第二章作业参考答案(20220112042506).pdf

第二章作业参考答案13 级线性反馈移位寄存器在c31 时可有 4 种线性反馈函数，设其初始状态为(a1,a2,a3)=(1,0,1)，求各线性反馈函数的输出序列及周期解：此时线性反馈函数可表示为f(a1,a2,a3)=a1c2a2c1a3当 c10， c2 0 时， f(a1,a2,a3)=a1c2a2c1a3a1，输出序列为101101，周期 3 当 c10， c2 1 时， f(a1,a2,a3)=a1c2a2c1a3a1a2，输出序列为10111001011100，周期 7 当 c11， c2 0 时， f(a1,a2,a3)=a1c2a2c1a3a1a3，输出序列为10100111010011，周期 7 当 c11， c2 1 时， f(a1,a2,a3)=a1c2a2c1a3a1a2a3，有输出序列为1010，周期 2 2设 n 级线性反馈移位寄存器的特征多项式为p(x)，初始状态为 (a1,a2, ,an-1,an)=(0001)，证明输出序列的周期等于p(x)的阶证：设 p(x)的阶为 p，由定理2-3，由 r|p，所以 r p设 A(x)为序列 ai的生成函数，并设序列ai 的周期为r，则显然有A(x)p(x) (x) 又 A(x)a1+a2x+ arxr-1+xr(a1+a2x+ arxr-1)+(xr)2(a1+a2x+ arxr-1)+a1+a2x+ arxr-1/(1-xr)a1+a2x+ arxr-1/(xr-1) 于是 A(x)=(a1+a2x+ arxr-1)/(xr-1) (x)/p(x) 又(a1,a2, ,an-1,an)=(0001) 所以 p(x)(anxn-1+ arxr-1)= (x)(xr-1) 即 p(x)xn-1(an+ arxr-n)= (x)(xr-1) 由于 xn-1不能整除xr-1，所以必有xn-1| (x)，而(x)的次数小于n，所以必有(x) xn-1所以必有p(x)|(xr-1)，由 p(x)的阶的定义知，阶p r综上所述： p r# 3设 n4，f(a1,a2,a3,a4)=a1a41a2a3，初始状态为 (a1,a2,a3,a4)(1,1,0,1)，求此非线性反馈移位寄存器的输出序列及周期。

解：由反馈函数和初始状态得状态输出表为(a4 a3 a2 a1) 输出(a4 a3 a2 a1) 输出1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1（回到初始状态）所以此反馈序列输出为：11011 周期为 5 4设密钥流是由m2s 级 LFSR 产生，其前m+2 个比特是 (01)s+1，即 s1 个 01问第 m+3 个比特有无可能是 1，为什么？解：不能是1可通过状态考察的方法证明以上结论首先 m 级 LFSR 的状态是一个m 维的向量，则前m 个比特构成一个状态S0，可表示为 (01)s，第 m1 个比特是0，所以 S0的下一个状态是S1(10)s，第 m2 个比特是1，所以 S1的下一个状态是S2(01)sS0，回到状态S0，所以下一个状态应是S3=S1(10)s，也即第m+3 个比特应该为05设密钥流是由n 级 LFSR 产生，其周期为2n1，i 是任一正整数，在密钥流中考虑以下比特对(Si, Si+1), (Si+1, Si+2), , (Si+2n3, S i+2n2), (Si+2n2, S i+2n1), 问有多少形如 (Sj, Sj+1)(1,1)的比特对？证明你的结论。

答：共有2(n-2)证明：证明方法一：由于产生的密钥流周期为2n1，且 LFSR 的级数为n，所以是m 序列以上比特对刚好是1 个周期上，两两相邻的所有比特对，其中等于(1,1)的比特对包含在所有大于等于 2 的 1 游程中由m 序列的性质，所有长为i 的 1 游程 (1i n-2)有 2n-i-1/2 个，没有长为n1 的 1 游程，有 1 个长为 n 的 1 游程长为 i (i1) 的 1 游程可以产生i-1 个(1,1)比特对，所以共有 (1,1)比特对的数目N2n-2-2(2 1)2n-3-2(31) 2n-i-2(i1)2n-(n2)2 (n21)n1222)1(2niinin 12(n-2)证明方法2：考察形如11*的状态的数目，共有2(n-2)个6已知流密码得密文串为1010110110 和相应明文串0100010001，而且还已知密钥流是使用3 级线性反馈移位寄存器产生的，试破译该密码系统解：由二元加法流密码的加密算法可知，将密文串和相应的明文串对应位模2 加可得连续的密钥流比特为 1110100111 设该三级线性反馈移位寄存器的反馈函数为f(a1,a2,a3)=c3a1c2a2c1a3取其前 6 比特可建立如下方程(a4a5a6)(c3,c2,c1)543432321aaaaaaaaa，即(c3,c2,c1) (a4a5a6)1543432321aaaaaaaaa(0 1 0) 1101011111=(0 1 0) 011101111=(1 0 1) 所以 f(a1,a2,a3)=a1a3，即流密码的递推关系式为ai+3=ai+2ai7若 GF(2)上的二元加法流密码的密钥生成器是n 级线性反馈移位寄存器，产生的密钥是m 序列。

2.5节已知，敌手若知道一段长为2n 的明密文对就可破译密钥流生成器如果敌手仅知道长为2n2 的明密文对，问如何破译密钥流生成器解：破译 nLFSR 所产生的m 序列，需要2n 个连续比特，现在仅有2n2 个连续的密钥比特(由长为 2n2 的明密文对逐位异或得到)，因此需要猜测后两个比特这有00，01，10， 11 四种情况，对这些情况按下式逐一试破译(an+ 1an+2.a2n)(cncn-1.c1) 12113221nnnnnaaaaaaaaa=(cncn-1.c1) X首先验证矩阵X的可逆性，如果不可逆则可直接排除此情况其次对于可逆的情况，求解出(cncn-1.c1)， 然后验证多项式 p(x)=1+c1x+cnxn是否是本原多项式，如果是，则是一解结果可能会多余1 个8.设 J-K 触发器中 ak和 bk分别为 3 级和 4 级 m 序列，且ak 11101001110100bk 001011011011000 001011011011000求输出序列 ck及周期解：由于gcd(3，4)=1 且 a0b01 所以序列 ck的周期为 (23-1)(24-1)=105 又由 J-K 触发器序列的递推式ck=( ak+bk+1) )ck-1+ak，令 c-1=0 可得输出序列为：ck=11001001 9设基本钟控序列产生器中ak和bk 分别为 2 级和 3 级 m 序列，且ak 101101bk 10011011001101求输出序列 ck及周期。

解：序列 ak的周期 p1221 3，序列 bk 的周期 p223 17，w1a0a1 a2 2 而 gcd(w1, p2)=1所以序列 ck的周期 p p1p23721 记 LFSR2(产生序列 bk)的状态向量为k，则 0(100)，在 LFSR1(产生序列 ak)的控制下， 状态转移为： ak 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 (100),(001),(001),(011),(110),(110),(101),(011),(011),(110),(100),(100),(001),(011),(011),(110) 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 ak 1 0 1 1 0 1 1 0 1 (101),(101),(011),(110),(110),(100),(001), (001),(011) 1 1 0 1 1 1 0 0 0 所以输出序列为100011100111000111011 1000复习题4.3. 已知一有限状态自动机的状态转移图如图所示，则当初始状态为s1，且输入字符序列为A1(1)A2(1)A1(1)A3(1)A3(1)A1(1)时，输出的状态序列和输出符号序列分别是什么？s1(A2(1), A3(2)s3(A2(1), A2(2)s2(A2(1), A1(2)(A3(1), A3(2)(A1(1), A1(2) (A1(1), A3(2)(A3(1), A2(2)(A1(1), A2(2)(A3(1), A1(2)解：根据有限状态机转移图有(1) 输出的状态序列s1, s2, s2, s3, s2, s1, s2(2) 输出的符号序列A1(2) A1(2)A2(2) A1(2)A3(2) A1(2)5.3 n次不可约多项式p(x)的周期为 r， 试证 A(x)=1/p(x)的充要条件是 0 的 n1 游程出现在一个周期的最后 n-1bit 证：由于p(x)是不可约多项式，则由p(x)生成的非0 序列的周期等于p(x)的周期 r由 A(x) a1+a2x+ arxr-1+xr(a1+a2x+ arxr-1)+(xr)2(a1+a2x+ arxr-1)+a1+a2x+ arxr-1/(1-xr)a1+a2x+ arxr-1/(xr-1) 于是 A(x)=(a1+a2x+ arxr-1)/(xr-1)1/p(x) 所以 p(x) (a1+a2x+ arxr-1)= xr+1 由于 p(x)的次数为n，所以 (a1+a2x+ arxr-1)的最大次数为r-1-n，也就是说从xr-1-n+1开始系数都为0 即从 xr-n到 xr-1共 n-1 个系数都为0，由 0 的最大游程长度是n-1，所以 0 的 n-1 游程出现在一个周期的最后 n-1bit 必要性：如果 0 的 n-1 游程出现在最后n-1bit ， 我们考察 p(x) (a1+a2x+ arxr-1) (x) (xr-1)， 其中(x)满足 A(x)p(x) (x)，由于 p(x)次数为 n，而根据0 的 n-1 游程出现在最后n-1bit 知(a1+a2x+ arxr -1)的最大次数是r-1-(n-1)， 所以方程左边p(x) (a1+a2x+ arxr-1)的次数为n+ r-1-(n-1)=r， 所以方程右边(x)=1， 即A(x)=1/p(x) # 6.2 已知一序列的前 10 比特为 0010001111(1) 试用 B-M 算法求出产生该序列极小多项式和线性复杂度(2) 给出产生该序列的LFSR 的递推式、结构图和周期(3) 破译该序列最少需要知道多少连续的密钥流比特解：(1) 产生该序列的极小多项式和线性复杂度分别是1+x+x4和 4 n a10dnfn(x) lnm fm(x) 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 2 1 1 1 0 2 1 3 0 0 1-d2x2+1=1+x32+1=3 4 0 0 1+x33 5 0 1 1+x33 6 1 1 (1+x3)+x5-2(1)=1 3 6 1 7 1 1 1+ x6-2(1)=1+x44 8 1 0 1+x4+x7-6(1)=1+x+x44 9 1 0 1+x+x44 10 1+x+x44 (2)结构图、递推式和周期a4a1a2输出序列+a3递推式ak+4=ak+3ak周期：由于是本原多项式，所以周期为24-1=15 (3) 需要知道至少2x4=8 个连续的密钥流比特。