特殊四边形证明方法.docx

特殊四边形证明方法专题名称：如何证明特殊的四边形专题目标：证明一个四边形的形状问题在中考中经常地出现，主要涉及的是证明一个四边形是平行四边形或矩形，菱形，正方形或等腰梯形等通过学习,进一步加深对平行四边形和梯形的定义、性质定理和判定定理的理解，提高学生审题能力与分析问题能力.提高应用定义和定理解决较为复杂的问题能力.专题内容：特殊的四边形的定义，性质定理，判定定理有哪些？ 分析题意，证明已具备哪些已知条件，还需哪些条件，选用什么方法和策略？ 几何证明书写中有无疏漏？注意书写规范专题课时：2课时教学内容：第一课时 平行四边形的证明教学过程一、复习梳理在前面复习的基础上再一次的梳理特殊的四边形的定义、判定定理，理清楚其中的联系和区别.二、例题选讲EAFMBD图7C例1、如图7，已知AD是△ABC的中线， M是AD的中点， 过A点作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形． 分析 要证明一个特殊的四边形，我们需要注意一下几个方面：① 根据题目的已知，这个四边形已经具备了哪些条件；② 选择哪个判定定理或定义解决这个问题；③ 证明过程的书写需规范证明：（1）∵AE//BC，∴∠AEM=∠DCM，∠EAM=∠CDM又∵AM=DM，∴△AME≌△DMC，∴AE＝CD，∵BD=CD，∴AE=BD．∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形．（2）∵AE//BC，∴．　　　 ∵AE=BD=CD，∴，∴AB=3AF．∵AC=3AF，∴AB=AC，又∵AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°∴四边形AEBD是矩形例2 如图在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC,设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F（1） 试说明EO=OF （2） 当点O运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明理由（3） 当点O运动到何处且△ABC 满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由分析：(1)要证明OE=OF，可借助第三条线段OC，即证：OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC、△OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明.(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到：∠ECF=90°，由(1)可证得OE=OF，所以要使四边形AECF是矩形,只需OA=OC.证明：(1)∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线.∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF∵MN∥BC∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD∴∠ACE=∠OEC，∠ACF=∠OFC∴OE=OC，OF=OC∴OE=OF(2)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC又由(1)证得OE=OF∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)由(1)知：∠ECA+∠ACF=∠ACB+∠ACD= (∠ACB+∠ACD)=90°即∠ECF=90°∴四边形AECF是矩形.因此：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.(3)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）∵MN∥BC ∴∠AOE=∠ACB=90°∵OE=OF ∴CE=CF (线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)又由(1)证得四边形AECF是矩形∴四边形AECF是正方形变式：将CE平分∠BCA这一条件，改成,其他条件不变，结论还能成立吗？例ABEGCFD3如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．（1）求证：；（2）求证：四边形ADGF是菱形．分析 在平行四边形或梯形中要求证明线段两两乘积相等，即四条线段成比例，我们考虑平行线分线段成比例或相似三角形对应边成比例定理，有时还需要应用线段或比的转换.证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC． ∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，∴．∴．∴．（2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠FAB．∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，∴．∴AF=FG，BA=BG．∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，∴．∴∠BAD=∠BGD．∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形．∴AF=FG．∴四边形ADGF是菱形． 变式：如图，在△中，,点、分别在边、上，、相交于点，交于点，且，联结．那么结论四边形ADGF是菱形还成立吗？ 思考探索如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、AF分别交BD于点P,Q两点且（1）求证：四边形APCQ为菱形；（2）请猜测当的比值为多少时，四边形APCQ是正方形，并证明你的结论．三、师生小结证明一个四边形的形状问题在中考中经常地出现，主要涉及的是证明一个四边形是平行四边形或矩形，菱形，正方形等，要解决好这一类的问题，我们需要注意以下几个方面.1、 熟练地掌握这些特殊四边形的定义、判定定理和性质定理.2、 充分重视证题前的分析和证题后的反思3、几何证明题的书写必须规范，每一步之间必须有逻辑关系，而不能随意的跳步骤.作业布置：1.（18青浦二模）如图7，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC、BD 交于点M，点E在边 BC上，且，联结AE，AE与BD交于点F． （1）求证：；（2）联结DE，如果，求证：四边形ABED是平行四边形.2、 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．ABCDMNE（1）证明：在△ABC中， AB=AC，AD⊥BC． ∴ ∠BAD=∠DAC． ∵ AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴ ．∴ ∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°又 ∵ AD⊥BC，CE⊥AN，∴ =90°， ∴ 四边形ADCE为矩形． （2）当AD=时，四边形ADCE是正方形． 证明：∵ AB=AC，AD⊥BC于D．∴ DC=． 又 AD=，∴ DC=AD．由（1）可知四边形ADCE为矩形， ∴四边形ADCE是正方形.ABCDEGHM3、(15杨浦二模)已知：如图，Rt△ABC和 Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE =，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H。

1）求证：MB=MD；（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形证明：（1）方法一：取BD中点P，联结MP，∵∠ABC=∠CDE =，∴∠ABC+∠CDE =，∴AB//ED，∵点M为AE中点，点P为BD中点，∴MP//AB，∴∠MPD=∠ABC=，即MP⊥BD，∴MP为线段BD的垂直平分线，∴MB=MD方法二：延长BM，与DE的延长线交于点T，∵∠ABC=∠CDE =，∴∠ABC+∠CDE =，∴AB//ED，∴∠ABM=∠MTE， 又∵∠AMB=∠EMT，点M为AE中点，∴△AMB≌△EMT，∴BM=TM，∵∠CDE =，∴ED⊥BD，∴DM=BT，∴DM=BM2）方法一：取BD中点P，联结MP，∴BP=BC=（BC+CD），∵AB//ED，点M为AE中点，∴MP =（AB+DE），∵AB=BC，DC=DE，∴BP= MP，∵MP⊥BD，∴∠MBP =，又∵DC=DE，∠CDE =，∴∠ECD=，∴BM//CE同理DM//AC，∴四边形MGCH为平行四边形，∵AB=BC，∠ABC=，∴∠ACB=，同理∠ECD=，∴∠ACE=，∴四边形MGCH为矩形方法二：延长BM，与DE的延长线交于点T，∵△AMB≌△EMT，∴AB=ET，∵AB=BC，∴BC= TE，∵DC=DE，∴，∴CE//BT∴∠BMD+∠MHC=，∵BC= TE，DC=DE，∴BC+DC=TE+DE，即BD=TD，∵BM=TM，∴DM⊥BT，即∠BMD=，∴∠MHC=，又∵AB=BC，∠ABC=，∴∠ACB=，同理∠ECD=，∴∠ACE=，∴四边形MGCH为矩形4、（18静安二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中， AC、DB交于点E，C第23题图ABDEF点F在BC的延长线上，联结EF、DF，且∠DEF=∠ADC． （1）求证：；（2）如果，求证：平行四边形ABCD是矩形． 证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD//BC ，AB//DC ∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠BEF+∠DEF =180°, ∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF∵∠DEF=∠ADC∴∠BAD=∠BEF，∵AB//DC， ∴∠EBF=∠ADB ∴△ADB∽△EBF ∴ (2) ∵△ADB∽△EBF,∴, 在平行四边形ABCD中，BE=ED=∴ ∴, 又∵∴,△DBF是等腰三角形 ∵∴FE⊥BD, 即∠DEF =90° ∴∠ADC =∠DEF =90° ∴平行四边形ABCD是矩形 FDCBAAE5、（15奉贤二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是对角线AC上一点，∠DEC=∠ABC，且．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE= ∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．证明：（1） ∴ ∵∠ECD=∠DCA ∴△ECD∽△DCA ∴∠ADC=∠DEC ∵∠DEC=∠ABC ∴∠ABC=∠ADC ∵AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD=1800 ∠BAD+∠ADC=1800 ∴∠BAD=∠BCD ∴四边形ABCD是平行四边形（2）∵ EF∥AB BF∥AE ∴四边形ABFE是平行四边形∴ AB∥EF AB=EF ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD AB=CD∴CD∥EF CD=EF ∴四边形EFCD是平行四边形 ∵CD∥EF ∴∠FEC=∠ECD 又∵∠DCE=∠FCE ∴∠FEC=∠FCE ∴EF=FC∴平行四边形EFCD是菱形 。