清华大学马连荣03函数极限.ppt

3.2 区间套定理与列紧性定理,定理3.2.1,(闭区间套定理),满足下列条件:,也就是说,,注,如果将闭区间改成开区间，则定理的结论不再成立.,3.2.1 闭区间套定理,闭区间套定理的证明,考察两个点列：,于是两个极限都存在：,并且,因此,再证明这一列区间的交集只包含一个点ξ .,因此,,定理 3.2.2,(Bolzano-Weierstrass定理),有界点列必有收敛子列.,3.2.2 列紧性定理,首先存在,取其中含有数列 中无穷多项的一个区间记为,使得,例3.2.1,因为数列 有界,,故存在正整数列,的相应子列 有界，,(因为 有界),,所以有收敛子列,证明:,定义3.2.1,(柯西列),就有,注,(柯西列的等价表述),定理3.2.3,(柯西收敛准则),以下两个命题等价：,注,柯西收敛准则的核心是：柯西点列必有极限．,柯西收敛准则说明：实数集对于极限是封闭的．,实数系的这个性质称为实数的完备性．,有理数系不具有完备性．,是柯西列，但在有理数系中不存在极限．,证明：,必要性.,从而有,充分性.,对于正数,记,对于任意,存在,存在,例3.2.2,证明：,存在,,例3.2.3,证明：,要,即,只要,只要,只要,即,由Cauchy收敛准则,,,作业,P100 2,3 P62 3,4,,,2.3 函数极限的概念和性质,2.3.1 自变量 x 的六种变化趋势,2.3.2 函数极限的定义,2.3.3 函数极限的性质,表示动点 x 从定点 x0 的左侧无限趋向于 x0 的无限过程.,在这个无限过程中, 始终保持 x < x0 .,表示动点 x 从定点 x0 的右侧无限趋向于 x0 的无限过程.,在这个无限过程中, 始终保持 x > x0 .,是动点 x 受到限制的变化过程 .,,,2.3.1 自变量 x 的六种变化趋势,在这个过程中, x 可以变得大于任意事先指定的正数 M.,表示变量 x 的值无限增大的过程.,此时称 x 趋向于正无穷大,或趋向于正无穷.,表示变量 x 的值无限减小的过程.,在这个过程中, x 可以变得小于任意事先指定的负数 N.,此时称 x 趋向于负无穷大,或趋向于负无穷.,表示变量 x 的绝对值 |x| 无限增大的过程.,在这个过程中, |x| 可以变得大于任意事先指定的正数 M.,,定义 2.3.1（函数在一点的极限）,记作,或者,注,2.3.2 函数极限的定义,单侧极限,(左极限),定义2.3.2,或者,设函数在 x0 的左侧某个区间 (x0–, x0) 中有定义.,记作,则称当xx0-时, f (x)的左极限是 A.,(右极限),定义2.3.3,或者,记作,则称当xx0+时, f (x)的右极限是 A.,设函数在 某区间 (x0, x0 +) 中有定义.,证,例2.3.1,,于是由函数极限概念推出,要,即要,只要,所以,,,,,,定理 2.3.1,定义 2.3.2（函数在无穷处的极限）,或者,类似地, 可以定义当 x→-∞，x → ∞ 时, 函数的极限 .,证,例2.3.2,,所以,于是由函数极限概念推出,要,只要,(因为 ),只要,例 2.3.3,证,要,只要,只要,只要,所以,有,,证,要,只要,1),只要,只要,2),只要,只要,所以,有,,例 2.3.5,用极限定义证明,证,要,只要,只要,只要,所以,所以,例 2.3.6,用极限定义证明,证,要,设,只要,只要,只要,只要,只要,只要,只要,所以,所以,极限的唯一性,在 x 的同一个变化过程中,,如果同时有,存在极限的函数局部有界.,具体地说就是:,则存在正数  ,,则存在正数  ,,性质 1,性质 2,2.3.3 函数极限的性质,则存在正数 N ,,使得 f(x) 在区间(N, +)有界.,请自己写出相应的结论.,则存在正数 N ,,极限的保号性,注1,结论仍然成立.,性质 3,证,对于,,注 2,,下述结论不成立：,定理2.3.2 (函数极限与数列极限的关系),都有,证,因为,所以,有,所以,有,有,都有,使得,使得,使得,使得,对于上面取得的数列,,例2.3.7,证明：,取,取,,定理2.3.3 (函数极限的Cauchy收敛准则),证,因为,所以,设,设,利用函数极限与 数列极限的关系.,因为,根据数列的Cauchy收敛准则,,数列 收敛.,由定理2.3.2,,Bye!,。