一类边境条件境条件)例如例如电子科技大学电子科技大学8/12L长的细杆边境上有热流进、出长的细杆边境上有热流进、出u(x, t )LO1. 在在 x = L 处有有热流流 q 流出流出 ux | x=L = – q / k2. 在在 x = L 处有有热流流 q 流入流入 ux | x=L = q / k3. 在在 x = 0 处有有热流流 q 流出流出 ux | x=L = q / k4. 在在 x = 0 处有有热流流 q 流入流入 ux | x=L = – q / k 这里这里 为沿热流方向的方导游数为沿热流方向的方导游数边境上有境上有热交交换电子科技大学电子科技大学9/12拉普拉斯方程与拉普拉斯算子拉普拉斯方程与拉普拉斯算子二二维热传导方程方程: ut = a2[uxx + uyy]三三维热传导方程方程: ut = a2[uxx + uyy + uzz ] 热传导问题中中,假假设物体内部没有物体内部没有热源源,物体外物体外围温度不随温度不随时间变化化,那么那么经过相当相当长时间以后以后,物体内物体内部的温度将不再改部的温度将不再改动,趋于于稳定形状。

定形状ut =0uxx + uyy + uzz =0 (Laplace方程方程)或或电子科技大学电子科技大学10/12正方形区域上第一边值问题正方形区域上第一边值问题 准确解准确解: :O1x1y电子科技大学电子科技大学11/12习题习题2.6〔〔P.26〕〕1电子科技大学电子科技大学12/12高斯公式高斯公式格林公式与高斯公式格林公式与高斯公式Oxyzsv。