矩阵论简明教程8.doc

§2 QR分解 一、初等反射阵 1．定义 如下形式的阶方阵，且（或）称为初等反射阵（或镜象变换阵，或Householder矩阵）；由初等反射阵确定的的变换称为初等反射变换或Householder变换 2. 性质 设是初等反射阵，由定义容易证明的如下一些性质：1）=（实对称阵）； === 证毕2）=（正交阵）； === 证毕 3）=（对合阵）； 4）=（自逆阵）；5）由上节所证的结果，有===证毕 3. 几何解释在中说明称之为初等反射阵的原因考虑以为法向量且过原点的平面（见图） 任取，将分解为 =，其中 ，则 ==0（正交），（共线）从而 O ==== =====可见作用于向量后，将其关于以为法向量的平面反射变为。

4．一些重要结论 定理 设是阶初等反射阵，则是阶初等反射阵 证 因为=，且，所以 === ==其中 满足==故是初等反射阵证毕定理 设是给定的单位向量，即，则对任意，必存在初等反射阵，使得， 其中 证 若，任取单位向量，则满足=，成立 若，取满足的单位向量，则=，成立 若，取，则是单位向量，且有 == == == 证毕推论 对任意且与不共线，则初等反射阵使得 ，其中， 初等反射阵的应用主要基于上述的定理和推论推论的结果称为用Householder变换化与同方向（共线） 例 试用Householder变换化向量与同方向 解 法1. 取，则 =，=，使 法2. 取，则 =，=，使 二、初等旋转阵在中，向量依顺时针方向旋转角度变为，则与的长度相等，且其坐标满足， 称为平面旋转阵,它是一个正交矩阵，推广到上，即得 1．定义 称如下的阶矩阵 = 或， =， 为初等旋转阵或Givens矩阵。

由确定的的变换=称为初等旋转变换或Givens变换 2．几何解释 中由和所构成的平面上的旋转变换 3．性质 性质1 是正交阵且 性质2 设，则存在初等旋转阵，使的第个分量非负，第个分量为0，而其余分量不变 证 == 可见除, 分量外,其余分量不变. 若==0，取，则 =，且满足所述条件； 若，取，，则的第个分量为+==而的第个分量 +=0 证毕 性质3 设，则存在初等旋转阵，使得证 若，则取使得 =(若，则取=，找，构造,使 =) 又取，，构造使=依次进行下去，最后得 ==初等旋转阵的应用主要基于性质3，称之为用Givens变换化与同方向 例 试用Givens变换化向量与同方向. 解 取，，则=，使 ；又取，，则=，使=5 4．Givens矩阵与Householder矩阵的关系 定理 任一初等旋转阵总能表为两个初等反射阵的乘积证 ==其中 =，=，而， 注 1) 初等旋转阵表为初等反射阵的乘积是不唯一的； 2) 初等反射阵不能表为初等旋转阵的乘积，因为，而。

三、QR分解 定义 设，如果存在阶正交阵和阶上三角阵，使 则称之为的QR分解(或正交-三角分解). 结论 设，则总可以进行QR分解.求方阵的QR分解有如下三种方法: 方法1 利用Householder变换 设，将按列分块为=若，则存在阶初等反射阵，使，从而 ==，若，直接进行下一步（或取） 再将按列分块为=若，则存在阶初等反射阵，使，其中令=，则是阶初等反射阵，且 == =，若，直接进行下一步（或取） 继续这一步骤，最多进行步即得 =， 其中是上三角阵于是 （注意均是自逆的）其中是阶正交矩阵 例 试求矩阵的QR分解 解 ，取，则 ，于是 ==，使又，取，，于是==，令 ==，则=，故 = 方法2 利用Givens变换将按列分块=，则存在初等旋转矩阵，使，于是 ==，又存在使=，*未变，而，于是 = 如此进行下去，最多次Givens变换，得 =故 其中 为阶正交矩阵。

例 求矩阵的QR分解 解 取，则 使 又取，则 ，使 =故 = 方法3 利用Schmidt正交化过程要求非奇异将按列分块=，则线性无关，按Schmidt正交化过程将其正交化得： ， 其中 再将单位化，记为 （），由上式得 故 ===其中 是阶正交阵， 是可逆上三角阵 例 求矩阵的QR分解 解 将列向量，，正交化得 ，，单位化得 ，，于是 ，故 例 用Householder变换求矩阵的QR分解 解 ，，， ，；，， ，=，， ==，= 例 用Givens变换求矩阵的QR分解 解 ，，； ，，； ，， =，，且。