压电材料的变分原理与有限元方法课件.ppt

School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA压电材料的变分原理压电材料的变分原理和有限元分析方法和有限元分析方法School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA1 前言前言Q压电材料由于其机电耦合特性，受到使用者的欢压电材料由于其机电耦合特性，受到使用者的欢迎当将压电材料应用到结构中时，由于结构形迎当将压电材料应用到结构中时，由于结构形式的多样性、边界条件的多样性和外界激励环境式的多样性、边界条件的多样性和外界激励环境的复杂性，的复杂性，解析解会遇到不可克服的困难解析解会遇到不可克服的困难，因而，因而大多数情况需要采用大多数情况需要采用数值的方法数值的方法来分析结构和解来分析结构和解决问题Q变分原理是进行数值计算的基础变分原理是进行数值计算的基础，因而研究压电，因而研究压电材料的变分原理为建立压电材料的有限元模型和材料的变分原理为建立压电材料的有限元模型和方程提供了依据方程提供了依据School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA2 基本方程基本方程Q压电材料具有力电耦合特性，根据连续弹性介质压电材料具有力电耦合特性，根据连续弹性介质理论和电介质理论，基于线弹性、小变形假设，理论和电介质理论，基于线弹性、小变形假设，基本方程及条件如下。

基本方程及条件如下 (1) 运动方程运动方程 (2) 电学方程电学方程 若不存在自由电荷则等式子于零School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ2.1 本构方程本构方程(3) 力学耦合方程力学耦合方程或(4) 电学耦合方程或School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ2.3 几何方程几何方程(5) 变形方程变形方程(6) 电场方程电场方程School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ2.3 边界条件边界条件(7) 力学边界条件力学边界条件(8) 电学边界条件电学边界条件在Sσ上在Su上在Sq上在Sv上School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA3 力电耦合系统的能量泛函力电耦合系统的能量泛函Q(1) 动能动能Q(2) 应变能应变能Q(3) 电势能电势能School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ(4) 外力功外力功Q(5) 外电荷功外电荷功符合说明：符合说明： Ve、、Vp和和V= Ve+ Vp分别为弹性材料体积、分别为弹性材料体积、压电材料体积和总体积。

压电材料体积和总体积School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA5 系统广义泛函系统广义泛函Q由由Hamilton原理，原理，系统广义泛函为：系统广义泛函为：   将上面的本构方程、几何方程带入得到将上面的本构方程、几何方程带入得到系统的能量系统的能量泛函泛函为：为： School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA能量泛函写成矩阵形式有：能量泛函写成矩阵形式有：上式即为分析压电耦合结构、建立各种位移形式的运动上式即为分析压电耦合结构、建立各种位移形式的运动微分方程的微分方程的变分形式方程变分形式方程School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA6 有限元方法有限元方法Q有限元分析，即有限元方法（冯康首次发现时称为基于变分原理的差分方法），有限元分析，即有限元方法（冯康首次发现时称为基于变分原理的差分方法），是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的数值技术是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的数值技术. 这一解法基于完全这一解法基于完全消除微分方程消除微分方程, 即将微分方程转化为代数方程组即将微分方程转化为代数方程组(稳定情形稳定情形); 或将偏微分方程或将偏微分方程(组组)改写为常微分方程改写为常微分方程(组组)的逼近的逼近, 这样可以用标准的数值技术这样可以用标准的数值技术(例如欧拉法例如欧拉法,龙格龙格-库库塔方法等塔方法等)求解求解.Q有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究. 它的它的发展可以追溯到发展可以追溯到Alexander Hrennikoff(1941)和和Richard Courant(1942)的工作的工作. 这这些先驱者使用的方法具有很大的差异些先驱者使用的方法具有很大的差异, 但是他们具有共同的本质特征但是他们具有共同的本质特征: 利用利用网格网格离散化将一个连续区域转化为一族离散的子区域离散化将一个连续区域转化为一族离散的子区域, 通常叫做元通常叫做元.Hrennikoff 的工作的工作离散用类似于格子的网格离散区域离散用类似于格子的网格离散区域; Courant 的方法将区域分解为有限个三角形的方法将区域分解为有限个三角形的子区域的子区域, 用于求解来源于圆柱体转矩问题的二阶椭圆偏微分方程用于求解来源于圆柱体转矩问题的二阶椭圆偏微分方程. Courant 的贡的贡献推动了有限元的发展献推动了有限元的发展, 绘制了早期偏微分方程的研究结果绘制了早期偏微分方程的研究结果.Q从有限元的基本方法派生出来的方法很多，则称为三维单元。

如从有限元的基本方法派生出来的方法很多，则称为三维单元如有限条法、边界有限条法、边界元法、杂交元法、非协调元法和拟协调元法元法、杂交元法、非协调元法和拟协调元法等，用以解决特殊的问题等，用以解决特殊的问题School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA6.1 本构方程本构方程¯压电材料的线性本构方程为：压电材料的线性本构方程为：用矩阵形式表示为：用矩阵形式表示为：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA6.2 有限元列式有限元列式(四面体单元为例四面体单元为例)Q对于每一个单元，机械对于每一个单元，机械应变应变可以表示为：可以表示为：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ又，位移又，位移u、、v、、w可以可以用单元节点位移和形函数用单元节点位移和形函数表表示：示：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ从而可得：从而可得：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA上式用矩阵形式表示为：上式用矩阵形式表示为：Bu为包含形函数微分的矩阵为包含形函数微分的矩阵：：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA对于每个单元的对于每个单元的x、、y、、z方向的位移方向的位移向量表示为：向量表示为：   同样对于每个单元，同样对于每个单元，电场向量电场向量可以表示为为：可以表示为为：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA又，又，电势可以用单元节点电势和形函数表示电势可以用单元节点电势和形函数表示：：从而：从而：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA上式用矩阵形式表示为：上式用矩阵形式表示为：Bφφ为包含形函数微分的矩阵为包含形函数微分的矩阵：：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ由由压电材料的虚功原理压电材料的虚功原理：：Q由前面有：由前面有：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA又：又：Q将上两式代入虚功原理有：将上两式代入虚功原理有：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA对上面的式子进行化简，就可用得到对上面的式子进行化简，就可用得到单元的有限元方程单元的有限元方程：：式中：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA对对单元有限元方程进行组装单元有限元方程进行组装可得压电材料的整体有限元可得压电材料的整体有限元方程：方程：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA7 ANSYS中的压电分析中的压电分析Q压电分析只能用下列单元类型之一：压电分析只能用下列单元类型之一：(1) PLANE13, KEYOPT(1)=7，耦合场四边形板单元，耦合场四边形板单元(2) SOLID5, KEYOPT(1)=0或或3，耦合场六面体单元，耦合场六面体单元(3) SOLID98, KEYOPT(1)=0或或3，耦合场四面体单元，耦合场四面体单元QKEYOPT选项激活压电自由度：位移和电压。

对于压电分选项激活压电自由度：位移和电压对于压电分析，必须激活位移和电压自由度，即对于析，必须激活位移和电压自由度，即对于SOLID98要选择要选择Degrees of Freedom选项的值为选项的值为UX, UY, UZ, VOLT对于PLANE13要选择要选择Degrees of Freedom选项的值为选项的值为UX, UY, VOLT对于SOLID5和和SOLID98，，KEYOPT(1)=3仅激活压电选项仅激活压电选项School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA压电材料材料参数的输入压电材料材料参数的输入Q介电常数是反映材料的介电性质，或极化性质的，通常用介电常数是反映材料的介电性质，或极化性质的，通常用ε来表来表示不同用途的压电陶瓷元器件对压电陶瓷的介电常数要求不示不同用途的压电陶瓷元器件对压电陶瓷的介电常数要求不同例如，压电陶瓷扬声器等音频元件要求陶瓷的介电常数要同例如，压电陶瓷扬声器等音频元件要求陶瓷的介电常数要大，而高频压电陶瓷元器件则要求材料的介电常数要小大，而高频压电陶瓷元器件则要求材料的介电常数要小。

Q压电陶瓷极化处理之前是各向同性的多晶体，这是沿压电陶瓷极化处理之前是各向同性的多晶体，这是沿1(x)、、2(y)、、3(z)方向的介电常方向的介电常 数是相同的，即只有一个介电常数经过数是相同的，即只有一个介电常数经过极化处理以后，由于沿极化方向产生了剩余极化而成为各向异极化处理以后，由于沿极化方向产生了剩余极化而成为各向异性的多晶体此时，沿极化方向的介电性质就与其他两个方向性的多晶体此时，沿极化方向的介电性质就与其他两个方向 的介电性质不同设陶瓷的极化方向沿的介电性质不同设陶瓷的极化方向沿3方向则有关系方向则有关系  ε11=ε22≠ε33 即经过极化后的压电陶瓷具有两个介电常数即经过极化后的压电陶瓷具有两个介电常数ε11和和ε33School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ介电系数矩阵介电系数矩阵(介电常数介电常数)     用用MP命令命令(Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models>Electromagnetics> Relative Permittivity>Orthotropic)定义定义PERX、、PERY和和PERZ。

这些常数分别表示的是介电系数这些常数分别表示的是介电系数矩阵矩阵 [ε]s（上标（上标“s”表示常数值是在常应变条件下表示常数值是在常应变条件下计得到的）的对角分量计得到的）的对角分量ε11,ε22,ε33Q压电陶瓷具有压电性，即施加应力时能产生额外的电荷其所产生压电陶瓷具有压电性，即施加应力时能产生额外的电荷其所产生的电荷与施加的应力成比例，对于压力和张力来说，其符号是相反的电荷与施加的应力成比例，对于压力和张力来说，其符号是相反的，用介质电位移的，用介质电位移D（单位面积的电荷）和应力（单位面积的电荷）和应力T（单位面积所受（单位面积所受的力）表示如下的力）表示如下D=Q/A=dT   式中，式中，d的单位为库仑的单位为库仑/牛顿（牛顿（C/N），），这正是正压电效应还有一个逆压电效应，既施加电场这正是正压电效应还有一个逆压电效应，既施加电场E时成比例时成比例地产生应变地产生应变S，其所产生的应变为膨胀或为收缩取决于样品的极化，其所产生的应变为膨胀或为收缩取决于样品的极化方向 S=dE 式中，式中，d的单位为米的单位为米/伏（伏（m/v）上面两式中的比例）上面两式中的比例常数常数d称为压电应变常数。

对于正和逆压电效应来讲，称为压电应变常数对于正和逆压电效应来讲，d在数值上是在数值上是相同的Q对于企图用来产生运动或振动对于企图用来产生运动或振动(例如，声纳和超声换能器例如，声纳和超声换能器)的材料来的材料来说，希望具有大的压电应变常数说，希望具有大的压电应变常数d另一个常用的压电常数是压电另一个常用的压电常数是压电电压常数电压常数g，它表示内应力所产生的电场，或应变所产生的电位移，它表示内应力所产生的电场，或应变所产生的电位移的关系常数的关系常数g与常数与常数d之间的关系如下：之间的关系如下：g=d/e 此外，还有不常用此外，还有不常用的压电应力常数的压电应力常数e和压电劲度常数和压电劲度常数h；；e把应力把应力T和电场和电场E联系起来，联系起来，而而h把应变把应变S和电场和电场E联系起来，既联系起来，既T=-eE ; E=-hSSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ压电矩阵压电矩阵     可以定义可以定义[e]型（压电应力矩阵）或型（压电应力矩阵）或[d]型（压电应变矩阵）的型（压电应变矩阵）的压电矩阵压电矩阵。

[e]型矩阵典型地与刚度矩阵型矩阵典型地与刚度矩阵[c]的各向异性弹性输的各向异性弹性输入有关，而入有关，而[d]矩阵与柔度矩阵矩阵与柔度矩阵[s]的输入相关的输入相关 [e]矩阵和矩阵和[d]矩矩阵使用下列数据表输入：阵使用下列数据表输入：2D情况情况3D情况情况School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ大多数已公布的压电材料的大多数已公布的压电材料的[e]矩阵数据都是基于矩阵数据都是基于IEEE标准标准按照按照x,y,z,yz,xz,xy的顺序，而的顺序，而ANSYS的输入数据是按照的输入数据是按照x,y,z,xy,yz,xz的顺序也就是说，输入该参数时必须通过改的顺序也就是说，输入该参数时必须通过改变剪切项的行数据以转换到变剪切项的行数据以转换到ANSYS数据格式数据格式Ansys中中e矩阵的输入矩阵的输入School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ刚度矩阵和柔度矩阵的输入与其它材料相同刚度矩阵和柔度矩阵的输入与其它材料相同School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA7.1  ANSYS 中中 PLANE13 单元单元QANSYS 中中 PLANE13 单元为单元为 4节点四边形单元，节点四边形单元，每个节点最多有每个节点最多有 4 个自由度，该单元也可以退化个自由度，该单元也可以退化为为 3 节点三角形单元。

在用于纯结构分析时，具节点三角形单元在用于纯结构分析时，具有大变形和应力刚度能力当有大变形和应力刚度能力当 PLANE13 单元用单元用于模拟压电传感器于模拟压电传感器/致动器时，在非退化状态下致动器时，在非退化状态下该单元为具有该单元为具有 12 个自由度的四边形单元，每个个自由度的四边形单元，每个节点包含两个位移节点包含两个位移( x方向和方向和 y 方向方向)自由度和一自由度和一个压电自由度，单元形状和节点信息如下图个压电自由度，单元形状和节点信息如下图 所示所示School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAPLANE13 单元单元7.1  ANSYS 中中 PLANE13 单元单元School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA7.1  ANSYS 中中 PLANE13 单元单元Q单元节点位移向量为：单元节点位移向量为：Q将单元内部任意点的位移和电压用节点位移向量将单元内部任意点的位移和电压用节点位移向量表示为：表示为：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA7.1  ANSYS 中中 PLANE13 单元单元Q其中，其中，u 为沿为沿 x 轴方向位移，轴方向位移，v 为沿为沿 y 轴方向位轴方向位移，移，φ 为节点电压自由度，单元形状函数为节点电压自由度，单元形状函数 Ni为为    式中，式中，s、、 t ∈∈[-1,1]，为单元的正则化自然坐标。

为单元的正则化自然坐标 School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA7.1  ANSYS 中中 PLANE13 单元单元Q根据线弹性应变位移物理方程可得单元内部应变根据线弹性应变位移物理方程可得单元内部应变与单元节点位移的关系式分别为：与单元节点位移的关系式分别为：    其中其中School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA7.1  ANSYS 中中 PLANE13 单元单元 单元应变可简化为单元应变可简化为同理根据电压电场关系可得电场强度与单元节点电压同理根据电压电场关系可得电场强度与单元节点电压的关系式为：的关系式为：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA7.1  ANSYS 中中 PLANE13 单元单元其中其中对于压电平面问题，通常压电材料的极化方向为沿厚对于压电平面问题，通常压电材料的极化方向为沿厚度度 y 方向极化，假定压电层中电压在厚度方向极化，假定压电层中电压在厚度 y 方向为线方向为线性分布，单元内部的电场强度为常数，设压电层厚度性分布，单元内部的电场强度为常数，设压电层厚度为为 tp，则可得电场强度，则可得电场强度 Ee为：为： School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA7.2  ANSYS 中中 SOLID5 单元单元QSOLID5 单元为单元为 8 节点六面体实体耦合压电场单元，每个节点六面体实体耦合压电场单元，每个节点最多有节点最多有6 个自由度，当将个自由度，当将 SOLID5 单元用于模拟压电单元用于模拟压电传感器传感器/致动器时，该单元为具有致动器时，该单元为具有 32 个自由度的实体单元，个自由度的实体单元，每个节点包含三个位移每个节点包含三个位移( x 方向、方向、 y 方向和方向和 z 方向方向)自由度和自由度和一个压电自由度，单元形状和节点信息如下图一个压电自由度，单元形状和节点信息如下图  所示。

所示 SOLID5 单元单元School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA7.2  ANSYS 中中 SOLID5 单元单元Q单元节点位移向量为：单元节点位移向量为：Q将单元内部任意点的位移和电压用节点位移向量表将单元内部任意点的位移和电压用节点位移向量表示为：示为：其中，其中，u 为沿为沿 x 轴方向位移，轴方向位移，v 为沿为沿 y 轴方向位移，轴方向位移，φ 为为节点电压自由度，单元形状节点电压自由度，单元形状函数函数 Ni如下：如下： School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA7.2  ANSYS 中中 SOLID5 单元单元Q式中：式中：s、、 t ∈∈[-1,1]，为单元的正则化自然坐标，为单元的正则化自然坐标.School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ根据线弹性应变位移物理方程可得单元内部应变根据线弹性应变位移物理方程可得单元内部应变与单元节点位移的关系式分别为：与单元节点位移的关系式分别为：    其中其中7.2  ANSYS 中中 SOLID5 单元单元School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA7.2  ANSYS 中中 SOLID5 单元单元School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA 单元应变可简化为单元应变可简化为同理根据电压电场关系可得电场强度与单元节点电压同理根据电压电场关系可得电场强度与单元节点电压的关系式为：的关系式为：其中其中 7.2  ANSYS 中中 SOLID5 单元单元School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA对于三维压电问题，通常压电材料的极化方向为沿对于三维压电问题，通常压电材料的极化方向为沿厚度厚度 z 方向极化，假定压电层中电压在厚度方向极化，假定压电层中电压在厚度 z 方向为方向为线性分布，单元内部的电场强度为常数，设压电层线性分布，单元内部的电场强度为常数，设压电层厚度为厚度为 t p，则可得电场强度，则可得电场强度 Ee为：为： 7.2  ANSYS 中中 SOLID5 单元单元School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAEND, THANKS!。