风险厌恶度量.pptx

第8讲讲 风险厌恶风险厌恶 度量 预期效用与主观概率理论，对人们在不确定环境中的行为进行 了准确描述和深刻分析，论证了人们追求预期效用最大化的行为准 则，为研究不确定条件下的选择问题提供了很好的理论基础本讲 在此基础上展开进一步的讨论，主要议题有三个： 预期效用与主观概率理论是否反映了实际现象？ 在风险活动面前，人们的态度如何？ 如何测定人们规避风险的倾向强弱？ 回答第三个问题是本讲的重点事实上，从上一讲的赌博事例 已经看到，当效用函数的性能发生了“凸性线性凹性”的变化 时，消费者对待风险的态度相应地发生了“爱好中性厌恶”的 变化由此得到一个猜想：效用函数越凹，人们越厌恶风险，风险 规避倾向越强我们将证明这一猜想是正确的，由此便可引出一种 对人们规避风险的倾向强弱进行测定的办法风险厌恶度量 一、关于预期效用的悖论与争议 关于不确定条件下的选择问题，上一讲建立的预期效用和主观 概率理论似乎是完美的和合乎实际的，让我们完全有理由相信人们 在不确定的环境(风险环境或无常环境)中是根据不确定性行动的预 期效用大小来进行评判和选择的 然而阿莱和艾斯勃格分别对预期效用和主观概率进行了实际考 察，发现了理论与实际不符的两个现象：Allais Paradox 和 Ellsberg Paradox，引起了人们对预期效用和主观概率理论的质疑和争议。

有些人借此否定预期效用和主观概率理论，认为需要建立新的 理论来解释不确定条件下的选择行为另一些人则认为，出现这两 个悖论的原因不是理论错了，而在于人们进行评判时发生了“视觉 错误”比如，有时候人们无法判断距离，但这不意味着需要重新 发明一种距离概念因此，预期效用和主观概率理论是正确的 下面，我们介绍这两个悖论 (一) Allais Paradox 这是一个关于预期效用的悖论现有四种彩票A、B、C、D，其 奖励等级、获奖概率分布以及预期收入情况见下表所示 彩票 ABCD 奖金(万元)100110100010001100 获奖概率100%10%89%1%11%89%10%90% 预期收入(万元)1001001111 调查发现，很多人都认为 A B且 D C A与B相比，虽然预期收入都为100万元，但 A是稳当地得到100 万元，B则有1%的可能一无所获，而多得10万元的概率才仅仅不过 10%：概率小，多得的数额也相对较小这样，A明显比B好 C与D相比，虽然预期收入都为11万元，但购买 D 仅以少1%的 可能性就要比购买 C 多得10万元，因而D比C好 计算预期效用 设消费者的预期效用函数为 u。

计算一下预期效用，则有： u(A) = u(100) u(B) = u(110)10% + u(100)89% + u(0)1% u(C) = u(100)11% + u(0)89% u(D) = u(110)10% + u(0)90% 根据调查结果 A B，应有 u(A) u(B)由此可知： u(100)11% u(110)10% + u(0)1% 在此式两边加上 u(0)89% 可得： u(100)11% + u(0)89% u(110)10% + u(0)90% 即 u(C ) u(D)，这与实际调查结果 D C 相矛盾：通过预期效用函数 得到的评价与消费者的实际评价相悖 那么这个悖论是否说明预期效用理论有着不切实际的地方？其 实，这个悖论中消费者评价的“视觉错误”是明显存在的 (二) Ellsberg Paradox 这是一个关于主观概率的悖论情景：袋中有红球、蓝球和绿 球共300个，其中红球100个现有四种形式的赌博 A、B、C、D： A ：从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元 B ：从袋中摸出一球，如果为篮球，可得1000元 C ：从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元。

D ：从袋中摸出一球，若不是篮球，可得1000元 面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿 球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率 通过调查发现，大多数人基本上都认为 A B 且 C D 作出这 种评价的原因可能在于 A 的确定性比 B 高，C 的确定性比 D 高 用 P 表示赌博者的主观概率测度， u 表示在这个概率测度下的 预期效用函数用 F 表示摸出红球这一事件，G 表示摸出蓝球这一 事件则 表示摸出的球不是红球， 表示摸出的球不是蓝球 计算预期效用 从 A B 知：( p- q) u(1000) ( p- q) u(0) 从 C D 知：( p- q) u(1000) 0 亏损性赌博 px + (1p)y RPA( ) 普拉特定理中的那些不等式还可以换成严格不等式，从而得 到普拉特定理的严格形式 (二) 相对风险规避倾向 风险厌恶 度 AP(w) 测量的是在行为的绝对量变中，经济人 对风险 的厌恶程度强弱，因而才叫做绝对风险厌恶度但实际中 ，人们也常常使用相对量变，即用比例来表达数量变化采用相 对量变的好处在于消除了量纲影响，从而能更好地把握经济变 量 的变化这样，我们也需要测量经济人在行为的相对量变中对 风险的厌恶程度大小，这就是所谓的相对风险厌恶度及相对风险 规避倾向。

为此，我们给出如下定义设 u : X R 是经济人的VNM效用 函数，X = R对任何w S，定义 RAP(w) 为： 函数 RAP : X R 叫做经济人的相对风险厌恶度量函数，或阿罗-普 拉特相对风险度量，或相对风险规避倾向函数值 RAP(w) 叫做经 济人在w 处的相对风险厌恶度或在w 处的相对风险规避倾向 1. 赌博揭示的相对风险规避倾向 设经济人的财富收入效用函数为u(r)且(rX)(u(r) 0), 并设财 富以元为单位来计假定经济人当前拥有w元财富设F是一个随机 事件，其发生的概率为 p通过事件F，可以设计相对赌博： 对任何 x, yR，平面上的点(x, y)代表这样的赌博：如果事件F 发 生，则赢 x w 元，经济人的财富变为(1+x)w 元；若事件F 未发生，则 赢得 yw 元，经济人的财富变为(1+y)w 元这样，通过事件F设计的 相对赌博的全体G正是平面R：G = R 原点(0,0)代表不赌，其余点(x, y)(0,0)都代表真正的赌博 赌博(x,y)的预期效用为EU(x, y) = pu(1+x)w)+(1p)u(1+y)w) 赌博(x, y)被接受当且仅当 pu(1+x)w)+(1p)u(1+y)w) u(w)。

(x, y)是公平赌博当且仅当 px + (1p)y = 0 接受集的边界 在 原点(0,0)处的切线正 是公平赌博直线！ 2. 相对接受集GA 公平的赌博 相对接受 集边界GA 在原点(0,0) 处的切线方程： 凸集 对任何(x, y), (x, y)GA 及实数 t0, 1，令 (x, y) = t (x, y) + (1t)(x, y) 则有： (1) 相对接受集的凸性 故 (x, y) = t (x, y) + (1t)(x, y) GA这就证明了GA是凸集 (0)正是 GA 在原点处的切线的斜率这样，就得到了相对接 受集的边界 GA 在原点(0,0)处的切线方程： p x + (1 p) y = 0 l 相对接受集的边界GA在原点(0,0)处的切线正是公平赌博直线！ 相对接受集的边界GA： GA = (x, y)R : pu(1+x)w)+(1p)u(1+y)w) = u(w) 边界方程 pu(w+xw)+(1p)u(w+yw) = u(w) 隐含着 y = (x)求导： p u(w+xw)w+(1p) u(w+yw)w (x) = 0 令 x = 0，即得到 y = (x) 在 x = 0 处的导数： (2) 相对接受集的边界在原点的切线 由此可见， (0)与u(w)w u(w)成正比，从而接受集边界GA 在原点(0,0)处的曲率大小与RAP(w)= u(w)w u(w) 成正比！ (3) 相对接受集的边界在原点的曲率 接受集边界GA在原点处的曲率大小与 (0)成正比。

为此，进 行如下求导计算： 3. 阿罗-普拉特相对风险厌恶度 相对小 赌博 接受 不接受 4. 原点附近赌博的意义 原点(0,0)附近的相对赌博具有特殊的意义： l 原点附近的相对赌博都是数量相对较小的赌博：相对小赌博 l 如果一个人连相对较小的赌博都不愿意接受，那么就表明这个人 对风险的厌恶程度较大，足见他具有较强的相对风险规避倾向 l 一个人不愿意接受的相对小赌博越多，他的风险厌恶度越大，相 对风险规避倾向越强 l (0)越大，相对接受集边界GA 在原点(0,0)处越弯曲，不接受的 相对小赌博便越多，风险厌恶度越大，相对风险规避倾向越强 l u(w)w u(w)越大， (0)越大 An important fact： u(w)w u(w) 衡量着相对风险厌恶度！ Arrow & Pratts relative measure RAP(w) of risk aversion： 五、风险规避倾向的变化规律 经济人的风险规 避倾向如何随财富数量的变化而变化？在什 么情况下适合使用绝对风险厌恶 度来测定经济人的风险规 避倾 向，又在什么情况下适合使用相对风险厌恶 度来测定？对于这些 问题，下述回答似乎是合理的。

第一，绝对风险厌恶 度AP(w)随财富量w的增加而递减 第二，相对风险厌恶 度RAP(w)不随财富量w的变化而变化 (一) 绝对风险厌恶度的变化规律 对于一个用绝对数量表示的较小赌博来说，当经济人的财富较 少时，这个赌博可能不被接受；但当财富较多时，接受这个赌博的 可能性就大大增加了：赌一下也不是什么大不了的事情 这表明，随着经济人拥有的财富的增多，一个较小赌博被接受 的可能性是上升的，从而绝对风险厌恶度下降，绝对风险规避倾向 变弱 另外，如果考虑的是短期行为，那么经济人是否能够接受一个 赌博，恐怕主要还要看财富数量的绝对变化因此可以说，当进行 短期分析的时期，适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规 避倾向 (二) 相对风险厌恶度的变化规律 以相对赌博为例，由于赌金与财富成比例，因此低额赌注实际 上是高额赌注的缩影，而缩影其实是对原型的模仿，结果原型与缩 影中的风险规避倾向似乎应该一致这样，假定相对风险厌恶度为 常数，这恐怕还是一个不错的假设 另外，如果是在进行长期分析，那么面对遥远的未来，就不宜 采用绝对数量，而采用相对数量变化恐怕会更好些，可能会更能令 人信服 因此，长期分析中适合使用相对风险厌恶度来测定人们的风险 规避倾向。

尤其是遥远未来的不确定性太大，人们保持一个不变的 相对风险规避倾向便是合情合理的，即“以不变应万变” 可见，可用形式简单的效用函数 v( , ) = 2 来代替预 期效用函数Eu( )效用函数 v 仅仅是均值 和方差 的函数 (三) 风险规避倾向与效用函数形式 l 定理 设X = xR : x 0，u : X R 为VNM效用函数且 u(x) 0 对 一切 xX 成立则有下述结论： 经济人具有不变的相对风险规避倾向 1当且仅当存在常数 a 0 和常数 b，使得 对一切wX 成立 经济人具有始终为1 的相对风险规避倾向当且仅当存在常数 a 0 和常数 b，使得对任何wX ，都有 u(w) = a lnw + b 经济人具有不变的绝对风险规避倾向 0当且仅当存在常数 a 和 b 0，使得 对一切wX 成立 一个有趣的事实是，当经济人具有不变的绝对风险规避倾向 0且风险选择 行为 服从正态分布 N( , ) 时，我们有： 。