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第第1章章 绪论绪论【【内容提要内容提要】】    本章介绍结构的概念及分类，阐述建筑力学的研究对象和基本任务 1、了解建筑力学的研究对象 2、了解建筑力学的基本任务 【【学习目标学习目标】】1.1 建筑力学的研究对象建筑力学的研究对象•1.1.1 结构的概念结构的概念• 建筑工程中的各类建筑物，在建造及使用过程中都要承受各种力的作用工程中习惯把主动作用于建筑工程中习惯把主动作用于建筑物上的外力称为物上的外力称为荷载荷载例如重力、风压力、水压力、土压力、车辆对桥梁的作用力和地震对建筑物的作用力等都属于荷载在建筑物中承受和传递荷载而起骨在建筑物中承受和传递荷载而起骨架作用的部分或体系称为建筑结构架作用的部分或体系称为建筑结构，简称结构结构图1.1所示由屋架、柱子、吊车梁、屋面板及基础等构件组成了工业厂房结构•最简单的结构可以是一根梁或一根柱，例如图1.1中的吊车梁、柱等但往往一个结构是由多个结构元件所组成，这些结构元件称为构件构件•1.1.2 结构的分类结构的分类•工程中结构的类型是多种多样的，可按不同的观点进行分类•1.  按几何特征分类•    （1）杆件结构•由杆件组成的结构称为杆件结构杆件结构。

杆件的几何特征是它的长度l远大于其横截面的宽度b和高度h［图1.2（a）］ 图1.2•横截面横截面和轴线轴线是杆件的两个主要几何因素，前者指的是垂直于杆件长度方向的截面，后者则为所有横截面形心的连线（图1.3）如果杆件的轴线为直线，则称为直杆直杆［图1.3（a）］；若为曲线，则称为曲杆曲杆［图1.3（b）］图1.1所示工业厂房、图1.4所示房屋框架、图1.5所示楼盖中主次梁、图1.6所示桥梁和图1.7所示钢筋混凝土屋架等都是杆件结构•横截面横截面和轴线轴线是杆件的两个主要几何因素，前者指的是垂直于杆件长度方向的截面，后者则为所有横截面形心的连线（图1.3）如果杆件的轴线为直线，则称为直杆直杆［图1.3（a）］；若为曲线，则称为曲杆曲杆［图1.3（b）］•图1.1所示工业厂房、图1.4所示房屋框架•图1.5所示楼盖中主次梁 •图1.6所示桥梁和图1.7所示钢筋混凝土屋架等都是杆件结构 •（2）板壳结构•由薄板或薄壳组成的结构称为板壳结构板壳结构薄板和薄壳的几何特征是它们的长度l和宽度b远大于其厚度δ［图1.2（b、c）］当构件为平面状时称为薄板［图1.2（b）］；当构件为曲面状时称为薄壳［图1.2（c）］。

板壳结构也称为薄壁结构薄壁结构 •图1.5所示楼盖中的平板就是薄板 图1.5•图1.8所示蓄水池是由平板和柱壳组成的板壳结构 图1.8•图1.9和图1.10所示屋顶分别是三角形折板结构和长筒壳结构 •图1.11所示体育馆屋顶是薄壳结构 •（3）实体结构•如果结构的长l、宽b、高h三个尺度为同一量级，则称为实体结构实体结构［图1.2（d）］例如挡土墙（）、水坝（）和块形基础等都是实体结构图1.12图1.13•除了上面三类结构外，在工程中还会遇到悬索结构（图1.14）、充气结构等其它类型的结构•2.  按空间特征分类•（1）平面结构•凡组成结构的所有构件的轴线及外力都在同一平面内，这种结构称为平面结构平面结构（图1.6，图1.7，图1.14）•（2）空间结构•凡组成结构的所有构件的轴线及外力不在同一平面内，这种结构称为空间结构空间结构（图1.1，图1.4，图1.5，图1.8～图1.13））•实际结构都是空间的，但在计算时，根据其实际受力特点，有许多可简化为平面结构来处理，例如图1.1所示厂房结构（参看2.3）但有些空间结构不能简化为平面结构，必须按空间结构来分析•1.1.3 建筑力学的研究对象建筑力学的研究对象•在建筑工程中，杆件结构是应用最为广泛的结构形式。

杆件结构可分为平面杆件结构平面杆件结构和空间杆件结构空间杆件结构两类建筑力学的主要研究对象是杆件结构本书主要研究平面杆件结构•各种建筑物在正常工作时总是处于平衡状态平衡状态所谓平平衡状态是指物体相对于地球处于静止或作匀速直线运衡状态是指物体相对于地球处于静止或作匀速直线运动的状态动的状态一般地，处于平衡状态的物体上所受的力不止一个而是若干个，我们把这若干个力总称为力系力系能使物体保持平衡状态的力系称为平衡力系平衡力系平衡力系所必须满足的条件称为力系的平衡条件平衡条件•        结构在荷载作用下处于平衡状态，作用于结构及各构件上的外力构成了各种力系建筑力学首先要研究各种力系的简化及平衡条件根据这些平衡条件，可以由作用于结构上的已知力求出各未知力，这个过程称为静力分析静力分析静力分析是对结构和构件进行其他力学计算的基础•        结构的主要作用是承受和传递荷载在荷载作用下结构的各构件内部会产生内力并伴有变形要使建筑物按预期功能正常工作，必须满足以下基本要求：•       1）结构和构件应具有足够的强度足够的强度所谓强度是指结构和构件抵抗破坏的能力如果结构在预定荷载作用下能安全工作而不破坏，则认为它满足了强度要求。

•       2）结构和构件应具有足够的刚度足够的刚度所谓刚度是指结构和构件抵抗变形的能力一个结构受荷载作用，虽然有了足够的强度，但变形过大，也会影响正常使用例如屋面檩条变形过大，屋面会漏水；吊车梁变形过大，吊车就不能正常行驶如果结构在荷载作用下的变形在正常使用允许的范围内，则认为它满足了刚度要求•      3）结构和构件应具有足够的稳定性足够的稳定性所谓稳定性是指结构和构件保持原有平衡状态的能力例如受压的细长柱子，当压力增大到一定数值时，柱子就不能维持原来直线形式的平衡状态，就会突然弯曲，从而导致结构破坏，这种现象称为“失稳失稳”如果结构的各构件在荷载作用下能够保持其原有的平衡状态，则认为它满足了稳定性要求•      4）构件必须按一定几何组成规律组成结构，以确保在预定荷载作用下，结构能维持其原有的几何形状•       综合上述，建筑力学的基本任务就是研究结构的强建筑力学的基本任务就是研究结构的强度、刚度和稳定性问题，为此提供相关的计算方法和度、刚度和稳定性问题，为此提供相关的计算方法和实验技术，为构件选择合适的材料、合理的截面形式实验技术，为构件选择合适的材料、合理的截面形式及尺寸，以及研究结构的几何组成规律和合理形式，及尺寸，以及研究结构的几何组成规律和合理形式，以确保安全和经济两方面的要求以确保安全和经济两方面的要求。

•       •       建筑力学是建筑工程类专业的一门重要的技术基础课程，是研究建筑结构力学计算理论和方法的科学，也是从事建筑设计和施工的工程技术人员应具备的必不可少的基础理论本章小结和学习要求本章小结和学习要求•1. 了解结构的概念和结构的分类，了解建筑力学的主要研究对象•（1）在建筑物中承受和传递荷载而起骨架作用的部分或体系称为结构•（2）结构按其几何特征可分为杆件结构、板壳结构和实体结构，按其空间特征可分为平面结构和空间结构•（3）建筑力学的主要研究对象是杆件结构本课程主要研究平面杆件结构•2. 了解平衡状态和平衡力系等概念•（1）平衡状态是指物体相对于地球处于静止或作匀速直线运动的状态•（2）能使物体保持平衡状态的力系称为平衡力系•3. 了解结构的静力分析、强度、刚度、稳定性和几何组成的含义，了解建筑力学的基本任务•（1）由作用于结构上的已知力求出各未知力的过程称为静力分析•（2）强度是指结构和构件抵抗破坏的能力刚度是指结构和构件抵抗变形的能力稳定性是指结构和构件保持原有平衡状态的能力•（3）构件必须按一定几何组成规律组成结构，以确保在预定荷载作用下，结构能维持其原有的几何形状。

  •（4）建筑力学的基本任务是研究结构的强度、刚度和稳定性问题为此提供相关的计算方法和实验技术为构件选择合适的材料、合理的截面形式及尺寸以及研究结构的几何组成规律和合理形式以确保安全和经济两方面的要求第第2章章 结构的计算简图结构的计算简图【【内容提要内容提要】】•      本章介绍刚体、变形固体，力、力矩和力偶等基本概念，以及静力学公理等基本定理与工具分析工程中常见约束的特点和约束力的性质，重点介绍结构计算简图的选取，结构的受力分析方法和受力图的画法 1、了解刚体和变形体的概念理解力的概念和静力学公理理解力矩的概念理解力偶的概念和性质2、理解约束和约束力的概念，掌握工程中常见约束的性质、简化表示和约束力的画法3、了解结构计算简图的概念，掌握杆件结构计算简图的选取方法4、熟练掌握物体的受力分析和正确绘出受力图学习目标学习目标】】•2.1.1 刚体和变形体刚体和变形体• 所谓刚体是指在外力的作用下，其内部任意两点之所谓刚体是指在外力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体间的距离始终保持不变的物体这是一个理想化的力学模型实际上物体在受到外力作用时，其内部各点间的相对距离都要发生改变，从而引起物体形状和尺寸的改变，即物体产生了变形。

当物体的变形很小时，变形对研究物体的平衡和运动规律的影响很小，可以略去不计，这时可把物体抽象为刚体，从而使问题的研究大为简化 2.1 力与力偶力与力偶•     但当研究的问题与物体的变形密切相关时，即使是极其微小的变形也必须加以考虑，这时就必须把物体抽象为变形体变形体这一力学模型例如，在研究结构或构件的平衡问题时，我们可以把它们视为刚体；而在研究结构或构件的强度、刚度和稳定性问题时，虽然结构或构件的变形非常微小，但必须把它们看作可以变形的物体•2.1.2 力的概念力的概念•1.力的概念•力是物体间的相互机械作用力是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的运动这种作用使物体的运动状态或形状发生改变状态或形状发生改变•力的概念是从劳动中产生的人们在生活和生产中，由于对肌肉紧张收缩的感觉，逐渐产生了对力的感性认识随着生产的发展，又逐渐认识到：物体运动状态和形状的改变，都是由于其他物体对该物体施加力的结果•      这些力有的是通过物体间的直接接触产生的，例如风对物体的作用力、物体之间的压力、摩擦力等有的是通过“场”对物体的作用，如地球引力场对物体产生的重力、电场对电荷产生的引力或斥力等。

虽然物体间这些相互作用力的来源和和产生的物理本质不同，但它们对物体作用的结果都是使物体的运动状态或形状发生改变，因此，将它们概括起来加以抽象而形成了“力”的概念           •2.力的效应力的效应•      力对物体的作用结果称为力的效应力的效应力使物体运动状态发生改变的效应称为运动效应运动效应或外效应外效应；力使物体的形状发生改变的效应称为变形效应变形效应或内效应内效应•      力的运动效应又分为移动效应移动效应和转动效应转动效应例如，球拍作用于乒乓球上的力如果不通过球心，则球在向前运动的同时还绕球心转动前者为移动效应，后者为转动效应•3.力的三要素•实践证明，力对物体的作用效应取决于力的大小、方向和作用点，称为力的三要素力的三要素•在国际单位制(SI)中，力的单位为N（牛顿）或kN（千牛顿）•力的方向包含方位和指向例如，力的方向“铅垂向下”，其中“铅垂”是说明力的方位，“向下”是说明力的指向•      力的作用点是力在物体上的作用位置实际上，力的作用位置不是一个点而是一定的面积，但当力作用的面积与物体表面的尺寸相比很小以至可以忽略时，就可近似地看成一个点作用于一点上的力称为集中集中力力。

•     •      当力分布在一定的体积内时，称为体分布力体分布力，例如物体自身的重力当力分布在一定面积上时，称为面面分布力分布力；当力沿狭长面积或体积分布时，称为线分布线分布力力分布力的大小用力的集度力的集度表示体分布力集度的单位为N/m3或kN/m3；面分布力集度的单位为N/m2或kN/m2；线分布力集度的单位为N/m或kN/m•4.力的表示力的表示•力既有大小又有方向，因而力是矢量对于集中力，我们可以用带有箭头的直线段表示（图2.1）该线段的长度按一定比例尺绘出表示力的大小；线段的箭头指向表示力的方向；线段的始端［图2.1（a）］或终端［图2.1（b）］表示力的作用点；矢量所沿的直线（图2.1中的虚线）称为力的作用线力的作用线规定用黑体字母F表示力，而用普通字母F表示力的大小图图2.1 •       分布力的集度通常用q表示若q为常量，则该分布力称为均布力均布力；否则，就称为非均布力非均布力图2.2（a）表示作用于楼板上的向下的面分布力；图2.2（b）表示搁置在墙上的梁沿其长度方向作用着向下的线分布力，其集度q=2kN/m；它们都是均布力图2.2（c）表示作用于挡土墙单位长度墙段上的土压力，图2.2（d）表示作用于地下室外墙单位长度墙段上的土压力和地下水压力，它们都是非均布的线分布力。

 •5.等效力系、合力的概念•       作用于一个物体上的若干个力称为力系如果两个力系对物体的运动效应完全相同，则该两个力系称为等效力系等效力系如果一个力与一个力系等效，则此力称为该力系的合力合力，而该力系中的各力称为合力的分力分力•2.1.3  静力学公理静力学公理•       静力学公理是人们从长期的观察和实践中总结出来，又经过实践的反复检验，证明是符合客观实际的普遍规律它们是研究力系简化和平衡的基本依据现介绍如下•1.  二力平衡公理• 作用于同一刚体上的两个力作用于同一刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必使刚体保持平衡的必要和充分条件是这两个力的大小相等要和充分条件是这两个力的大小相等、方向相反方向相反、且且作用在同一直线上作用在同一直线上•受两个力作用处于平衡的构件称为二力构件二力构件•2.  加减平衡力系公理• 在作用于刚体上的任意力系中在作用于刚体上的任意力系中，增加或减少任一平增加或减少任一平衡力系衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应并不改变原力系对刚体的作用效应•根据上述公理可以得到如下推论：作用于刚体上的力作用于刚体上的力可以沿其作用线移动到该刚体上任一点，而不改变力可以沿其作用线移动到该刚体上任一点，而不改变力对刚体的作用效应对刚体的作用效应。

这一推论称为力的可传性原理力的可传性原理证明证明： •必须指出，二力平衡公理、加减平衡力系公理及其推论只适用于刚体，不适用于变形体例如，绳索的两端若受到大小相等、方向相反、沿同一条直线的两个拉力的作用，则其保持平衡；如把两个拉力改为压力则其不会平衡[图2.4(a)]又如变形杆AB在平衡力系F1、F2作用下产生拉伸变形[图2.4（b）]，若除去这一对平衡力，则杆就不会发生变形；若将力F1、F2分别沿作用线移到杆的另一端，则杆产生压缩变形[图2.4（c）]•3.  力的平行四边形法则•作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向，由以这合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向，由以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线确定两个力为邻边构成的平行四边形的对角线确定［图2.5（a）］，其矢量表达式为•FR＝F1＋F2                                 （2.1）                              •有时为了方便，可由A点作矢量F1，再由F1的末端作矢量F2，则矢量AC即为合力FR［图2.5（b）］。

这种求合力的方法称为力的三角形法则力的三角形法则•      依据以上公理，可以推导出三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理即：刚体在三个力作用下处于平衡状态刚体在三个力作用下处于平衡状态，若其中两个力的若其中两个力的作用线汇交于一点作用线汇交于一点，则第三个力的作用线也通过该汇则第三个力的作用线也通过该汇交点交点，且此三力的作用线在同一平面内且此三力的作用线在同一平面内（图2.6）证明证明： •       必须指出，三力平衡汇交定理给出的是不平行的三个力平衡的必要条件，而不是充分条件，即该定理的逆定理不一定成立 •4.  作用与反作用定律• 两物体之间的作用力和反作用力总是同时存在两物体之间的作用力和反作用力总是同时存在，而而且两力的大小相等且两力的大小相等、方向相反方向相反、沿着同一直线分别作沿着同一直线分别作用于该两个物体上用于该两个物体上•        这个定律概括了物体间相互作用的关系，表明作用力和反作用力总是成对出现的应该注意，作用力与反作用力分别作用于两个物体上，它们不构成平衡力系•5.  刚化原理• 如果把在某一力系作用下处于平衡的变形体刚化为如果把在某一力系作用下处于平衡的变形体刚化为刚体刚体，则该物体的平衡状态不会改变则该物体的平衡状态不会改变。

•由此可知，作用于刚体上的力系所必须满足的平衡条件,在变形体平衡时也同样必须遵守但刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件•2.1.4 力矩的概念力矩的概念•       用扳手拧螺母时，作用于扳手上的力F使扳手绕螺母中心O转动（图2.7），其转动效应不仅与力的大小和方向有关，而且与O点到力作用线的距离d有关如果手握扳手柄端，并沿垂直于手柄的方向施力，则较省劲；如果手离螺母中心较近，或者所施的力不垂直于手柄，则较费劲拧松螺母时，则要反向施力，扳手也反向转动•     因此，把乘积Fd冠以适当正负号作为力F使物体绕O点转动效应的度量，称为力力F对点对点O之矩之矩，简称力矩力矩，用MO (F)表示，即MO (F)＝±Fd   •O点称为矩心矩心，d称为力臂力臂式中的正负号用来区别力F使物体绕O点转动的方向，并规定：力F使物体绕O点逆时针转动时为正，反之为负•由图2.7可知，力F对点O之矩也可以用△OAB面积的两倍来表示，即•MO (F)＝±2A△OAB  (2.2a）•力矩是一代数量，其单位为N·m或 kN·m•由式（2.2a）可知，当力等于零或力的作用线通过矩心（d = 0）时力矩为零。

       设在同一平面内有n个力F1，F2，…，Fn，其合力为FR，则合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和这个关系称为合力矩定理合力矩定理，即           MO（FR）＝MO（F1）＋MO（F2）＋…＋MO（Fn）＝ MO（Fi） 2.1.5  合力矩定理 ●在许多情况下应用合力矩定理计算力对点之矩较为在许多情况下应用合力矩定理计算力对点之矩较为简便证明：证明：       就两个力两个力的简单情况进行证明设力F1、F2作用于物体上A点，其合力为FR任取一点O为矩心，取过O点并与OA垂直的直线为x轴，过各力矢端B、C、D作x轴的垂线，设垂足分别为b、c、d各力对点O之矩分别为ODcbdxACBF2F1FR MO（F1）＝－2A△OAB＝－OA·Ob MO（F2）＝－2A△OAC＝－OA·Oc MO（FR）＝－2A△OAD＝－OA·Od因                         Od＝Ob＋Oc故       MO（FR）＝MO（F1）＋MO（F2）ODcbdxACBF2F1FR• 对于有合力的其他力系，合力矩定理同样成立。

在对于有合力的其他力系，合力矩定理同样成立在许多情况下应用合力矩定理计算力对点之矩较为简便许多情况下应用合力矩定理计算力对点之矩较为简便• 【【例例2.1】】 挡土墙（图2.9）重W1 =30 kN、W2 =60 kN，所受土压力的合力F =40 kN试问该挡土墙是否会绕A点向左倾倒？•【【解解】】 计算各力对A点的力矩•    MA(W1)＝－W1×0.2 m＝－30 kN×0.2 m＝－6 kＮm•MA(W2)＝－W2×（0.4＋0.533）m＝－60 kN×0.933 m＝－56 kＮm•MA(F)＝MA(Fx)＋ MA(Fy)•＝Fcos45°×1.5m－Fsin45°×（2－1.5cot70°）m•＝40 kN×0.707×1.5 m－40 kN×0.707×1.454 m•＝42.42 kＮm－41.12 kＮm＝1.3 kＮm•其中力F对A点的力矩是根据合力矩定理计算的各力对A点力矩的代数和为•MA＝MA(W1)＋MA(W2)＋MA(F)•＝－6 kＮm－56 kＮm＋1.3 kＮm＝－60.7 kＮm•     负号表示各力使挡土墙绕A点作顺时针转动，即挡土墙不会绕A点向左倾倒。

•      挡土墙的重力以及土压力的竖向分力对A点的力矩是使墙体稳定的力矩，而土压力的水平分力对A点的力矩是使墙体倾覆的力矩•2.1.6 力偶的概念力偶的概念•      在日常生活中，经常会遇到物体受大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力作用的情形例如，汽车司机用双手转动方向盘［图2.10（a）］，两人推动绞盘横杆［图2.10（b）］等 •      实践证明，物体在这样的两个力作用下只产生转动效应，不产生移动效应把这种由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系称为力偶力偶，记为（F，F′）力偶所在的平面称为力偶的作用面力偶的作用面，组成力偶的两力之间的距离称为力偶臂力偶臂•2.1.7 力偶矩的计算力偶矩的计算•在力偶的作用面内任取一点O为矩心（图2.11），点O与力F的距离为x，力偶臂为d力偶的两个力对点O之矩的和为•       MO（F）＋ MO（F ）＝－F x＋F （x+d）＝Fd这一结果与矩心的位置无关这一结果与矩心的位置无关 •    因此，把力偶的任一力的大小与力偶臂的乘积冠以适当的正负号，作为力偶使物体转动效应的度量，称为力偶矩力偶矩，用M表示。

即•                                  M ＝±Fd                                    (2.4)•式中的正负号表示力偶的转向，规定力偶使物体逆时针方向转动时为正，反之为负•力偶矩的单位与力矩的单位相同•       实践表明，力偶对物体的转动效应决定于力偶矩的大小、转向和力偶作用面的方位，这三者称为力偶的力偶的三要素三要素•2.1.8 力偶的性质力偶的性质•力偶作为一种特殊的力系，具有如下性质：•（1）力偶对物体不产生移动效应，因此力偶没有合力一个力偶既不能与一个力等效，也不能与一个力平衡力与力偶是表示物体间相互机械作用的两个基本元素•（2）由于力偶只使物体产生转动效应，而力偶矩是力偶使物体产生转动效应的度量，因此，作用于刚体的同一平面内的两个力偶等效的充分必要条件是力偶矩彼此相等•（3）只要力偶矩保持不变，力偶可在其作用面内任意搬移，或者可以同时改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短，力偶对刚体的效应不变•根据这一性质，力偶除了用其力和力偶臂表示外［图2.12（a）］，也可以用力偶矩表示［图2.12（b、c）］。

图中箭头表示力偶矩的转向，M则表示力偶矩的大小2.2.1 约束与约束反力的概念约束与约束反力的概念 自由体自由体——在空间可以任意运动，位移不受任何限制的物体，例如在空中飞行的飞机、炮弹和火箭等 非自由体非自由体——如果受到某种限制，在某些方向不能运动的物体，例如用绳子挂起的重物、行驶在铁轨上的机车等2.2 约束与约束反力约束与约束反力 约束约束——对于非自由体的某些位移起限制作用的条件（或周围物体）例如，绳子为重物的约束，铁轨为机车的约束 约束反力约束反力(约束力约束力或反力反力)——约束对被约束物体作用的力约束反力的作用点是约束与物体的接触点，方向与该约束所能够限制物体运动的方向相反 主动力或主动力或( (荷载荷载) )——能主动地使物体运动或有运动趋势的力，例如重力、水压力、切削力等约束反力由主动力的作用而引起 2.2.2 工程中常见的约束与约束反力工程中常见的约束与约束反力 1. 柔索柔索 绳索、链条、胶带等柔性物体都可以简化为柔索约束这种约束的特点是只能限制物体沿柔索伸长方向的运动。

因此，柔索的约束反力的方向只能沿柔索柔索的约束反力的方向只能沿柔索的中心线且背离物体，即为拉力的中心线且背离物体，即为拉力FTF FA AFB 2. 光滑接触面光滑接触面 当两物体的接触面之间的摩擦力很小、可忽略不计，就构成光滑接触面约束光滑接触面只能限制被约束物体沿接触点处公法线朝接触面方向的运动，而不能限制沿其他方向的运动因此，光滑接触面的约束反力只能沿接触面在接触点处的公法线，且指向被约束物体，即为压力压力这种约束反力也称为法向反力法向反力 3. 光滑铰链光滑铰链 在两个构件上各钻有同样大小的圆孔，并用圆柱形销钉连接起来如果销钉和圆孔都是光滑的，那么销钉只限制两构件在垂直于销钉轴线的平面内相对移动，而不限制两构件绕销钉轴线的相对转动这样的约束称为光滑铰链，简称铰铰链或铰链或铰         铰链约束反力作用在垂直于销钉轴线的平面内，通过圆孔中心，方向由系统的构造与受力状态确定（以下简称方向待定）通常用两个正交分力Fx和Fy来表示铰链约束反力，两分力的指向是假定的两分力的指向是假定的 4. 固定铰支座固定铰支座 用铰链连接的两个构件中，如果其中一个是固定在基础或静止机架上的支座，则这种约束称为固定铰支座，简称铰支铰支座座。

 固定铰支座的约束反力与铰链的情形相同图（图（b～～e)为固定铰支座的简化表示为固定铰支座的简化表示5. 活动铰支座活动铰支座 如果在支座与支承面之间装上几个滚子，使支座可以沿着支承面运动，就成为活动铰支座，也称为辊轴辊轴支座支座 这种支座只限制构件沿支承面法线方向的移动，不限制构件沿支承面的移动和绕销定轴线的转动因此，活动铰支座的约束反力垂直于支承面，通过铰链中心，活动铰支座的约束反力垂直于支承面，通过铰链中心，指向待定指向待定图（图（b～～d)为活动铰支座的简化表示为活动铰支座的简化表示6. 定向支座定向支座         定向支座能限制构件的转动和垂直于支承面方向的移动，但允许构件沿平行于支承面的方向移动       定向支座的支座反力为垂直于支承面的反力FN和反力偶矩M当支承面与构件轴线垂直时，定向支座的反力为水平方向 图图(b)、图、图(c) 为定向支座的简化表示和约束反力表为定向支座的简化表示和约束反力表示示7. 固定端固定端 如果静止的物体与构件的一端紧密相连，使构件既不能移动，又不能转动，则构件所受的约束称为固定端约束固定端约束。

 固定端约束反力为一个方向待定的力和一个转向待定的力偶图图(b) 为固定端支座的简化表示为固定端支座的简化表示 ●工程实际中的约束往往比较复杂，必须根据具体工程实际中的约束往往比较复杂，必须根据具体实际情况分析约束对物体运动的限制，然后确定其约束实际情况分析约束对物体运动的限制，然后确定其约束反力 2.3.1 结构计算简图的概念结构计算简图的概念 工程中结构的实际构造比较复杂，其受力及变形情况也比较复杂，完全按照结构的实际工作状态进行分析往往是困难的因此，在进行力学计算前，必须先将实际结构加以简化，分清结构受力、变形的主次，抓住主要因素，忽略一些次要因素，将实际结构抽象为既能反映结构的实际受力和变形特点又便于计算的理想模型，称为结构的计结构的计算简图算简图 2.3  2.3  结构的计算简图结构的计算简图2.3.2 杆件结构的简化杆件结构的简化 1. 结构的简化结构的简化 结构的简化包括两方面的内容：一个是结构体系的简化，另一个是结构中杆件的简化结构体系的简化是把有些实际空间整体的结构，简化或分解为若干平面结构；杆件则用其轴线表示，直杆简化为直线，曲杆简化为曲线。

 2. 结点的简化结点的简化        结构中各杆件间的相互连接处称为结点结点可简化为以下两种基本类型        （（1）铰结点）铰结点          铰结点的特征是所连各杆都可以绕结点自由转动，即在结点处各杆之间的夹角可以改变         （（2）刚结点）刚结点           刚结点的特征是所连各杆不能绕结点作相对转动，即各杆之间的夹角在变形前后保持不变 ●当一个结点同时具有以上两种结点的特征时，当一个结点同时具有以上两种结点的特征时，称为称为组合结点组合结点，即在结点处有些杆件为铰接，同时也，即在结点处有些杆件为铰接，同时也有些杆件为刚性连接有些杆件为刚性连接 3. 支座的简化支座的简化        把结构与基础或支承部分连接起来的装置称为支座支座平面结构的支座根据其支承情况的不同可简化为固定铰固定铰支座支座、、活动铰支座活动铰支座、、定向支座定向支座和和固定端支座固定端支座对于重要结构，如公路和铁路桥梁，通常制作比较正规的典型支座，以使支座反力的大小和作用点的位置能够与设计情况较好地符合；对于一般结构，则往往是一些比较简单的非典型支座，这就必须将它们简化为相应的典型支座。

下面举例说明  4.荷载的简化荷载的简化·      作用于结构上的荷载通常简化为集中荷载和分布荷载集中荷载和分布荷载分布荷载可分为体分布荷载、面分布荷载和线分布荷载分布荷载还可分为均布荷载和非均布荷载作用于结构上的荷载可分为恒载和活载恒载是指长期作用于结构上的不变荷载，如结构的自重活载是指暂时作用于结构上的可变荷载，如人群荷载、车辆荷载、风荷载、雪荷载等           活载又可分为定位活载和移动荷载定位活载是指方向和作用位置固定，但其大小可以改受的荷载，如风荷载、雪荷载移动荷载是指大小和方向不变，但其作用位置可以改变的荷载，如人群荷载、车辆荷载 •       作用于结构上的荷载还可分为静力荷载静力荷载和动力荷载动力荷载静力荷载是指其大小、方向和作用位置不随时间变化或变化极为缓慢的荷载，如结构的自重、水压力和土压力等动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间迅速变化的荷载，如冲击荷载、突加荷载以及动力机械运动时产生的荷载等有些动力荷载如车辆荷载、风荷载和地震作用荷载等，一般可将其大小扩大若干倍后按静力荷载处理，但在特殊情况下要按动力荷载考虑 【【例例2.2】】 试选取图示单层工业厂房的计算简图。

试选取图示单层工业厂房的计算简图 素混凝土垫层素混凝土垫层 该单层工业厂房是由许多横向平面单元，通过屋该单层工业厂房是由许多横向平面单元，通过屋面板和吊车梁等纵向构件联系起来的空间结构由于各面板和吊车梁等纵向构件联系起来的空间结构由于各个横向平面单元相同，且作用于结构上的荷载一般又是个横向平面单元相同，且作用于结构上的荷载一般又是沿厂房纵向均匀分布的，因此作用于结构上的荷载可通沿厂房纵向均匀分布的，因此作用于结构上的荷载可通过纵向构件分配到各个横向平面单元上过纵向构件分配到各个横向平面单元上 1) 结构体系的简化结构体系的简化 【【解解】】 这样就可不考虑结构整体的空间作用，把一个这样就可不考虑结构整体的空间作用，把一个空间结构简化为若干个彼此独立的平面结构来进行空间结构简化为若干个彼此独立的平面结构来进行分析、计算分析、计算 立柱因上下截面不同，立柱因上下截面不同，可用粗细不同的两段轴线可用粗细不同的两段轴线表示屋架因其平面内刚表示屋架因其平面内刚度很大，可简化为一刚度度很大，可简化为一刚度为无限大的直杆为无限大的直杆2) 构件的简化构件的简化。

 屋架与柱顶通常采用屋架与柱顶通常采用螺栓连接或焊接，可视螺栓连接或焊接，可视为铰结点立柱下端与为铰结点立柱下端与基础连接牢固，嵌入较基础连接牢固，嵌入较深，可简化为固定端支深，可简化为固定端支座3) 结点与支座的简化结点与支座的简化 由吊车梁传到柱子上的压由吊车梁传到柱子上的压力，因吊车梁与牛腿接触面积较力，因吊车梁与牛腿接触面积较小，可用集中力小，可用集中力F1、、F2 表示；屋表示；屋面上的风荷载简化为作用于柱顶面上的风荷载简化为作用于柱顶的一水平集中力的一水平集中力F3；而柱子所受；而柱子所受水平风力，可按平面单元负荷宽水平风力，可按平面单元负荷宽度简化为均布线荷载度简化为均布线荷载4) 荷载的简化荷载的简化•【【例例2.3】】  试选取图2.25（a）所示三角形屋架的计算简图•【【解解】】  此屋架由木材和圆钢制成上、下弦杆和斜撑由木材制成，拉杆使用圆钢，对其进行简化时各杆用其轴线代替；各杆间允许有微小的相对转动，故各结点均简化为铰结点；屋架两端搁置在墙上或柱上，不能相对移动，但可发生微小的相对转动，因此屋架的一端简化为固定铰支座，另一端简化为活动铰支座。

•作用于屋架上的荷载通过静力等效的原则简化到各结点上，这样不仅计算方便，而且基本符合实际情况通过以上简化可以得出屋架的计算简图［图2.25（b）］•【【例例2.4】】  试选取图1.5所示梁板结构楼盖的计算简图•【【解解】】  1) 支座的简化楼盖中的板习惯上沿板短跨方向取1m宽板带作为计算单元［图2.26（a）］，即作为梁计算楼盖中的板、次梁、主梁为整体连接，板支承在次梁上，次梁支承在主梁上，主梁支承在墙、柱上为简化计算，板、次梁、主梁的支座都视为铰支座，如图2.26（b～d）所示•2) 荷载的简化作用在楼盖上的荷载有恒载和活载两种恒载包括结构自重、构造层重等，活载包括人群、家具等的重力，上述荷载通常按均布面荷载q0作用于板上作用于板计算单元上的荷载为q0×1m的均布线荷载［图2.26（b）］•次梁承受左右两边板上传来的均布线荷载q0×l1及次梁自重q1（均布线荷载），如图2.26（d）所示主梁承受次梁传来的集中荷载（q0×l1＋q1）×l2及主梁自重，主梁的自重为均布线荷载q2，为便于计算，一般将主梁自重折算为几个集中荷载，分别加在次梁传来的集中荷载处［图2.26（c）］。

 ●选取较合理的结构计算简图，不仅需要有丰富的选取较合理的结构计算简图，不仅需要有丰富的实践经验，还需要有较完备的力学知识，才能分析主、实践经验，还需要有较完备的力学知识，才能分析主、次要因素的相互关系对于一些新型结构往往还需要次要因素的相互关系对于一些新型结构往往还需要借助模型试验和现场实测才能确定出较合理的计算简借助模型试验和现场实测才能确定出较合理的计算简图对于工程中一些常用的结构形式，其计算简图经图对于工程中一些常用的结构形式，其计算简图经实践证明都比较合理，因此可以直接采用实践证明都比较合理，因此可以直接采用 2.4.1. 受力分析受力分析        在求解建筑工程力学问题时，一般首先需要根据问题的已知条件和待求量选择一个或几个物体作为研究对象，然后分析它受到哪些力的作用，其中哪些是已知的，哪些是未知的，此过程称为受力分析2.4.2. 对研究对象进行受力分析的步骤对研究对象进行受力分析的步骤2.4 受力分析与受力图受力分析与受力图 1）取隔离体）取隔离体将研究对象从与其联系的周围物体中分离出来，单独画出这种分离出来的研究对象称为隔离体隔离体。

2) 画主动力和约束反力画主动力和约束反力画出作用于研究对象上的全部主动力和约束反力这样得到的图称为受受力图或隔离体图力图或隔离体图  【【例例2.5】】 小车连同货物共重小车连同货物共重W，由绞车通过钢丝，由绞车通过钢丝绳牵引沿斜面匀速上升不计车轮与斜面间的摩擦，试绳牵引沿斜面匀速上升不计车轮与斜面间的摩擦，试画出小车的受力图画出小车的受力图 【【解解】】 1）取隔离体取隔离体 将小车从钢丝绳和斜面的约束中分离出来，单独画出将小车从钢丝绳和斜面的约束中分离出来，单独画出  2）画主动力画主动力 作用于小车上的主动力为作用于小车上的主动力为W，其作用点为重，其作用点为重心心C，铅垂向下铅垂向下CW 3）画约束反力画约束反力 作用于小车上的约束反力有：钢丝绳的约束反力作用于小车上的约束反力有：钢丝绳的约束反力FT，方向沿绳的方向且背离小车；斜面的约束反力，方向沿绳的方向且背离小车；斜面的约束反力FA、、FB，作用于车轮与斜面的接触点，垂直于斜面且指向，作用于车轮与斜面的接触点，垂直于斜面且指向小车。

小车CWFBFTFA【【例例2.5】】小结小结 【【例例2.6】】 在图（在图（a）所示简单承重结构中，悬挂）所示简单承重结构中，悬挂的重物重的重物重W，横梁，横梁AB和斜杆和斜杆CD的自重不计试分别的自重不计试分别画出斜杆画出斜杆CD、横梁、横梁AB及整体的受力图及整体的受力图 【【解解】】 1) 画斜杆画斜杆CD的受力图的受力图 斜杆斜杆CD两端均为铰链约束，约束反力两端均为铰链约束，约束反力FC、、 FD分别通分别通过过C点和点和D点由于不计杆的自重，故斜杆点由于不计杆的自重，故斜杆CD为二力构件为二力构件FC与与 FD大小相等、方向相反，沿大小相等、方向相反，沿C、、D两点连线本题可两点连线本题可判定判定FC、、 FD为拉力，不易判断时可假定指向为拉力，不易判断时可假定指向FCFD 2) 画横梁画横梁AB的受力图的受力图 横梁横梁AB的的B处受到主动力处受到主动力W的作用C处受到斜杆处受到斜杆CD的作用的作用力力F C ，，F C与与FC互为作用力互为作用力与反作用力与反作用力A处为固定铰支座，处为固定铰支座，约束反力用两个正交分力约束反力用两个正交分力FAx、、FAy表示，指向假定。

表示，指向假定FAyFAxF CW 3) 画整体的受力图画整体的受力图 作用于整体上的力有：主动力作用于整体上的力有：主动力W，约束反力，约束反力FD及及FAx、、FAyFAyFAxWFD 4) 讨论       1)内力与外力内力与外力本题的整体受力图中为什么不画出力FC与FC呢？这是因为FC与FC是承重结构整体内两物体之间的相互作用力，这种力称为内力内力根据作用与反作用定律，内力总是成对出现的，并且大小相等、方向相反、沿同一直线，对承重结构整体来说，FC与FC这一对内力自成平衡，不必画出因此，在画研究对象的受力图时，只需画出外部物体对研究对象的作用力，这种力称为外力外力但应注意，外力与内力不是固定不变的，它们可以随研究对象的不同而变化例如力FC与FC ，若以整体为研究对象，则为内力；若以斜杆CD或横梁AB为研究对象，则为外力        2)本题若只需画出横梁或整体的受力图，则在画本题若只需画出横梁或整体的受力图，则在画C处成处成D处的约束反力时，仍须先考虑斜杆的受力情处的约束反力时，仍须先考虑斜杆的受力情况由此可见，在画研究对象的约束反力时，一般应先观察有无与二力构件有关的约束反力，若有的话，将其先画出，然后再画其他的约束反力。

        3) 横梁横梁AB的受力图也可根据三力平衡汇交定理画出的受力图也可根据三力平衡汇交定理画出       横梁的A处为固定铰支座，其约束反力FA的方向未知，但由于横梁只受到三个力的作用，其中两个力W、FC的作用线相交于O点，因此FA的作用线也通过O点【【例例2.6】】小结小结 【【例例2.7】】 组合梁组合梁AB的的D、、E处分别受到力处分别受到力F和力和力偶偶M的作用，梁的自重不计，试分别画出整体、的作用，梁的自重不计，试分别画出整体、BC部部分及分及AC部分的受力图部分的受力图 【【解解】】 1) 画整体的受画整体的受力图 作用于整体上的力有：作用于整体上的力有：主动力主动力F、、M，约束反力，约束反力FAx、、FAy、、MA及及FB，指向与转向，指向与转向均为假定均为假定 2) 画画BC部分的受力图部分的受力图 BC部分的部分的E处受到主动力处受到主动力偶偶M的作用B处为活动铰支座，处为活动铰支座，约束反力约束反力FB垂直于支承面；垂直于支承面；C处为铰链约束，约束力处为铰链约束，约束力FC通过通过铰链中心。

由于力偶必须与力铰链中心由于力偶必须与力偶相平衡，故偶相平衡，故FB的指向向上，的指向向上，FC的方向铅垂向下的方向铅垂向下 3) 画画AC部分的受力图部分的受力图 AC部分的部分的D处受到主动处受到主动力力F的作用C处的约束反力处的约束反力为为F C，，F C与与FC互为作用互为作用力与反作用力力与反作用力A处为固定端，处为固定端，约束反力为约束反力为FAx、、FAy、、MA【【例例2.7】】小结小结•【【例例2.6】】 图2.28（a）所示的三铰拱桥由AC、BC两部分铰接而成，自重不计，在AC上作用有力F，试分别画出BC和AC的受力图【【解解】】  ●为保证受力图的正确性，不能多画力、少画力为保证受力图的正确性，不能多画力、少画力和错画力为此，和错画力为此，应着重注意以下几点应着重注意以下几点应着重注意以下几点应着重注意以下几点：： (1) 遵循约束的性质遵循约束的性质凡研究对象与周围物体相连接处，都有约束反力约束反力的个数与方向必须严格按照约束力的性质去画，当约束反力的指向不能预先确定时，可以假定 (2) 遵循力与力偶的性质遵循力与力偶的性质。

主要有二力平衡公理、三力平衡汇交定理、作用与反作用定律作用力的方向一经确定（或假定），则反作用力的方向必与之相反 (3) 只画外力，不画内力只画外力，不画内力 本章小结和学习要求本章小结和学习要求•1. 了解刚体和变形体的概念理解力的概念和静力学公理理解力矩的概念，掌握力矩的计算理解力偶的概念和性质•（1）刚体和变形体是建筑力学中两个力学模型刚体是指在外力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体在研究物体的平衡和运动规律时，若物体的变形很小，则可把物体抽象为刚体在研究结构或构件的强度、刚度和稳定性问题时，必须把物体抽象为变形体•（2）力是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态或形状发生改变力使物体运动状态发生改变的效应称为运动效应或外效应；力使物体的形状发生改变的效应称为变形效应或内效应力的运动效应又分为移动效应和转动效应力分为集中力和分布力两类•（3）静力学公理是研究力系简化和平衡的基本依据主要有：二力平衡公理、加减平衡力系公理、力的平行四边形法则、作用与反作用定律和刚化原理•4）力矩是力使物体绕一点转动效应的度量力矩的计算是一个基本运算，除利用力矩的定义MO (F)＝±Fd计算外，还常利用合力矩定理进行计算。

•（5）由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系称为力偶力偶对物体只产生转动效应，不产生移动效应，因此一个力偶既不能与一个力等效，也不能与一个力平衡力与力偶是表示物体间相互机械作用的两个基本元素•（6）力偶矩是力偶使物体产生转动效应的度量只要力偶矩保持不变，力偶可在其作用面内任意搬移，或者可以同时改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短，力偶对刚体的效应不变•2. 理解约束和约束力的概念，掌握工程中常见约束的性质、简化表示和约束力的画法•（1）对于非自由体的某些位移起限制作用的条件（或周围物体）称为约束约束对被约束物体的作用力称为约束力，有时也称为约束反力，简称反力约束力的作用点是约束与物体的接触点，方向与该约束所能够限制物体运动的方向相反•（2）工程中常见约束的性质、简化表示和约束力的画法•柔索 、光滑接触面、光滑铰链 、固定铰支座 、活动铰支座 、定向支座 、固定端 •3. 了解结构计算简图的概念，掌握杆件结构计算简图的选取方法•（1）将实际结构抽象为既能反映结构的实际受力和变形特点又便于计算的理想模型，称为结构的计算简图  •（2）在选取杆件结构的计算简图时，通常对实际结构从以下几个方面进行简化：结构体系的简化、杆件的简化、结点的简化、支座的简化和荷载的简化。

•4. 熟练掌握物体的受力分析和正确绘出受力图•（1）在求解工程中的力学问题时，一般首先需要根据问题的已知条件和待求量，选择一个或几个物体作为研究对象，然后分析它受到哪些力的作用，其中哪些是已知的，哪些是未知的，此过程称为受力分析•（2）受力分析通过画受力图进行画受力图的第一步是将研究对象从与其联系的周围物体中分离出来，单独画出第二步是画出作用于研究对象上的全部主动力和约束力第第3章章 几何组成分析几何组成分析【【内容提要内容提要】】本本章章介介绍绍平平面面杆杆件件体体系系的的几几何何组组成成分分析析，，内内容容包包括括几几何何组组成成分分析析的的目目的的，，几几何何不不变变体体系系的的组组成成规规则则，，判判别别体体系系是是否否几几何何不不变变，，正正确确区区分分静静定定结结构构和和超超静静定定结结构构本本章章是是以后进行结构内力计算的基础以后进行结构内力计算的基础•1、了解几何不变体系和几何可变体系的概念•2、理解几何不变体系的基本组成规则•3、能对一般的平面杆件体系进行几何组成分析•4、了解静定结构和超静定结构的概念•5、了解平面杆件结构的分类 【【学习目标学习目标】】•杆件结构是由若干杆件按一定规律互相连接在一起而组成，用来承受荷载作用的体系。

•有些杆件体系是不能作为结构的例如，建筑工地上常见的扣件式钢管脚手架都不会搭成如图3.1（a）所示的形式，因为这样的架子是很容易倒塌的，必须再加上一些斜杆，搭成如图3.1（b）所示的形式才能稳当可靠 3.1 概述概述3.1.1 几何不变体系和几何可变体系几何不变体系和几何可变体系 在荷载作用下，材料会产生应变，因而结构会变形，这种变形与结构的尺寸相比是很微小的，在几何组成分析中，我们不考虑这种变形的影响在上述前提下，体系可分为两类： 1) 在在任任意意荷荷载载作作用用下下，，其其原原有有的的几几何何形形状状和和位位置保持不变的，称为置保持不变的，称为几何不变体系几何不变体系2) 在在任任意意荷荷载载作作用用下下，，其其几几何何形形状状和和位位置置发发生生变化的，称为变化的，称为几何可变体系几何可变体系●工工程程结结构构必必须须是是几几何何不不变变体体系系，决不能采用几何可变体系3.1.2 几何组成分析的目的几何组成分析的目的 分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体系，称为体系的几何组成分析作这种分析的目的在于： （（1）判别某一体系是否几何不变，从而决定它能）判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构；否作为结构；  （（2）研究几何不变体系的组成规则，以保证所设）研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计的结构是几何不变的计的结构是几何不变的；； (3)正确区分静定结构和超静定结构，为结构的正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的基础。

内力计算打下必要的基础3.1.3 刚片、自由度和约束的概念刚片、自由度和约束的概念 由于不考虑材料的应变，故可将每一根杆件视为刚体，在平面体系中又把刚体称为刚片 体系中已被肯定为几何不变的某个部分，也可看成是一个刚片 支承体系的基础也可看成是一个刚片1. 刚片刚片 一个体系的自由度，是指该体系在运动时，确定其位置所需的独立坐标的数目 确定平面内一个点的位置需用两个坐标x和y平面内一个点有平面内一个点有2个自由度个自由度 2. 自由度自由度 xyoxy平面内一个刚片的位置可由它上面的任一个点A的坐标x、y和过点A的任一直线AB的倾角来确定平面内一个刚片有平面内一个刚片有3个自由度个自由度xyoxy 约束是刚片和刚片之间的某种联结装置，是限制体系运动的一种条件显然，体系由于加入约束而使自由度减少以后我们把能减少一个自由度的装置称为一个约束        (1) 一根链杆相当于一个约束一根链杆相当于一个约束 3. 约束对自由度的影响约束对自由度的影响 如果用一根链杆将刚片与基础相联结，则刚片在链杆方向的运动将被限制。

但此时刚片仍可进行两种独立的运动，即链杆AC绕C点的转动以及刚片绕A点的转动加入链杆后，刚片的自由度减少为两个可见一根链杆可减少一个自由度，故一根链杆相当于一个约束一根链杆相当于一个约束xyoCAI 如果在点A处再加一根水平链杆，即点A处成为一个固定铰支座，则刚片只能绕点A转动，其自由度减少为一个可见一个固定铰支座可减少两个自由度，故一一个个固固定定铰铰支支座座相相当当于于两两个个约约束束 (2)一个固定铰支座相当于两个约束一个固定铰支座相当于两个约束xyoAI(3)一个固定端支座相当于三个约束一个固定端支座相当于三个约束如果在点A处再加一个阻止刚片转动的约束，则点A处成为一个固定端支座，刚片的自由度等于零可见一个固定端支座相当于三个约束一个固定端支座相当于三个约束xyoAI(4) 一个单铰相当于两个约束一个单铰相当于两个约束         如果用一个铰A将刚片Ⅰ与刚片Ⅱ相联结，设刚片Ⅰ的位置可以由点A的坐标x、y和倾角1确定，由于点A是两刚片的共同点，则刚片Ⅱ的位置只需用倾角2就可以确定因此，两刚片原有的6个自由度就减少为4个联结两个刚片的铰称为单铰。

可见一一个个单单铰铰相相当当于两个约束于两个约束 (5) 联联 结结 n个个 刚刚 片片 的的 复复 铰铰 ，， 其其 作作 用用 相相 当当 于于（（n 1）个单铰）个单铰         当用一个铰同时联结两个以上刚片时，这种铰称为复铰复铰图示三个刚片用复铰联结后，其自由度由原来的9个减少为5个即点A处的复铰减少了4个自由度，相当于两个单铰的作用一般来说，联联结结n个个刚刚片片的的复复铰，其作用相当于（铰，其作用相当于（n 1）个单铰）个单铰 (6) 虚铰的作用与单铰一样，仍相当于两个约束虚铰的作用与单铰一样，仍相当于两个约束 图（a）刚片用两根不平行的链杆与基础相联结，刚片只能绕两链杆的延长线之交点O转动在转动一微小角度后，点O到了点O′这种由杆的延长线的交点而形成的铰称为虚虚铰铰当体系运动时，虚铰的位置也随之改变，所以通常又称它为瞬铰瞬铰 （a）图（b）中，刚片Ⅰ与刚片Ⅱ由两根不平行的链杆相联结，链杆的延长线交点为O，两刚片可绕虚铰O发生相对转动虚虚铰铰的的作作用用与与单单铰铰一一样样，，仍仍相当于两个约束相当于两个约束。

 (7)多余约束对体系的自由度没有影响多余约束对体系的自由度没有影响 平面内一个点A有两个自由度，如果用两根不共线的链杆将点A与基础相联结［图(a)］，则点A减少两个自由度，即被固定 (a)A如果用三根不共线的链杆将点A与基础相联结［图(b)］，实际上仍只减少两个自由度        (b)A如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，则此约束称为多余约束图(b)三根链杆中有一根是多余约束多余约束多多余余约约束束对对体体系系的的自自由由度度没没有有影影响响• 本节在平面杆件体系范围内，讨论无多余约束的几何不变体系的基本组成规则所谓无多余约束是指体系内的约束数目恰好使该体系成为几何不变，只要去掉任意一个约束就会变成几何可变体系 3.2 几何不变体系的基本组成规则几何不变体系的基本组成规则3.2.1 基本组成规则基本组成规则 1 二刚片连接规则二刚片连接规则 两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相互联结，或用一个铰及一根不通过铰心的链杆相联结，组成无多余约束的几何不变体系 说明: 三根链杆不能全交于一点 三根链杆不能全平行 链杆不能通过铰心 在两刚片之间加一个铰，刚片Ⅰ、Ⅱ之间的相对移动就被限制住了，但它们仍可围绕铰作相对转动。

ⅠⅡⅠⅡ 再在它们之间加一根不过铰心的链杆，则两刚片之间就不可能有相对运动了，于是刚片Ⅰ和刚片Ⅱ就组成了一个无多余约束的几何不变体系 由于一个单铰相当于二根链杆的作用，故两刚片之间用三根链杆联结，同样也组成一个无多余约束的几何不变体系 ⅠⅡⅠⅡ 当两刚片之间用三根链杆联结时，若三根链杆同时汇交于一点A，则刚片Ⅰ、Ⅱ可以绕点A转动，体系是几何可变的 若三根链杆的延长线同时汇交于点O，则刚片Ⅰ、Ⅱ可以绕点O发生瞬时相对转动，并在转动一微小角度后三根链杆不再汇交于同一点，这种发生微小位移后不再运动的体系称为瞬变体系瞬变体系是几何可变体系的一种特殊情况  若三根链杆互相平行且等长，则刚片Ⅰ、Ⅱ可以沿着链杆垂直的方向发生相对平动，体系是几何可变的 若三根链杆相互平行但不等长，则刚片Ⅰ、Ⅱ在发生一微小的相对位移后，三根链杆不再全平行，因而不再发生相对运动，故体系是瞬变体系  2 三刚片连接规则三刚片连接规则 三三刚刚片片用用不不在在同同一一直直线线上上的的三三个个铰铰两两两两相相联联，，组成无多余约束的几何不变体系组成无多余约束的几何不变体系。

说明： 三个铰不能在同一直线上         将刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ用不在同一直线上的A、B、C三个铰两两相连，把刚片Ⅰ看作一根链杆，应用二刚片联结规则，图(a)所示体系是几何不变的，且无多余约束       将图(a)中任一个铰用两根链杆代替，只要这些由两根链杆所组成的实铰或虚铰不在同一直线上，这样组成的体系也是无多余约束的几何不变体系［图(b)］ 若三个刚片用位于同一直线上的三个铰两两相联，设刚片Ⅰ不动，则铰C可沿以AC和BC为半径的圆弧的公切线作微小的移动但在发生微小移动后，三个铰就不在同一直线上，体系不会继续发生相对运动，故此体系是瞬变体系  3 加减二元体规则加减二元体规则 利用三刚片联结规则，图示体系是几何不变的这个体系可看成是在刚片上通过两根不共线的链杆联结一个结点A组成的这种用两根不共线的链杆联结一个结点的装置称为二元体二元体          由于一个结点的自由度等于2，而两根不共线的链杆相当于二个约束，因此增加一个二元体对体系的实际自由度没有影响同理，在一个体系上撤去一个二元体，也不会改变体系的几何组成性质。

        于是得到加减二元体规则：在在一一个个体体系系上上增增加加或减少二元体，不改变体系的几何可变或不变性或减少二元体，不改变体系的几何可变或不变性 3.2.2 对瞬变体系的进一步分析对瞬变体系的进一步分析 虽然瞬变体系在发生一微小相对运动后成为几何不变体系，但它不能作为工程结构使用这是由于瞬变体系受力时会产生很大的内力而导致结构破坏 图(a)所示体系在荷载F作用下，铰C向下发生一微小位移而到达C＇位置由图(b)列出平衡方程                               ΣX=0  FBCcosFACcos =0得 FBC=FAC=FN ΣY=0  2FNsinF=0得 当θ→0时，不论F有多小，FN→∞，这将造成杆件破坏 ● 应用基本组成规则进行分析的关键是恰当地选取基础、体系中的杆件或可判别为几何不变的部分作为刚片，应用规则扩大其范围，如能扩大至整个体系，则体系为几何不变的；如不能的话，则应把体系简化成二至三个刚片，再应用规则进行分析。

        3.3 几何组成分析举例几何组成分析举例● 体体系系中中如如有有二二元元体体，，则则先先将将其其逐逐一一撤撤除除，，以以使分析简化使分析简化● 若若体体系系与与基基础础是是按按两两刚刚片片规规则则联联结结时时，，则则可可先先撤撤去去这这些些支支座座链链杆杆，，只只分分析析体体系系内内部部杆杆件件的的几几何何组成性质组成性质 【【例例3.1】】 试对图示体系进行几何组成分析试对图示体系进行几何组成分析 【【解解】】 体体系系与与基基础础用用不不全全交交于于一一点点也也不不全全平平行行的的三三根根链链杆杆相相联联，，符符合合两两刚刚片片联联结结规规则则，，先先撤撤去去这这些支座链杆，只分析体系内部的几何组成些支座链杆，只分析体系内部的几何组成 ACDFGEB 任任选选铰铰结结三三角角形形，，例例如如ABC作作为为刚刚片片，，依依次次增增加加二二元元体体B-D-C、、B-E-D、、D-F-E和和E-G-F，，根根据据加加减减二二元元体体规规则则，，可可见见体体系系是是几几何何不不变变的的，，且且无无多多余余约束约束 ACDFGEBACDFGEB 当当然然，，也也可可用用依依次次拆拆除除二二元元体体的的方方式式进进行行，，最最后后剩剩下下刚刚片片ABC，，同同样样得得出出该该体体系系是是无无多多余余约约束束的的几何不变体系。

几何不变体系ACDFGEB【【例例3.2】】 试对图示体系进行几何组成分析试对图示体系进行几何组成分析ACDEB 【【解解】】 本本题题有有六六根根支支座座链链杆杆，，应应与与基基础础一一起起作作为一个整体来考虑为一个整体来考虑 先先选选取取基基础础为为刚刚片片Ⅰ ，，杆杆AB作作为为另另一一刚刚片片ⅡⅡ，，该两刚片由三根链杆相联，符合两刚片联结规则该两刚片由三根链杆相联，符合两刚片联结规则 ACDEBIIIⅠⅠ和和ⅡⅡ组组成成一一个个大大的的刚刚片片，，称称为为刚刚片片ⅢⅢ，，再再取取杆杆CD为为刚刚片片Ⅳ，，它它与与刚刚片片ⅢⅢ之之间间用用杆杆BC（（链链杆杆））和和两两根根支支座座链链杆杆相相联联，，符符合合两两刚刚片片联联结结规规则则，，组组成成一个更大的刚片一个更大的刚片ACDEⅣⅣⅢⅢB最最后后将将杆杆DE和和E处处的的支支座座链链杆杆作作为为二二元元体体加加于于这这个个更更大大的的刚刚片片上上，，组组成成整整个个体体系系因因此此，，整整个个体体系是无多余约束的几何不变体系系是无多余约束的几何不变体系ACDEBⅤⅤACDEBIIIACDEBⅣⅣⅢⅢACDEBⅤⅤ本例小结本例小结【【例例3.3】】 试对图示体系进行几何组成分析试对图示体系进行几何组成分析。

ABCDE 【【解解】】本本题题有有四四根根支支座座链链杆杆，，应应与与基基础础一一起起作作为一个整体来考虑为一个整体来考虑 可可将将ABD部部分分作作为为刚刚片片Ⅰ，，BCE部部分分作作为为刚刚片片Ⅱ另外，取基础作为刚片另外，取基础作为刚片ⅢABCDEIIIIII 刚刚片片Ⅰ与与刚刚片片Ⅱ由由铰铰B相相联联，，刚刚片片Ⅰ与与刚刚片片Ⅲ由由两两根根链链杆杆相相联联，，其其延延长长线线交交于于虚虚铰铰O1，，刚刚片片Ⅱ与与刚刚片片Ⅲ由由两两根根链链杆杆相相联联，，其其延延长长线线交交于于虚虚铰铰O2因因三三个个铰铰B、、O1、、O2恰在同一直线上，故恰在同一直线上，故体系为瞬变体系体系为瞬变体系ABCDEIIIIIIO1O2ABCDEIIIIIIO1O2ABCDE本例小结本例小结【【例例3.4】】 试对图示体系进行几何组成分析试对图示体系进行几何组成分析ACDFGEBH H 【【解解】】本本题题有有四四根根支支座座链链杆杆，，应应与与基基础础一一起起作作为为一一个个整整体体来来考考虑虑先先选选取取基基础础为为刚刚片片杆杆AB为为另另一一刚刚片片，，该该二二刚刚片片由由三三根根链链杆杆相相联联，，符符合合二二刚刚片片联联结结规规则则，，组组成成一个大的刚片。

一个大的刚片ACDFGEBHIIIEH 依依次次增增加加由由杆杆AD和和D处处支支座座链链杆杆组组成成的的二二元元体体，，以以及及由由杆杆CD和和杆杆CB组组成成的的二二元元体体这这样样形形成成一一个个更更大大的的刚片，称为刚片刚片，称为刚片Ⅰ ACDFGEBHIIIEH 再再选选取取铰铰结结三三角角形形EFG为为刚刚片片，，增增加加二二元元体体E-H-G，， 形形成刚片成刚片ⅡACDFGEBHIIIEHO 刚刚片片Ⅰ与与刚刚片片Ⅱ之之间间由由四四根根链链杆杆相相联联，，但但不不管管选选择择其其中中哪哪三三根根链链杆杆，，它它们们都都相相交交于于一一点点O，，因因此此体体系系为为瞬瞬变变体系体系ACDFGEBHIIIEHOACDFGEBHIIIEHO本例小结本例小结【【例例3.5】】 试对图示体系进行几何组成分析试对图示体系进行几何组成分析ADBC 【【解解】】本本题题有有六六根根支支座座链链杆杆，，应应与与基基础础一一起起作作为一个整体来考虑为一个整体来考虑 先选取基础为一刚片先选取基础为一刚片Ⅰ ，，杆杆AD和杆和杆BD为另两个刚片为另两个刚片ⅡⅡ、、ⅢⅢ，此三个刚片由铰，此三个刚片由铰A、、B、、D相联，符合三刚片联结相联，符合三刚片联结规则，组成一个大刚片，称规则，组成一个大刚片，称为刚片为刚片ⅣⅣ。

ADBCIIIIIIⅣⅣ再再选选取取杆杆CD为为刚刚片片ⅤⅤ，，刚刚片片ⅣⅣ和和刚刚片片ⅤⅤ之之间间由由铰铰D和和C处处二二根根支支座座链链杆杆相相联联，，根根据据二二刚刚片片联联结结规规则则，，尚尚多多余余一一根根链链杆杆，，故故体体系系为为有有一一个个多多余余约约束的几何不变体系束的几何不变体系ADBCⅣⅣⅤⅤADBCIIIIIIⅣⅣⅤⅤ本例小结本例小结前已说明，只有几何不变的体系才能作为结构几何不变体系又分为无多余约束和有多余约束两类3.4 体系的几何组成与静定性的关系体系的几何组成与静定性的关系（（1））对对于于无无多多余余约约束束的的结结构构，，如如图图示示组组合合梁梁，，它它的的全全部部约约束束反反力力和和内内力力都都可可由由静静力力平平衡衡方方程程求求得得，，这类结构称为这类结构称为静定结构静定结构组合梁的独立的平衡方程总数为6，未知力总数为6，是静定的结构（（2））对对于于有有多多余余约约束束的的结结构构，如图示连续梁，其约束反力有四个，而静力平衡方程只有三个，无法求得全部约束反力，当然也无法求得它的全部内力，这类结构称为超超静静定定结结构构未知力总数与静力平衡方程总数的差值，即多余约束的数目，称为超超静定次数静定次数。

        连续梁的独立的平衡方程总数为3，未知力总数为4，是一次超静定结构  ●静静定定结结构构与与超超静静定定结结构构有有很很大大区区别别对对静静定定结结构构进进行行内内力力分分析析时时，，只只需需考考虑虑静静力力平平衡衡条条件件；；而而对对超超静静定定结结构构进进行行内内力力分分析析时时，，除除了了考考虑虑静静力力平平衡衡条条件件外外，，还还需需考考虑虑变变形形条条件件对对体体系系进进行行几几何何组组成成分分析析，，有有助助于于正正确确区区分分静静定定结结构构和和超超静静定定结构，以便选择适当的结构内力计算方法结构，以便选择适当的结构内力计算方法平面杆件结构按其受力特征可分为以下几种类型：（（1）梁）梁梁是一种以弯曲变形为主的构件，其轴线通常为直线梁可以是单跨的或多跨的 3.5 平面杆件结构的分类平面杆件结构的分类（a）单跨静定梁        （b）多跨静定梁        （c）单跨超静定梁（d）多跨超静定梁（（2）刚架）刚架刚架是由直杆组成，其结点全部或部分为刚结点的结构刚架各杆主要承受弯矩，也承受剪力和轴力a）静定刚架（b）超静定刚架 （（3）桁架）桁架桁架是由直杆组成，其所有结点都为铰结点的结构。

在平面荷载作用下各杆主要产生轴力        （a）三角形桁架                  （b）平行弦桁架 （（4）组合结构）组合结构组合结构是由桁架和梁或刚架组合在一起而形成的结构其特点是一部分杆件只承受轴力，而另一部分杆件则同时承受弯矩、剪力和轴力（（5）拱）拱拱的轴线多为曲线，其特点是在竖向荷载作用下能产生水平支座反力这种水平支座反力可减少拱横截面上的弯矩        （a）三铰拱                （b）无铰拱  1. 几个基本概念几个基本概念 (1) 几何不变体系几何不变体系指在任意荷载作用下能保持其原有的几何形状和位置的体系 (2) 几何可变体系几何可变体系指在任意荷载作用下其原有的几何形状和位置发生变化的体系            本章小结和学习要求本章小结和学习要求(3) 瞬变体系瞬变体系如果一个几何可变体系在发生微小的位移后，即成为几何不变体系，称为瞬变体系  (4) 刚片刚片在几何组成分析中，由于不考虑材料的应变，故可以把每一杆件或体系中已被肯定为几何不变的某个部分看作刚体，刚体在平面体系中称为刚片    (5) 自由度自由度一个体系的自由度，是指该体系在运动时确定其位置所需的独立坐标的数目。

 (6) 约束约束约束是刚片和刚片之间的某种联结装置，是限制体系运动的一种条件体系由于加入约束而使自由度减少              (7) 多余约束多余约束如果在体系中增加一个约束，体系的自由度并不因此而减少，则该约束称为多余约束 2. 几何不变体系的基本组成规则几何不变体系的基本组成规则(1) 两刚片联结规则两刚片联结规则两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相互联结，或用一个铰及一根不通过铰心的链杆相联结，组成无多余约束的几何不变体系 (2) 三刚片联结规则三刚片联结规则三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联，组成无多余约束的几何不变体系3) 加减二元体规则加减二元体规则在一个体系上增加或减少二元体，不改变原体系的几何可变或不变性3. 解题技巧解题技巧(1) 应应用用基基本本组组成成规规则则进进行行分分析析的的关关键键是恰当地选取基础、体系中的杆件或可判别为几何不变的部分作为刚片，应用规则扩大其范围，如能扩大至整个体系，则体系为几何不变的；如不能的话，则应把体系简化成二至三个刚片，再应用规则进行分析体系中如有二元体，则先将其逐一撤除，以使分析简化    (2) 当当体体系系与与基基础础是是按按两两刚刚片片规规则则联联结结时时，，可先撤去支座链杆，只分析体系内部杆件的几何组成性质。

 (3) 当当两两个个刚刚片片用用两两根根链链杆杆相相联联时时，相当于在两杆轴线的交点处用一虚铰相联，其作用与一个单铰相同     (4) 对对体体系系作作几几何何组组成成分分析析时时，，每一根杆件都要考虑，不能遗漏，但也不能重复使用分析结果要说明整个体系是什么性质的体系，有无多余约束，如有多余约束，有几个 4. 体系的几何组成与静定性的关系体系的几何组成与静定性的关系（（1）无多余约束的几何不变体系是静定结构无多余约束的几何不变体系是静定结构2））有有多多余余约约束束的的几几何何不不变变体体系系是是超超静静定定结结构构未知力总数与独立平衡方程总数的差值n，即多余约束的数目n，称为超静定次数  5.平面杆件结构的分类平面杆件结构的分类（（1）梁）梁（（2）刚架）刚架（（3）桁架）桁架（（4）组合结构）组合结构（（5）拱）拱第第4章章 力系的平衡力系的平衡【【内容提要内容提要】】          本章介绍平面汇交力系和平面力偶系的合成，平面力系向一点简化的结果，由此得到平面力系的平衡条件和平衡方程；在介绍力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩的基础上，直接给出空间力系的平衡方程。

本章着重于应用平衡方程求解力系的平衡问题最后介绍物体的重心、形心的概念及其计算方法•1、掌握平面汇交力系和平面力偶系的合成•2、理解力的平移定理了解平面力系的简化理论和简化结果•3、熟练掌握力在坐标轴上投影的计算了解合力矩定理，熟练掌握平面内力对点之矩的计算•4、理解各种平面力系的平衡方程，熟练掌握运用平衡方程求解单个物体和物体系统的平衡问题学习目标学习目标】】4.1 平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成•        各力的作用线位于同一平面内且汇交于一点的力系称为平面汇交力系平面汇交力系例如图4.1(a)所示用起重机吊装钢筋混凝土大梁，作用于梁上的力有梁的重力W、绳索对梁的拉力FTA和FTB，这三个力的作用线都在同一铅垂平面内且汇交于一点［图4.1(b)］，组成一个平面汇交力系4.1.1 平面汇交力系的合成结果平面汇交力系的合成结果       设有平面汇交力系 F1 ，F2 ， … ，Fn作用在A点（图4.2）由力的平行四边形法则，采用两两合成的方法，最终可合成为一个合力FR，合力等于力系中各力的矢量和，即                              FR=F1+F2+…+Fn=ΣF F1FRFR2FR1F2F3FnA图4.24.1.2 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影        由力F的起点A和终点B分别向坐标轴作垂线，设垂足分别为a1、b1和a2、b2，线段a1b1、a2b2冠以适当的正负号称为力F在x轴和y轴上的投影投影，分别记作X、Y，即X=±a1b1Y=±a2b2b2b1a1XYa2OxyABF 规定：规定：从从a1到到b1（或（或a2到到b2）的指向与坐标轴正）的指向与坐标轴正向相同时取正，相反时取负。

向相同时取正，相反时取负已知力求投影已知力求投影已知力求投影已知力求投影：：       已知力F的大小及力F与x、y轴正向间的夹角分别为α、β，则有       ●当当α、、β为钝角为钝角时，为了计算简便，往往先根时，为了计算简便，往往先根据力与某轴所夹的锐角来计算力在该轴上投影的绝据力与某轴所夹的锐角来计算力在该轴上投影的绝对值，再由对值，再由观察观察来确定投影的正负号来确定投影的正负号  已知投影求力已知投影求力已知投影求力已知投影求力       已知力F在直角坐标轴上的投影为X、Y，则力F的大小及方向为b2b1a1XYa2OxyABFαα       力F沿平面直角坐标轴分解的表达式为力沿直角坐标轴分解的表达式力沿直角坐标轴分解的表达式力沿直角坐标轴分解的表达式力沿直角坐标轴分解的表达式•【例例4.1】 分别计算图4.4所示各力在x轴和y轴上的投影已知F1= F2=100N，F3=150N， F4=200N•【【解解】】 由式（4.2b），可算出各力在x轴和y轴上的投影分别为• X1=F1cos 45°= 100 N×0.707=70.7N• Y1=F1cos 45°= 100 N×0.707 =70.7N• •X2=－F2cos 30°=－100 N×0.866 =－86.6N•Y2=－F2cos 60°= －100 N×0.5= －50N•X3=F3cos 90°= 0•Y3=－F3cos 0°=－150N×1=－150N•X4=F4cos 60°=200N×0.5=100N•Y4=－F4cos 30°=－200N×0.866=－173.2N  设平面汇交力系F1、F2、…、Fn中各力在x、y轴上的投影分别为Xi、Yi，合力FR在x、y轴上的投影分别为XR、YR，利用式（4.4），分别计算式（4.1）等号的左边和右边，可得在x、y轴上的投影分别为XR、YR，则有                          =XR i+YR j•4.1.3 平面汇交力系合力的计算平面汇交力系合力的计算F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj）                      =（X1+X2+…+Xn）i+（Y1+Y2+…+Yn）j以及以及比较后得比较后得上式称为合力投影定理合力投影定理，它表明力系的合力在某轴力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。

合力的大小及方向分别为合力的大小及方向分别为•【例例4.2】  如图所示一固定的吊钩上作用有三个力F1、F2、F3已知F1=F2=732N，F3=2000N，求此三个力的合力•【【解解】】  建立如图所示直角坐标系Axy，由式（4.5），合力FR在x、y轴上的投影分别为•则合力FR的大小和方向分别为 根据XR和YR均为负值，合力FR的作用线位于第三象限，如图所示•作用面都位于同一平面内的若干个力偶称为平面力偶平面力偶系系例如，齿轮箱的两个外伸轴上各作用一力偶（图4.6），为保持平衡，螺栓A、B在铅垂方向的两个作用力也组成一力偶，这样齿轮箱受到三个在同一平面内的力偶的作用，这三个力偶组成一平面力偶系4.2 平面力偶系的合成平面力偶系的合成 作用面都位于同一平面内的若干个力偶，称为平面力偶系平面力偶系       平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶的矩合力偶的矩等于力偶系中各力偶矩的代数和，即                     M＝M1＋M2＋…＋Mn＝M 证明证明证明证明 就两个力偶的简单情况进行证明        设在某一平面内作用有两个力偶M1、M2，任取一线段AB=d作为公共力偶臂，根据力偶的等效性质，将力偶M1、M2移动，并把力偶中的力分别改变为于是，力偶M1与M2可合成为一个力偶，其矩为M ＝FR d ＝（F1－F2）d ＝ M1＋ M21.平面力系的定义平面力系的定义 平面力系平面力系——如果作用于物体上各力的作用线如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，则这种力系称为都在同一平面内，则这种力系称为平面力系平面力系。

4.3 平面力系向一点的简化平面力系向一点的简化        屋架受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内，组成一个平面力系 水坝通常取单位长度的坝段进行受力分析，并将坝段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系4.3.1 力的平移定理力的平移定理 作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须在该力与指定点所决定的平面内同时附附加一力偶加一力偶，此附加力偶附加力偶的矩等于原力对指定点之矩M        作用于刚体A点的力F，如将力F平行移动到刚体内任一点O，但不能改变力对刚体的作用效应，      力F 和F 组成一个力偶M，证明证明那么就要在O点加上一对平衡力F、F，且F ＝F ＝FM 根据力的平移定理，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力        力的平移定理不仅是力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法  轴向力 使柱压缩，而附加力偶M将使柱弯曲e4.3.2 平面力系向一点的简化平面力系向一点的简化将各力向简化中心将各力向简化中心O点平移点平移设在物体上作用有平面一般力系F1，F2 ，…，Fn，如图(a)所示。

得到一个平面汇交力系和一个得到一个平面汇交力系和一个平面力偶系平面力偶系                                     ，即等于力系中所有各力的矢量和，称为该力系的主矢力系的主矢它的大小和方向与简化中心的选择它的大小和方向与简化中心的选择无关即等于原力系中各力对简化中心简化中心O之 矩的代数和，称为该力系对简化中心O的主矩主矩它的大小和转向与简化中心的选择有关有关 结结论论：：平平面面一一般般力力系系向向作作用用面面内内任任意意一一点点简简化化，，一一般般情情形形下下，，得得到到一一个个力力和和一一个个力力偶偶所所得得力力的的作作用用线线通通过过简简化化中中心心，，其其矢矢量量称称为为力力系系的的主主矢矢，，它它等等于于力力系系中中所所有有力力的的矢矢量量和和；；所所得得力力偶偶仍仍作作用用于于原原平平面面内内，，其其力力偶偶矩矩称称为为原原力力系系对对于于简简化化中中心心的的主主矩矩，，数数值值等等于于力系中所有力对简化中心之矩的代数和力系中所有力对简化中心之矩的代数和•现在讨论主矢的计算利用式（4.5），可得即主矢在某坐标轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。

由式(4.3)，主矢的大小和方向分别为式中：α —FR′与x轴正向的夹角4.3.3 平面力系简化结果的讨论平面力系简化结果的讨论 平面力系向一点简化的最终结果为以下三种可能的情况 （（1）力系可简化为一个合力偶）力系可简化为一个合力偶        当                          时，力系与一个力偶等效，即力系可简化为一个合力偶，合力偶的矩等于主矩此时，主矩与简化中心的位置无关主矩与简化中心的位置无关（（2）力系可简化为一个合力）力系可简化为一个合力 1)当当 时，力系与一个力等效，即力时，力系与一个力等效，即力系可简化为一个合力合力等于主矢，合力的作用线系可简化为一个合力合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心通过简化中心 2)当当 时，合力的大小、方向与主矢时，合力的大小、方向与主矢相同，合力的作用线不通过简化中心，它到简化中心相同，合力的作用线不通过简化中心，它到简化中心O点的距离为点的距离为 证明证明        根据力的平移定理逆过程，可将     和MO简化为一个合力FR。

MORRRRR（（3）力系处于平衡状态）力系处于平衡状态当      =0， MO =0时，力系处于平衡状态 【【例例4.3】】如图所示一小型砌石坝，取如图所示一小型砌石坝，取1m长的坝段长的坝段来考虑，将坝所受重力和静水压力简化到中央平面内，来考虑，将坝所受重力和静水压力简化到中央平面内，得到力得到力W1、、W2和和F已知W1=600kN，，W2=300kN，，F=350kN求此力系分别向求此力系分别向O和和A点简化的结果如能点简化的结果如能进一步简化为一个合力，再求合力作用线的位置进一步简化为一个合力，再求合力作用线的位置A1.5m 1.5m1mW1W2FO3m 【【解解】】 1）力系向）力系向O点简化 力系的主矢力系的主矢F'R在在x、、y轴上轴上的投影分别为的投影分别为主矢的大小和方向分别为主矢的大小和方向分别为yA3m1.5m1mW1W2OxFF'Rαα1.5m力系的主矩为力系的主矩为MOyA3m1.5m1mW1W2OxFF'Rαα1.5m 主矢主矢F'R与主矩与主矩MO还可进一还可进一步简化为一个合力步简化为一个合力FR，其大小、，其大小、方向与主矢方向与主矢F'R相同。

设合力相同设合力FR的的作用线与作用线与x轴的交点轴的交点B到到O点的距点的距离为离为d1，由合力矩定理，有，由合力矩定理，有MOyA3m1.5m1mW1W2OxFF'Rαα1.5m因因 ，故，故MOyA3m1.5m1mW1W2OxFF'Rααd1B1.5myA3m1.5m1mW1W2OxFF'RMAαα 2）力系向）力系向A点简化主矢点简化主矢 与上面的计算相同与上面的计算相同主矩为主矩为1.5m 最后可简化为一个合力，合力作用线与最后可简化为一个合力，合力作用线与x轴的交轴的交点到点到A点的距离为点的距离为ByA3m1.5m1mW1W2OxFF'RMAαα显然，合力作用线仍通过显然，合力作用线仍通过B点点1.5md2 ●力系无论向哪一点简化，其最终简化结果总是力系无论向哪一点简化，其最终简化结果总是相同的这是因为一个给定的力系对物体的效应是相同的这是因为一个给定的力系对物体的效应是唯一的，不会因计算途径的不同而改变唯一的，不会因计算途径的不同而改变  【【例例4.4】】 求图示线性分布荷载的合力及其作用线的求图示线性分布荷载的合力及其作用线的位置。

位置 O 【【解解】】离左端点离左端点O为为x处的集度为处的集度为合力合力FR的大小为的大小为o 应用合力矩定理，有应用合力矩定理，有 o故合力故合力FR的作用线离的作用线离O点距离为点距离为合力合力FR的方向与分布荷载的方向相同的方向与分布荷载的方向相同oFR ●线分布荷载合力的大小等于荷载图的面积，合力的线分布荷载合力的大小等于荷载图的面积，合力的作用线通过荷载图的形心，合力的指向与分布力的指向作用线通过荷载图的形心，合力的指向与分布力的指向相同 ●在求解平衡问题时，线分布荷载可以用其合力来替在求解平衡问题时，线分布荷载可以用其合力来替换 4.4.1 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 1.平面力系平衡的充要条件平面力系平衡的充要条件 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即 4.4 平面力系的平衡方程及其应用平面力系的平衡方程及其应用2. 平面力系平衡方程的形式平面力系平衡方程的形式（（1）基本形式）基本形式 前两式称为投影方程投影方程，它表示力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零； 后一式称为力矩方程力矩方程，它表示力系中所有各力对任一点之矩的代数和等于零。

（（2）二力矩式）二力矩式     式中式中A、、B两点的连线不能与两点的连线不能与x轴轴(或或y轴轴)垂直  （（3）三力矩式）三力矩式  式中式中A、、B、、C三点不能共线三点不能共线 ●解题时可以根据具体情况选取某一种形式平面力解题时可以根据具体情况选取某一种形式平面力系只有三个独立的平衡方程，只能求解三个未知量系只有三个独立的平衡方程，只能求解三个未知量4.4.2 平面力系平衡方程的应用平面力系平衡方程的应用 1.应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下：步骤如下：  (1) 选取研究对象选取研究对象根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研究对象 (2) 画受力图画受力图画出所有作用于研究对象上的外力 (3) 列平衡方程列平衡方程适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程 (4) 解方程 2.基本技巧基本技巧       在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。

  【【例例4.5】】 悬臂吊车悬臂吊车如图（如图（a）所示已知梁）所示已知梁AB重重W1=4kN，吊重，吊重W=20kN，梁长，梁长l=2m，重，重物到铰链物到铰链A的距离的距离x=1.5m，拉杆，拉杆CD的倾角求拉的倾角求拉杆杆CD所受的力和铰链所受的力和铰链A处处的反力 【【解解】】 1) 选取研究对象选取研究对象 因已知力和未知力都作用因已知力和未知力都作用于梁于梁AB上，故取梁上，故取梁AB为研究为研究对象AB      2) 画受力图画受力图 作用于梁作用于梁AB上的力有：重力上的力有：重力W1、、W，拉杆，拉杆CD的拉力的拉力FT和铰链和铰链A处的反力处的反力FAx、、FAy（指向假（指向假定）这些力组成一个平面力系这些力组成一个平面力系ABW1WFAxFTFAyl/2xl30o3) 列平衡方程并求解列平衡方程并求解 采用平衡方程的基本形式先取采用平衡方程的基本形式先取B点为矩心，列点为矩心，列出力矩方程出力矩方程得得 ABW1WFAxFTFAyl/2xl30o再取再取y轴为投影轴，列出投影方程轴为投影轴，列出投影方程得得 ABW1WFAxFTFAyl/2xl30o最后取最后取x轴为投影轴，列出投影方程轴为投影轴，列出投影方程得得 FAx、、FAy的计算结果为正，说明力的实际方向与假设的计算结果为正，说明力的实际方向与假设的相同。

的相同ABW1WFAxFTFAyl/2xl30o4) 讨论 （（a））本题若列出对本题若列出对A、、B两点的力矩方程和在两点的力矩方程和在x轴上的投影方程，即轴上的投影方程，即则同样可求解则同样可求解ABW1WFAxFTFAy (b) 本题也可列出对本题也可列出对A、、B、、C三点的三个力三点的三个力矩方程求解，即矩方程求解，即 试比较三种解法的优缺点试比较三种解法的优缺点 CFTABW1WFAxFTFAy 【【例例4.6】】 梁梁AB如图（如图（a）所示已知）所示已知F ＝＝2 kN，，q ＝＝1 kN/m，，M ＝＝4 kN，，a ＝＝1 m，求固定端，求固定端A处处的反力 【【解解】】  1) 选取研究对象选取研究对象选取梁选取梁AB为研究对象为研究对象AB   2) 画受力图画受力图 梁梁AB除受主动力作用外，在固定端除受主动力作用外，在固定端A处还受到约束处还受到约束反力反力FAx、、FAy和约束反力偶和约束反力偶MA的作用，指向假定如图所的作用，指向假定如图所示MAFAyFAx 3) 列平衡方程并求解列平衡方程并求解。

得得得得MAFAyFAx ●均布荷载均布荷载q用其合力代替；由于力偶中的两用其合力代替；由于力偶中的两个力在同一轴上投影的代数和等于零，故在列投个力在同一轴上投影的代数和等于零，故在列投影方程时不必考虑力偶影方程时不必考虑力偶 4.4.3 平面力系的几个特殊情况平面力系的几个特殊情况3. 平面平行力系平面平行力系 1.平面汇交力系平面汇交力系2.平面力偶系平面力偶系1.平面汇交力系平面汇交力系 平面汇交力系平面汇交力系的平衡方程为 ●平面汇交力系只有平面汇交力系只有两个两个独立的平衡方程，只独立的平衡方程，只能求解两个未知量能求解两个未知量 【【例例4.7】】 桁架的一个结点由四根角钢铆接在连桁架的一个结点由四根角钢铆接在连接板上构成已知杆接板上构成已知杆A和杆和杆C的受力分别为的受力分别为FA=4kN，，FC=2kN，方向如图所示求杆，方向如图所示求杆B和杆和杆D的受力的受力FB和和FD 【【解解】】取连接板取连接板为研究对象，受力为研究对象，受力如图所示，其中力如图所示，其中力FB和和FD的方向为假的方向为假设 连接板在平面汇交力系连接板在平面汇交力系FA、、FB、、FC、、FD作用下平衡，列出平衡方程作用下平衡，列出平衡方程∑X=0 －－FB－－FC+FDcos45o+FAcos30o=0 ∑Y=0 FAsin30o－－FDsin45o=0 由式（由式（b）得）得（（b））（（a））FD=2.82kN将将FD值代入式（值代入式（a），得），得FB=3.46kN 计算结果均为正值，说明杆计算结果均为正值，说明杆B和杆和杆D的实际受力的实际受力方向与图示假设方向相同，即杆方向与图示假设方向相同，即杆B和杆和杆D均受压力。

均受压力 2.平面力偶系平面力偶系平面力偶系的平衡方程为 ●平面力偶系只有一个独立的平衡方程，只能求解平面力偶系只有一个独立的平衡方程，只能求解一个未知量一个未知量 【【例例4.8】】 图（图（a）所示梁）所示梁AB受一力偶的作用，力受一力偶的作用，力偶的矩偶的矩M=20kN·m，梁的跨长，梁的跨长l=5m，求支座，求支座A、、B处的处的反力，梁的自重不计反力，梁的自重不计l 【【解解】】 取梁取梁AB为研为研究对象梁在力偶究对象梁在力偶M和和A、、B两处支座反力两处支座反力FA、、FB的作用下处于平衡的作用下处于平衡 因力偶只能与力偶平衡，故知因力偶只能与力偶平衡，故知FA与与FB应构成一应构成一个力偶又个力偶又FB垂直于支座垂直于支座B的支承面，因而梁的受力的支承面，因而梁的受力如图如图(b)所示由力偶系的平衡方程，有所示由力偶系的平衡方程，有l得得 故故         若平面力系中各力作用线全部平行，称为平面平平面平行力系行力系若取y轴平行于各力作用线，x轴垂直于各力作用线，显然式自然满足，因此其平衡方程只有两个，即 3. 平面平行力系平面平行力系 平面平行力系平衡方程的二力矩形式为式中式中A、、B两点的连线不能平行于各力作用线。

两点的连线不能平行于各力作用线 ●平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量解两个未知量 【【例例4.9】】 塔式起重机塔式起重机如图（如图（a）所示，机架自重）所示，机架自重W，最大起重荷载为，最大起重荷载为FP，平衡，平衡锤重锤重WQ已知W、、FP、、a、、b、、e、、l，欲使起重机满载和空，欲使起重机满载和空载时均不致翻倒，求载时均不致翻倒，求WQ的范的范围FP WQ 【【解解】】 1) 考虑满载时的情况考虑满载时的情况 取起重机为研究对象作用于取起重机为研究对象作用于起重机上的力有机架重力起重机上的力有机架重力W，起吊，起吊荷载荷载FP，平衡锤重力，平衡锤重力WQ以及轨道以及轨道对轮子的约束反力对轮子的约束反力FA、、FB，这些，这些力组成一个平面平行力系满载时力组成一个平面平行力系满载时起重翻倒，将绕起重翻倒，将绕B点转动在平衡点转动在平衡的临界状态，的临界状态，FA=0，平衡锤重达到，平衡锤重达到允许的最小值允许的最小值WQmin列出平衡方列出平衡方程程FP WQFBW得得 WQFBWFP 此时，应使起重机不绕此时，应使起重机不绕A点翻点翻倒。

在临界平衡状态，倒在临界平衡状态，FB=0，平衡，平衡锤重达到允许的最大值锤重达到允许的最大值WQmax，列，列出平衡方程出平衡方程 2)考虑空载的情况考虑空载的情况得得WWQmaxF FA A ●要保证起重机在满载和空载时均不致翻倒，平衡要保证起重机在满载和空载时均不致翻倒，平衡锤重锤重WQ的范围为的范围为4.4.4 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题 所谓物体系统物体系统是指由若干个物体通过约束按一定方式连接而成的系统 求解物体系统的平衡问题，通常有以下两种方法       先先取整个物体系统为研究对象，列出平衡方程，解得部分未知量，然后然后再取系统中某个部分（可以由一个或几个物体组成）为研究对象，列出平衡方程，直至解出所有未知量为止有时有时也可先取部分，再取再取整体为研究对象求解1.先整体后部分（或先部分后整体）先整体后部分（或先部分后整体）2.逐个考察逐个考察 逐个取物体系统中每个物体为研究对象，列出平衡方程，解出全部未知量        ●至于采用何种方法求解，应根据问题的具体至于采用何种方法求解，应根据问题的具体情况，恰当地选取研究对象，列出较少的方程，情况，恰当地选取研究对象，列出较少的方程，解出所求未知量。

并且尽量使每一个方程中只包解出所求未知量并且尽量使每一个方程中只包含一个未知量，以避免解联立方程含一个未知量，以避免解联立方程 【【例例4.10】】 组合梁的荷载及尺寸如图（组合梁的荷载及尺寸如图（a）所示，）所示，求支座求支座A、、C处的反力及铰链处的反力及铰链B处的约束力处的约束力 【【解解】】 1）取取BC为为研究对象，画受力图研究对象，画受力图MB ＝ 0   FC cos 30 ×(6m)－(20×6×3) kN·m  ＝ 0FC ＝ 69.28 kN得得 X ＝ 0   FB x－FC sin 30 ＝ 0FBx ＝ 34.64 kN得得     Y ＝ 0   FBy－FC  cos 30 －(20×6)kN ＝ 0FBy ＝ 60 kN 得得FQ 列平衡方程列平衡方程6m         2) 取取AB为研究为研究对象，画受力图对象，画受力图 MA ＝ 220 kNm 得得得得得得列平衡方程列平衡方程3m 【【例例4.11】】 在图（在图（a）所示结构中，已知）所示结构中，已知F=6kN，，q=1kN/m，求支座，求支座A、、B处的反力和链杆处的反力和链杆1、、2的受力。

的受力 【【解解】】 1) 取整取整体为研究对象，画体为研究对象，画受力图得得列平衡方程列平衡方程4m2m2m2m2m        2) 取取 CBE为研究对象，为研究对象，画受力图画受力图F1=8kN（拉力）（拉力） 得得列平衡方程列平衡方程2m2m2m3m        3) 取结点取结点D为研究对象，为研究对象，画受力图列平衡方程画受力图列平衡方程F2=  F1tan  =  6kN (压力压力)得得•4.5.1 摩擦的概念•    前面研究物体的平衡问题时，假定两物体间的接触面是完全光滑的实际上，这种完全光滑的接触面是不存在的，当两个相互接触的物体产生相对运动或具有相对运动的趋势时，在接触部位会产生一种阻碍对方相对运动的作用，这种现象称为摩擦摩擦，这种阻碍作用，称为摩擦阻力摩擦阻力  4.5 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 •      物体之间的这种相互阻碍有两种基本形式：一种是阻碍相互接触物体沿接触面公切线方向的相对滑动或相对滑动趋势的作用，这种摩擦现象称为滑动摩擦滑动摩擦，相应的摩擦阻力称为滑动摩擦力滑动摩擦力，简称摩擦力摩擦力。

•       另一种是当两个相互接触的物体产生相对滚动或具有相对滚动的趋势时，在接触部位将产生阻碍对方相对滚动的作用，这种摩擦称为滚动摩擦滚动摩擦，相应的摩擦阻力是一个力偶，称为滚动摩擦阻力偶滚动摩擦阻力偶，简称滚阻力滚阻力偶偶本节只考虑滑动摩擦的情况•      摩擦是自然界最普遍的一种现象，不过在有些问题中，接触面确实比较光滑或有良好的润滑条件，以致摩擦力与物体所受的其他力相比小得多，属于次要因素，可以忽略不计然而在另一些问题中，摩擦起着主要作用，必须加以考虑例如，胶带轮靠摩擦实现运动的传递，车辆的起动与制动都要靠摩擦等等另外，摩擦阻力会消耗能量，产生热、噪声、振动、磨损，特别是在高速运转的机械中，摩擦往往表现得更为突出•4.5.2  滑动摩擦定律•    1．静滑动摩擦•    将重为W的物块放在水平面内，并施加一水平力F(图1)当力F较小时，物块虽有沿水平面滑动的趋势，但仍保持静止状态，这是因为接触面间存在一个阻碍物块滑动的力Ff•它的大小由平衡方程求得，Ff=F，方向与相对滑动趋势的方向相反（图1）•      这个力就是水平面施加给物体的静滑动摩擦力，简称静摩擦力。

若F=0，则Ff=0，即物体没有相对滑动趋势时，也就没有摩擦力；当F增大时，静摩擦力Ff也随着增大当F增大到某一数值时，物块处于将动而未动的临界平衡状态，这时静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，用Ffmax表示•由上可知，静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，大小随主动力的变化而变化，变化范围在零与最大值之间，即•0≤Ff≤Ffmax• 大量实验证明，最大静摩擦力的大小与接触面间的正压力（即法向反力）成正比，即•Ffmax=fs·FN•      Ffmax=fs·FN•这就是静滑动摩擦定律（又称库仑静摩擦定律）式中比例系数f称为静摩擦因数静摩擦因数，它的大小与两物体接触表面的材料性质和物理状态（光滑度、温度、湿度）有关，但与接触面积无关，一般可由实验测定，其数值可在工程手册中查到• 2．动滑动摩擦    •    当两个相互接触的物体产生相对滑动时，在接触面间将产生阻碍相对滑动的力这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力动摩擦力，以Ff′表示大量实验证明，动摩擦力的方向与物体接触部位相对滑动的方向相反，大小与接触面之间的正压力(即法向反力)FN成正比，即•Ff′=fFN    •这就是动滑动摩擦定律动滑动摩擦定律，简称动摩擦定律动摩擦定律。

式中比例常数f称为动摩擦因数动摩擦因数一般情况下，动摩擦因数厂略小于静摩擦因数f在一般工程计算中，可近似认为f≈fs•三、摩擦角与自锁•    1．摩擦角•    当物体与支承面之间存在摩擦并处于平衡状态时，支承面对物体的约束反力包含：法向反力FN和切向反力Ff(即静摩擦力)，两者的合力称为全约束反力全约束反力，它的作用线与接触面的公法线之间的夹角为   【图2 (a)】•当物块处于临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值，角 也达到最大值 m，角  m称为摩擦角摩擦角由图2(b)可得即摩擦角的正即摩擦角的正切等于静摩擦切等于静摩擦因数因数•2．自锁现象•    当物体处于临界平衡状态，滑动趋势的方向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变如通过全约束反力作用点在不同的方位作出全约束反力的作用线，则这些直线将形成一个锥面，称为摩擦锥如沿接触面的各个方向的摩擦因数都相同，摩擦锥是一个顶角为2 m的圆锥• 由于静摩擦力可在零与Ffmax之间变化，所以角φ也在零与摩擦角 m之间变化，即•因此，全约束反力的作用线，必在摩擦锥之内•如果作用于物体上的全部主动力的合力F的作用线在摩擦锥之内[图3 (a)]，则无论这个力多大，支承面总会产生一个全约束反力凡与之平衡，使物体保持静止。

这种现象称为自锁现象反之，如果全部主动力的合力F的作用线在摩擦锥之外[图3(b)]，则无论这个力多小，物体将发生运动•自锁现象在工程中有广泛的应用例如螺旋千斤顶举起重物后不会自动下落就是一种自锁现象而在另一些问题中，则要设法避免产生自锁现象例如工作台在导轨中要求能顺利滑动，不允许发生卡死现象（即自锁）•4.5.4 考虑摩擦时物体平衡问题的解法•    考虑有摩擦的平衡问题，在加上静摩擦力之后，就和求解没有摩擦的平衡问题一样不过应注意，静摩擦力的方向总是与相对滑动趋势的方向相反，不能假定另外，静摩擦力的大小有个变化范围，相应地平衡问题的解答也具有一个变化范围•       因此，解决这类问题要分清两种情况：一种是临界平衡分析，此时物体处于临界平衡状态，可列出Ffmax=fsFN作为补充方程；另一种是平衡范围分析，此时摩擦力Ff还未达到最大值，可列出0≤Ff≤Ffmax，作为补充方程• 【例4.12】 电工攀登电线杆用的套钩[图4(a)]与杆之间的静摩擦因数为f，人重为W，电线杆直径为d，A、B两点间铅垂距离为b求欲使人站在套钩上不致下滑的最小距离l• 【解】取套钩为研究对象，设其处于临界平衡状态，受力如图4(b)所示。

列平衡方程•得由静滑动摩擦定律，列出补充方程•联立以上四式解得•再列出平衡方程得 •所以只要          ，无论人的重力有多大，套钩都不会下滑，这也是自锁现象在实际中的一个应用•【例4.13】  梯子重为Wl，重心在中点，靠墙放置如图5(a)所示，已知墙面光滑，梯子与地面间的静摩擦因数为fs，人重为W2，问要保证人能安全爬到梯顶，角α的最小值？• 【解】取梯子为研究对象，设其处于临界平衡状态受力如图5(b)所示列平衡方程•得•由静滑动摩擦定律，列出补充方程•联立求解式(a)、(b)、(c)，得故•要保证人能安全爬到梯顶，应使• 例3 鼓轮受到M=0.8N．m的力偶矩驱动，为了阻止其转动，用图6(a)所示制动装置制动，已知BC上AB，不计各杆自重，各部分尺寸如图所示，鼓轮与两杆接触面间的静摩擦因数均为fs=0.2，求最小水平刹车力F的值 • 【解】当轮子刚能停止转动时，力F的值最小，此时轮子处于临界平衡状态先取BC为研究对象，受力如图6(b)所示列平衡方程其中•解得•再取鼓轮为研究对象，受力如图6(c)所示列平衡方程得•最后取制动杆为研究对象，受力如图6(d)所示。

列平衡方程•将式(a)、(b)代入式(c)，解得本章小结和学习要求本章小结和学习要求•1. 掌握平面汇交力系和平面力偶系的合成•（1）平面汇交力系可合成为一个合力，合力等于力系中各力的矢量和，合力作用线通过力系的汇交点•（2）平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶的矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 •2. 理解力的平移定理了解平面力系的简化理论和简化结果•（1）力的平移定理：作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须在该力与指定点所决定的平面内同时附加一力偶，此附加力偶的矩等于原力对指定点之矩•（2）平面力系向一点的简化结果，一般可得到一个力（主矢）和一个力偶（主矩），而其最终结果为三种可能的情况：可简化为一个合力偶，可简化为一个合力，为平衡力系 •3. 熟练掌握力在坐标轴上投影的计算•（1）已知力求投影•力在某轴上的投影等于力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦•当当α、、β为钝角时，可先根据力与某轴所夹的锐角来计算力在该为钝角时，可先根据力与某轴所夹的锐角来计算力在该轴上投影的绝对值，再由观察来确定投影的正负号轴上投影的绝对值，再由观察来确定投影的正负号 •（2）已知投影求力。

•若已知力F在直角坐标轴上的投影X、Y，则力F的大小及方向为•4. 理解各种平面力系的平衡方程，熟练掌握运用平衡方程求解单个物体和物体系统的平衡问题•（2）运用平衡方程求解平衡问题的步骤•1）选取研究对象根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研究对象•2）画受力图画出所有作用于研究对象上的外力•3）列平衡方程适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程•4）解方程• （3）运用平衡方程求解平衡问题的技巧•1）尽可能选取与力系中多数未知力的作用线平行或垂直的投影轴•2）矩心选在两个未知力的交点上•3）尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数•（4）物体系统平衡问题的解法•1）先取整个物体系统为研究对象，列出平衡方程，解得部分未知量，然后再取系统中某个部分（可以由一个或几个物体组成）为研究对象，列出平衡方程，直至解出所有未知量为止有时也可先取某个部分为研究对象，解得部分未知量，然后再取整体为研究对象，解出所有未知量•2）逐个取物体系统中每个物体为研究对象，列出平衡方程，解出全部未知量•（5） 考虑摩擦时的平衡问题•    滑动摩擦定律•    有摩擦的平衡问题第第5章章 静定杆件的内力静定杆件的内力【【内容提要内容提要】】本章简要介绍变形固体的基本假设和杆件的变形形式，重点介绍杆件在拉压、扭转以及弯曲时的内力计算和内力图的绘制。

  1. 理解内力的概念，熟练掌握用截面法求静定杆件的内力 2. 了解拉压杆的受力特点和变形特点，了解其计算简图，熟     练掌握其轴力计算和轴力图绘制学习目标学习目标】】3. 了解受扭杆的受力特点和变形特点，了解其计算简图，    熟练掌握其扭矩计算和扭矩图绘制4. 了解单跨梁在平面弯曲时的受力特点和变形特点，了解    其计算简图，熟练掌握其剪力和弯矩计算，剪力图和弯    矩图绘制5. 理解变形固体的基本假设6. 了解杆件的变形形式§5－－1 变形固体的基本假设变形固体的基本假设一、变形固体的概念一、变形固体的概念自然界中的任何固体在外力作用下，都会发生变形当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，把构件看作变形固体变形固体 二、变形固体的基本假设二、变形固体的基本假设 1. 连续性假设   含义：认为在固体材料的整个体积内毫无空隙地充满了物 质   实际情况：固体材料是由无数的微粒或晶粒组成的，各微粒或 晶粒之间是有空隙的   理论分析：与构件性质相关的物理量可以用连续函数来表示   说明：固体材料空隙与构件的尺寸比起来极为微小，可以忽略不计2. 均匀性假设 含义：构件内各点处的力学性能是完全相同的。

实际情况：组成构件材料的各个微粒，彼此的性质不尽相同理论分析：从构件内任何位置取出一小部分来研究材料的性质，其结果均可代表整个构件说明：构件的尺寸远远大于微粒尺寸，而且微粒数目极多，因此，固体材料的力学性能并不反映其微粒的性能，而是反映所有微粒力学性能的统计平均量因而，可以认为固体的力学性能是均匀的3．各向同性假设    含义：认为构件内的一点在各个方向上的力学性能是相同的实际情况：组成构件材料的各个晶粒是各向异性的   理论分析：材料在任何一个方向的力学性能均可用于其他方向   说明：构件内所含微粒的数目极多，在构件内的排列又是极不规则的，在宏观的研究中固体的性质并不显示方向的差别，因此可以认为某些材料是各向同性的但是此假设并不适用于所有材料，例如木材、竹材和纤维增强材料等，其力学性能是各向异性的  4．线弹性假设变形固体在外力作用下发生的变形可分为弹性变形和塑性变形两类在外力撤去后能消失的变形称为弹性变形弹性变形；不能消失的变形，称为塑性变形塑性变形当所受外力不超过一定限度时，绝大多数工程材料在外力撤去后，其变形可完全消失，具有这种变形性质的变形固体称为完全弹性体完全弹性体本课程只研究完全弹性体，并且外力与变形之间符合线性关系，即线弹性体线弹性体。

 5．小变形假设    含义：认为变形量是很微小的   理论分析：在研究构件的平衡和运动规律时仍可以直接利用构件的原始尺寸来计算在研究和计算变形时，变形的高次幂项也可忽略，从而使计算得到简化     说明：工程中大多数构件的变形都很小，远小于构件的几何尺寸 以上是有关变形固体的几个基本假设实践表明，在这些假设的基础上建立起以上是有关变形固体的几个基本假设实践表明，在这些假设的基础上建立起来的理论都是符合工程实际要求的来的理论都是符合工程实际要求的§5－－2 杆件的变形形式杆件的变形形式基本变形基本变形 轴向拉伸和压缩剪切扭转 弯曲5－－2 －－1基本变形基本变形轴向拉伸和压缩： 受力特点:直杆的两端各受到一个外力F的作用，且二者的                 大小相等、方向相反，作用线与杆件的轴线重合 变形特点:  沿轴线方向的伸长或缩短a)   轴向拉伸(b)   轴向压缩剪切： 受力特点:直杆受到一对大小相等、方向相反、作用线平行               且相距很近的外力沿垂直于杆轴线方向作用 变形特点:杆件的横截面沿外力的方向发生相对错动 扭转： 受力特点:直杆的两端各受到一个外力偶Me的作用，且二者                的大小相等、转向相反，作用面与杆件的轴线垂直 。

变形特点:杆件的横截面绕轴线发生相对转动 弯曲： 受力特点:直杆在两端各受到一个外力偶Me的作用，且二者的               大小相等、转向相反，作用面都与包含杆轴的某一纵               向平面重合，或者是受到在纵向平面内作用的垂直于               杆轴线的横向外力作用 变形特点:杆件的轴线变弯 a)  纯弯曲(b)  横力弯曲5－－2 －－2组合变形组合变形组合变形：是由两种或两种以上基本变形组成的常见的组合变形形式有：斜弯曲、拉（压）与弯曲的组合、偏心压缩（拉伸）等，分别如图a～c所示§5－－3 拉压杆拉压杆5－－3 －－1工程实例和计算简图工程实例和计算简图 工程中有很多杆件是受轴向拉压的:桁架中的杆件 斜拉桥中的拉索 砖柱 5－－3 －－2轴力和轴力图轴力和轴力图1. 内力的概念因外力作用而引起的物体内部各质点间相互作用的内力的改变量，即由外力引起的“附加内力” 2. 求内力的基本方法—截面法(1)截面法的基本思想: 用假想的截面将杆件截开,截取的两个部分均平衡，取任一部分为脱离体,用静力平衡条件求出截面上内力。

 (2)截面法的步骤: 截开、取出、代替、平衡例如取左段，列平衡方程： 得：FN即为轴力，它是横截面m-m上连续分布的内力的合力 3. 轴力和轴力图 (1)轴力—其作用线与杆的轴线重合2)轴力用 FN 表示3)轴力的符号规定：拉力为正压力为负(4)轴力图—以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，垂    直于杆轴线的坐标（按适当的比例）表示相应截面上的    轴力数值，从而绘出轴力与横截面位置关系的图线 (5)通常将正的轴力画在上方，负的画在下方 例例5－1  拉压杆如图所示，求横截面1－1、2－2、3－3上的轴力，并绘制轴力图 解解: :          求支座反力求支座反力KN 求横截面1－1上的轴力 KN(拉力)求横截面2－2上的轴力 KN(拉力)求横截面3－3上的轴力 KN(压力)FNmax=5kN 发生在发生在BCBC段内任一横截面上，称这些内力较大的截面为段内任一横截面上，称这些内力较大的截面为危险截面危险截面   §5－－5 单跨梁单跨梁5－－5 －－1 工程实例和计算简图工程实例和计算简图 1. 弯曲的工程实例以弯曲为主要变形的杆件称为梁梁 楼板梁 公路桥梁 2. 平面弯曲的概念 受力特点：梁的外力都作用在梁的纵向对称面内。

变形特点：梁的轴线在此对称面内弯成一条曲线 3. 梁的计算简图  静定梁 悬臂梁 简支梁 外伸梁 梁在两个支座之间的部分称为跨，其长度则称为跨长跨长或跨度跨度 5－－5 －－2剪力和弯矩剪力和弯矩 求内力——截面法剪力剪力  FS作用线平行于截面的内力作用线平行于截面的内力作用线平行于截面的内力作用线平行于截面的内力弯矩弯矩  M 矩矢垂直于梁的纵向对称面矩矢垂直于梁的纵向对称面矩矢垂直于梁的纵向对称面矩矢垂直于梁的纵向对称面 矩心O是横截面m—m的形心 符号规定：剪力：对微段内任一点的矩为顺时针方向转动时为正，反之           为负 弯矩：使微段产生上部受压、下部受拉时为正，反之为负 例例5－－3  简支梁如图所示求横截面1—1、2—2、3—3上的剪              力和弯矩 解解 （1）求支座反力 FA =FB =10kN （2）求横截面1—1上的剪力和弯矩左段梁受力较简单左段梁受力较简单左段梁受力较简单左段梁受力较简单，故          取它为研究对象并设横截面上的剪力FS1和弯矩M1均         为正   FA FS1= 0 FS1=FA=10 kN得M1FA1 =0 得M1 =FA1 =10 kNm ( (计算结果计算结果F FS1S1与与MM1 1为正，表明两者的实际方向与假设相同，即为正，表明两者的实际方向与假设相同，即F FS1S1为为正正正正剪力剪力剪力剪力，，，，M1为正弯矩正弯矩正弯矩正弯矩) （3）求横截面2—2上的剪力和弯矩。

取左段梁为研究对象  FA F1 FS2= 0 得FS2=FA F1=  0  M2 FA4 +F12=0 得M2=FA4 F12= 20 kNm （正弯矩正弯矩正弯矩正弯矩）（4）求横截面3—3上的剪力和弯矩取右段梁为研究对象  FB +FS3 = 0 得 FS3 = FB= 10 kN （负剪力负剪力负剪力负剪力） FB1 M3 =0 得M3= FB1=10 kNm （正弯矩正弯矩正弯矩正弯矩）从上面例题的计算过程，可以总结出内力计算的如下规律：（1）梁任一横截面上的剪力，其数值等于该截面任一边（左边或右边）梁上所有横向外力的代数和横向外力与该截面上正号剪力的方向相反时为正，相同时为负 （2）梁任一横截面上的弯矩，其数值等于该截面任一边（左边或右边）梁上所有外力对该截面形心之矩的代数和力矩与该截面上规定的正号弯矩的转向相反时为正，相同时为负5－－5 －－3剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 1. 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 （1）剪力方程和弯矩方程若沿梁的轴线建立x轴，以坐标x表示梁的横截面的位置，则梁横截面上的剪力和弯矩均可表示为坐标x的函数，即以上两式分别称为梁的剪力方程剪力方程剪力方程剪力方程和弯矩方程弯矩方程弯矩方程弯矩方程 。

（2）内力方程法        用与梁轴线平行的x轴表示横截面的位置，以横截面上的剪力值或弯矩值为纵坐标，按适当的比例绘出剪力方程或弯矩方程的图线，这种图线称为剪力图剪力图剪力图剪力图或弯矩图弯矩图弯矩图弯矩图  弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在 x x 轴轴轴轴上侧，负值画在上侧，负值画在上侧，负值画在上侧，负值画在x x 轴下侧，即将弯矩图绘在梁的受拉侧，轴下侧，即将弯矩图绘在梁的受拉侧，轴下侧，即将弯矩图绘在梁的受拉侧，轴下侧，即将弯矩图绘在梁的受拉侧，而不须标明正负号而不须标明正负号而不须标明正负号而不须标明正负号  剪力图为正值画在剪力图为正值画在剪力图为正值画在剪力图为正值画在 x x 轴上侧，负值画在轴上侧，负值画在轴上侧，负值画在轴上侧，负值画在x x 轴下侧，并标明正负号轴下侧，并标明正负号轴下侧，并标明正负号轴下侧，并标明正负号 此法称为内力方程法内力方程法内力方程法内力方程法，这是绘制内力图的基本方法 例例5－－4 绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图解解 （1）求支座反力 FA= FB= （2）列剪力方程和弯矩方程 （0＜x＜l ) （0≤x≤l） 剪力剪力剪力剪力在支座A、B两截面处有突变，剪力方程的适用范围用开区间开区间开区间开区间的符号表示。

 弯矩弯矩弯矩弯矩在支座A、B两截面处没有突变，弯矩方程的适用范围用闭区间闭区间闭区间闭区间的符号表示 （3）绘剪力图和弯矩图 剪力图是一条直线 x = 0，FSA=x = l，FSB = 最大剪力发生在靠近两支座的横截面上 弯矩图是一条抛物线   x = 0，MA = 0, MC = x = l，MB= 0x =最大弯矩发生在梁跨中点横截面上Mmax=例例5－－5  绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图 解解 （1）求支座反力  FA = ，FB =（2）列剪力方程和弯矩方程 取图中的A点为坐标原点，建立x坐标轴 因为AC、CB段的内力方程不同，所以必须分别列出两段的内力方程分别为AC段：（0＜x＜a ) （0≤x≤a） CB段：（a＜x＜l )（a≤x≤l） （3）绘剪力图和弯矩图 由剪力方程知，两段梁的剪力图均为水平线在向下的集中力F作用的C处，剪力图出现向下的突变，突变值等于集中力的大小 由弯矩方程知，两段梁的弯矩图均为斜直线，但两直线的斜率不同，在C处形成向下凸的尖角 由图可见，如果a＞b，则最大剪力发生在CB段梁的任一横截面上，其值为最大弯矩发生在集中力F作用的横截面上，其值为Mmax=                    ,剪力图在此处改变了正、负号。

如果a=b=，则Mmax=例例5－－6  绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图 解解 （1）求支座反力 （2）列剪力方程和弯矩方程 AC段：（0＜x≤a ) （0≤x＜a） CB段：（a≤x＜l ) （a＜x≤l ) （3）绘剪力图和弯矩图 剪力图是一条直线 弯矩图是两条互相平行的斜直线，C处截面上的弯矩出现突变，突变值等于集中力偶矩的大小  2. 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图（1）弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系 FS (x)FS(x)+d FS(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)FS (x)FS(x)+d FS(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)略去二阶微量                                    ，得：剪力、弯矩与外力间的关系载荷载荷F水平直线水平直线+-oror上斜上斜直线直线上凸上凸抛物线抛物线下凸下凸抛物线抛物线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无突变无突变)F处有尖角处有尖角斜直线斜直线（2）微分关系法 ①分段分段根据梁上所受外力情况将梁分为若干段通常选取梁上的外力不连续点（如集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载作用的起点和终点等）作为各段的起     点和终点。

②定形定形根据各段梁上所受外力情况，判断各梁段的剪力图和弯矩图的形状③定点定点根据各梁段内力图的形状，计算特殊截面上的剪力值和弯矩值（如该段内力图是斜直线，只需确定两个点；如是抛物线，一般需确定三个点）④绘图绘图逐段绘制剪力图和弯矩图 例例5－－7 绘制图所示外伸梁的剪力图和弯矩图1）求支座反力 FA =FB =3qa (2) 由微分关系判断各段的 形状载荷载荷CAABBD（3）绘剪力图 CA段：FSC = 0 qa =－qa＋FA=2qa AB段：BD段：FSD=0 注：注：x=2a （4） 绘弯矩图 MC = 0 CA段：MA=－ AB段：ME =FA×2a－ MB = BD段：MD= 0 例例5－－8  绘制图所示简支梁的剪力图和弯矩图 3. 用区段叠加法绘制弯矩图（1）叠加原理 由几个外力所引起的某一参数值，等于每个外力单独作用时所引起的该参数值之总和注意注意：叠加原理只有在参数与外力成线性关系时才成立         按照叠加原理，当梁上同时作用几个荷载时，可以先分别求出每个荷载单独作用下梁的弯矩，然后进行叠加(求代数和)，即得这些荷载共同作用下的弯矩 荷载 跨间均布荷载q 端部集中力偶荷载MA和MB 当端部力偶MA和MB单独作用时，梁的弯矩图（Mm图）为一直线，如图b所示。

 当跨间均布荷载q单独作用时，梁的弯矩图（Mq图）为二次抛物线，如图c所示 当端部集中力偶MA和MB和跨间均布荷载q共同作用时，利用叠加原理将图b的Mm图和图c的Mq图叠加，得到梁的弯矩图如图d所示弯矩图的叠加，是指纵坐标的叠加弯矩图的叠加，是指纵坐标的叠加弯矩图的叠加，是指纵坐标的叠加弯矩图的叠加，是指纵坐标的叠加 （2）区段叠加法  即将梁分为若干段，在每个区段上利用叠加原理绘制弯矩图步骤： 1）选取梁上的外力不连续点（如集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载作用的起点和终点等）作为控制截面，求出控制截面上的弯矩值，从而确定弯矩图的控制点2）如控制截面间无均布荷载作用时，用直线连接两控制点就绘出了该段的弯矩图如控制截面间有均布荷载作用时，先用虚直线连接两控制点，然后以此虚直线为基线，叠加上该段在均布荷载单独作用下的相应简支梁的弯矩图，从而绘出该段的弯矩图例例5－－9 绘制图所示外伸梁弯矩图MC=0 MA= －F11m=－30 kNm ＝－F12m＋FAy1m=－15 kNm ＝－F12m＋FAy1m＋10 kNm =－5 kNm ME= －F13m＋FAy2m＋10 kNm =10 kNm MF= FBy×2m－F2×1m=30 kNm MB=0 AC为无荷载作用段，用直线把相邻两控制点相连即可。

在AE段D截面处有集中力偶作用，弯矩图在D处出现突变 ，突变值等于集中力偶矩的大小EF、FB段上分别作用有均布荷载、集中荷载，先用虚直线分别连接两相邻控制点，EF段在虚直线的基础上叠加上相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图，FB段在虚直线的基础上叠加上相应简支梁在跨中受集中荷载作用下的弯矩图绘出全梁的弯矩图如图所示 5－－5 －－4斜梁的内力图斜梁的内力图 斜梁：斜梁： 杆轴线倾斜的梁 例例5－－10  绘制图所示楼梯斜梁的内力图已知q1、q2、l、h 解解  （1）换算荷载 得沿水平方向总的均布荷载为（2）求支座反力  FAx=0 （3）计算任一截面K上的内力 取如图c所示的AK段为隔离体 4）绘制内力图 【【内容提要内容提要】】本章介绍静定结构的内力分析和计算静定结构内力分析的基本方法是截面法，利用截面法求出控制截面上的内力值，再利用内力变化规律，最后绘出结构的内力图静定结构的内力计算是静定结构位移计算和超静定结构内力计算的基础 【【学习目标学习目标】】第第6章章 静定结构的内力静定结构的内力 1. 了解多跨静定梁的几何组成和受力特性，熟练掌握其内力计算和内力图绘制2. 了解静定平面刚架的受力特性，熟练掌握其内力计算和内     力图绘制。

3. 了解静定平面桁架的受力特性，掌握其内力计算4. 了解静定平面组合结构的受力特性，掌握其内力计算和内     力图绘制5. 了解三铰拱的受力特性，掌握其内力计算了解合理拱轴    的概念6. 了解静定结构的特性 §6－－1 多跨静定梁多跨静定梁 6－－1 －－1工程实例和计算简图工程实例和计算简图 多跨静定梁多跨静定梁是由单跨静定梁通过铰加以适当连接而成的结构是由单跨静定梁通过铰加以适当连接而成的结构      多跨静定梁一般要跨越几个相连的跨度，它是工程中广泛使用的一种结构形式，如图所示 多跨静定梁有两种基本形式：第一种如图1b所示，其特点是无铰跨和双铰跨交替出现；第二种如图2b所示，其特点是第一跨无中间铰，其余各跨各有一个中间铰图1图26－－1 －－2多跨静定梁的几何组成多跨静定梁的几何组成      在图b中，AB梁由三根支座链杆与基础相连接，是几何不变体系，能独立承受荷载，称为基本部分基本部分  BC梁则必须依靠AB梁和CD梁的支承才能承受荷载并维持平衡，称为附属部分附属部分 为清晰起见，可将它们的支承关系用图c表示，这样的图形称为层次图层次图6－－1 －－3多跨静定梁的内力计算和内力图绘制多跨静定梁的内力计算和内力图绘制  多跨静定梁的约束力计算顺序应该是先计算附属部分，再计算基本部分。

多跨静定梁的约束力计算顺序应该是先计算附属部分，再计算基本部分       即从附属程度最高的部分算起，求出附属部分的约束力后，将其反向加于基本部分即为基本部分的荷载，再计算基本部分的约束力  当求出每一段梁的约束力后，其内力计算和内力图的绘制就与单跨静定梁一样，最后将各段梁的内力图连在一起即为多跨静定梁的内力图例例6－－1 绘制图a所示多跨静定梁的内力图 解解 （1）绘层次图 梁ABC固定在基础上，是基本部分；梁CDE固定在梁ABC上，为附属部分 （2）求支座反力    取CDE为隔离体（图c），由平衡方程求出CDE梁的支座反力为FCx=0，FCy=－20kN，FDy=100kN FAx=0， FAy=48kN， FBy=12kN （3）绘内力图各段梁的约束反力求出后，可以分别绘出各段梁的内力图，再将各段梁的内力图连接在一起就是所求的多跨静定梁的内力图 6－－1 －－4多跨静定梁的内力计算和内力图绘制多跨静定梁的内力计算和内力图绘制 图1a、b是多跨相互独立的系列简支梁及其在均布荷载q作用下的弯矩图图1      比较两个弯矩图可以看出，系列简支梁的最大弯矩大于多跨静定梁的最大弯矩。

因而，系列简支梁虽然结构较简单，但多跨静定梁的承载能力大于系列简支梁，在同荷载的情况下可节省材料 图2a、b是一相同跨度、相同荷载作用下的多跨静定梁及其弯矩图图2§6－－2 静定平面刚架静定平面刚架 6－－2 －－1工程实例和计算简图工程实例和计算简图 1. 刚架的特点 刚架是由直杆组成的具有刚结点的结构刚架是由直杆组成的具有刚结点的结构在刚架中的刚结点处，刚结在一起的各杆不能发生相对移动和转动，变形前后各杆的夹角保持不变，故刚结点可以承受和传刚结点可以承受和传递弯矩递弯矩 2. 刚架的分类 （1）悬臂刚架   悬臂刚架一般由一个构件用固定端支座与基础连接而成例   如图所示站台雨蓬 （2）简支刚架简支刚架一般由一个构件用固定铰支座和活动铰支座与基础连接，或用三根既不全平行、又不全交于一点的链杆与基础连接而成例如图b所示渡槽的槽身 （3）三铰刚架 三铰刚架一般由两个构件用铰连接，底部用两个固定铰支座与基础连接而成例如图c所示屋架（4）组合刚架组合刚架通常是由上述三种刚架中的某一种作为基本部分，再按几何不变体系的组成规则连接相应的附属部分组合而成 (图 a、b) （a）                           （b）6－－2 －－2 静定平面刚架的内力计算和内力图绘制静定平面刚架的内力计算和内力图绘制 1. 刚架内力的符号规定 刚架中有横向放置的杆件，也有竖向放置的杆件，为了使杆件内力表达得清晰，在内力符号的右下方以两个下标注明内力所属的截面，第一个下标表示该内力所属杆端的截面；第二个下标表示杆段的另一端截面。

例如，杆段AB的A端的弯矩、剪力和轴力分别用MAB、FSAB和FNAB表示；而B端的的弯矩、剪力和轴力分别用MBA、FSBA和FNBA表示 弯矩可自行规定正负，弯矩图绘在杆的受拉一侧       剪力和轴力的正负号规定同前，即剪力以使隔离体产生顺时针转动趋势时为正，反之为负；轴力以拉力为正，压力为负剪力图和轴力图可绘在杆的任一侧，但须标明正负号 2. 刚架内力的计算规律利用截面法，可得到刚架内力计算的如下规律： （1）刚架任一横截面上的弯矩，其数值等于该截面任一边刚架上所有外力对该截面形心之矩的代数和力矩与该截面上规定的正号弯矩的转向相反时为正，相同时为负 （2）刚架任一横截面上的剪力，其数值等于该截面任一边刚架上所有外力在该截面方向上投影的代数和外力与该截面上正号剪力的方向相反时为正，相同时为负（3）刚架任一横截面上的轴力，其数值等于该截面任一边刚架上所有外力在该截面的轴线方向上投影的代数和外力与该截面上正号轴力的方向相反时为正，相同时为负3. 刚架内力图的绘制 （1）由整体或部分的平衡条件，求出支座反力和铰结点处的约束力2）选取刚架上的外力不连续点（如集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载作用的起点和终点等）和杆件的连接点作为控制截面，按刚架内力计算规律，计算各控制截面上的内力值。

（3）按单跨静定梁的内力图的绘制方法，逐杆绘制内力图，即用区段叠加法绘制用区段叠加法绘制弯矩图，由微分关系法绘制剪力图和轴力图；最后将各杆的内力图连在一起，即弯矩图，由微分关系法绘制剪力图和轴力图；最后将各杆的内力图连在一起，即得整个刚架的内力图得整个刚架的内力图 例例6－－2 绘制 图a所示悬臂刚架的内力图解解 （1）求支座反力 FAx=－40 kN,  FAy=80 kN,  MA=320 kNm （2）求控制截面上的内力将刚架分为AB、BC、和CD 三段，取每段杆的两端为控制截面 MDC = 0MCD = 40kN4m10kN/m4m2m= 240kNm  (上侧受拉)MCA = MCD =－240kNm  (左侧受拉)MAC= 320kNm  (左侧受拉)FSDC =40kNFSCD =40kN10kN/m4m = 80kNFSCB = FSBC = 0FSAB = FSBA= 40kNFNDC = FNCD = 0FNAC =FNCA = 80kN （2）绘制内力图 例例6－－3  绘制图所示简支刚架的内力图解解 （1）求支座反力 FAx=16 kN,  FBx=12 kN,  FBy=24 kN （2）求控制截面上的内力。

将刚架分为AC、CE、CD和DB四段，取每段杆的两端为控制截面这些截面上的内力为 MAC=0MCA=－2kN/m×6m×3m=－36kN·m （左侧受拉）MCD= MCA=－36 kN·m （上侧受拉）MDC=－12kN×6m +12 kN·m =－60 kN·m （上侧受拉）MDB=－12kN×6m =－72 kN·m （右侧受拉）MBD=0FSAC=0FSCA=－2kN/m×6m=－12 kNFSCE= FSEC=16kNFSED=FSDE=－24kNFSDB=FSBD=12kNFNAC=FNCA=－16kNFNCD=FNDC=－12kNFNDB=FNBD=－24kN（3）绘制内力图 （a）                                （b）M图（kN·m）（c）FS图（kN）                （d）FN图（kN）例例6－－4  绘制图所示三铰刚架的内力图 解解 （1）求支座反力取刚架整体为隔离体再取刚架的右半部分为隔离体 （2）绘弯矩图各杆端弯矩计算如下：（左侧受拉）                （上侧受拉）    （右侧受拉）   （上侧受拉）（3）绘剪力图。

  DC,CE 两杆是斜杆,采用另一方法求剪力以DC杆为例，取该杆为隔离体 （4）绘轴力图DC，CE两斜杆的轴力，取结点D为隔离体图 （5）绘制内力图§6－－3 静定平面静定平面桁桁架架 6－－3 －－1工程实例和计算简图工程实例和计算简图 1．桁架的特点桁架是由直杆组成，全部由铰结点连接而成的结构桁架是由直杆组成，全部由铰结点连接而成的结构 2．桁架的计算假设（1）桁架的结点都是光滑的理想铰2）各杆的轴线都是直线，且在同一平面内，并通过铰的中心3）荷载和支座反力都作用于结点上，并位于桁架的平面内 符合上述假设的桁架称为理想桁架理想桁架，理想桁架中各杆的内力只有轴力 桁架上、下边缘的杆件分别称为上弦杆上弦杆和下弦杆下弦杆，上、下弦杆之间的杆件称为腹杆腹杆，腹杆又分为竖杆竖杆和斜杆斜杆弦杆相邻两结点之间的水平距离d称为节间长度节间长度，两支座之间的水平距离l称为跨度跨度，桁架最高点至支座连线的垂直距离h称为桁高桁高 3. 桁架的分类（1）简单桁架由基础或一个铰接三角形开始，依次增加二元体而组成的桁架称为简单桁架简单桁架 ，如图所示（2）联合桁架由几个简单桁架按照几何不变体系的组成规则，联合组成的桁架称为联合桁架联合桁架，如图所示。

3）复杂桁架凡不按上述两种方式组成的桁架均称为复杂桁架复杂桁架，如图所示 此外，桁架还可以按其外形分为平行弦桁架平行弦桁架、抛物线形桁架抛物线形桁架、三角形桁架三角形桁架、梯形桁梯形桁架架等，分别如图a～d所示 6－－3 －－2平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算 1. 内力计算的方法平面静定桁架的内力计算的方法通常有结点法结点法和截面法截面法    结点法是截取桁架的一个结点为隔离体，利用该结点的静力平衡方程来计算截断杆的轴力     截面法是用一截面(平面或曲面)截取桁架的某一部分(两个结点以上)为隔离体，利用该部分的静力平衡方程来计算截断杆的轴力 2. 零杆的判定 桁架中有时会出现轴力为零的杆件，称为零杆零杆 通常在下列几种情况中会出现零杆： （1）不共线的两杆组成的结点上无荷载作用时，该两杆均为零杆 (图 a)2）不共线的两杆组成的结点上有荷载作用时，若荷载与其中一杆共线，则另一杆必为零杆(图b)3）三杆组成的结点上无荷载作用时，若其中有两杆共线，则另一杆必为零杆，且共线的两杆内力相等(图c)3. 比例关系的应用 例例6－－5  求图a所示桁架各杆的轴力 解解  （1）求支座反力。

 （2）求各杆的内力 取结点A为隔离体(图b) FNADy=10kN－40kN=－30kN取结点C为隔离体 (图 c)，由∑Fx=0得FNCF= FNAC=60kN取结点D为隔离体(图d)，列出平衡方程∑Fx=0   FNDEx+FNDFx+60kN=0∑Fy=0   FNDEy－FNDFy+30kN－20kN=0利用比例关系，得FNDEx=2 FNDEyFNDFx=2 FNDFy解得FNDEx=－40kN ， FNDEy=－20kN， FNDE=－44.7kNFNDFx=－20kN ， FNDFy=－10kN， FNDF=－44.7kN 取结点E为隔离体(图e) FNEF=2×20kN－20kN=20kN内力计算完成后，将各杆的轴力标在图上 例例6－－6  求图a所示桁架中杆 a、b 、c 、d 的轴力解解  （1）求支座反力 2）求杆a 、b 、c 的内力用截面Ⅰ－Ⅰ截取桁架的左半部分为隔离体 (图b) FNc×4m－20kN×3m－50kN×3m=0 FNc =52.5kN由得FNa=－67.5kN由∑Fx=0得：FNbx=－FNa－FNc=15kN 利用比例关系，得（3）求杆d的内力。

联合应用结点法和截面法计算杆d的内力较为方便先取结点E为隔离体(图c)，由平衡方程∑Fx=0 ，得  FNCE= FNc=52.5kN再用截面Ⅱ－Ⅱ截取桁架左半部分为隔离体(图d)，列平衡方程由得FNdx=－15kN利用比例关系，得FNd= -18.05KN6－－3 －－3梁式桁架受力性能的比较梁式桁架受力性能的比较 在竖向荷载作用下，支座处不产生水平反力的桁架称为梁式桁架梁式桁架 1．平行弦桁架平行弦桁架的内力分布不均匀(图a)，弦杆的轴力由两端向中间递增，腹杆的轴力则由弦杆的轴力由两端向中间递增，腹杆的轴力则由两端向中间递减两端向中间递减 2．三角形桁架三角形桁架的内力分布也不均匀(图b)，弦杆的轴力由两端向中间递减，腹杆的轴力弦杆的轴力由两端向中间递减，腹杆的轴力则由两端向中间递增则由两端向中间递增 3．梯形桁架梯形桁架的受力性能介于平行弦桁架和三角形桁架之间，弦杆的轴力变化不大，腹弦杆的轴力变化不大，腹杆的轴力由两端向中间递减杆的轴力由两端向中间递减(图c) 4．抛物线形桁架抛物线形桁架的内力分布比较均匀（图d），上、下弦杆的轴力几乎相等，腹杆的轴力上、下弦杆的轴力几乎相等，腹杆的轴力等于零等于零。

 5. 折线形桁架折线形桁架是抛物线形桁架的改进型，其受力性能与抛物线形桁架相类似其受力性能与抛物线形桁架相类似（图e） §6－－4 静定平面组合结构静定平面组合结构 6－－4 －－1工程实例和计算简图工程实例和计算简图 在工程实际中，经常会遇到一种结构，这种结构中一部分杆件只受轴力作用，属于链杆链杆，而另一部分杆件除受轴力的作用外还承受弯矩和剪力的作用，属于梁式梁式杆杆这种由链杆和梁式杆混合组成的结构通常称为组合结构组合结构 6－－4 －－2组合结构的内力计算和内力图绘制组合结构的内力计算和内力图绘制 组合结构的内力计算，一般是在求出支座反力后，先计算链杆的轴力，其计算方法与平面桁架内力计算相似，可用截面法和结点法；然后再计算梁式杆的内力，其计算方法与梁、刚架内力计算相似，可利用内力计算规律；最后由区段叠加法和微分关系法绘制结构的内力图例例6－－7  试计算图a所示组合结构的内力，并绘制梁式杆的内力图解解 此结构为一下撑式组合屋架其中杆AC、CB为梁式杆，杆AD、DF、DE、EG、EB为链杆因为荷载和结构都是对称的，所以支座反力和内力也是对称的，故可只计算半个结构上的内力。

1）求支座反力  FAx=0， FBy= FAy =40kN （2）计算链杆的内力如图b 由得ΣFx=0 由得FCx =FNDE=40kNΣFy=0 由得FCy=0取结点D为隔离体(图c) Fx=0 FNDAx=40kN 利用比例关系，得FNDAy=40kN （3）计算梁式杆内力 (图d) 以A、F、C为控制截面，控制截面上的内力为MAF =0， MFA = MFC = 20kNm（上侧受拉），  MCF =0FSAF =0， FSFA = 20kN，  FSFC=20kN， FSCF =0 FNAC = FNCA = 40kN（4）绘制梁式杆的内力图 §6－－5 三铰拱 6－－5 －－1工程实例和计算简图工程实例和计算简图 1. 拱的特点拱是由曲杆组成的在竖向荷载作用下支座处产生水平推力的结构拱是由曲杆组成的在竖向荷载作用下支座处产生水平推力的结构 2. 拱的分类 无铰拱无铰拱(图a)、两铰拱两铰拱 (图b)和三铰拱三铰拱(图c) 3. 拱的各部分名称拱与基础的连接处称为拱趾拱趾，或称拱脚拱脚拱轴线的最高点称为拱顶拱顶拱顶到两拱趾连线的高度f称为拱高拱高，两个拱趾间的水平距离l称为跨度跨度，如图c所示。

拱高与拱跨的比值f/l称为高跨比 6－－5 －－2三铰拱的内力计算三铰拱的内力计算 1. 求支座反力取拱整体为隔离体，由平衡方程ΣMB=0，得由ΣMA=0，得由ΣFy=0，得FAx=FBx=Fx 再取左半个拱为隔离体，由平衡方程ΣMC=0，得与三铰拱同跨度同荷载的相应简支梁如图b所示，其支座反力为同时，可以计算出相应简支梁C截面上的弯矩为三铰拱的支座反力与相应简支梁的支座反力之间的关系为 2．求任一截面K上的内力取三铰拱的K截面以左部分为隔离体(图c) 利用平衡方程，可以求出拱的任意截面K上的内力为 在相应简支梁上取图d所示隔离体，利用平衡方程，可以求出相应简支梁K截面上的内力为 三铰拱任意截面K上的内力计算公式 3. 绘制内力图例例6－－8  求图a所示三铰拱截面D和E上的内力己知拱轴线方程为解解 （1）计算三铰拱的支座反力 相应简支梁截面C处的弯矩为三铰拱的支座反力为 （2）计算D截面上的内力计算所需有关数据为 算得三铰拱D截面上的内力为 （3）计算E截面上的内力计算所需有关数据为  算得三铰拱E截面上的内力为6－－5 －－3合理拱轴的概念合理拱轴的概念 在给定荷载作用下，可以通过调整拱轴线的形状来达到这一目的。

若拱的所有截面上的弯矩都为零，则这样的拱轴线就称为在该荷载作用下的合理拱轴合理拱轴 合理拱轴的确定 例例6－－9 求图a所示三铰拱在竖向均布荷载q作用下的合理拱轴解解 绘出拱的相应简支梁如图b所示，其弯矩方程为 拱的水平推力(水平支座反力)为 合理拱轴的方程为 §6－－6 静定结构的特性 1.静定结构解的唯一性当静定结构和荷载一定时，其反力和内力的解答是唯一的确定值 2．静定结构的局部平衡性    静定结构在平衡力系作用下，其影响的范围只限于受该力系作用的最小几何不变部分，而不致影响到此范围以外 3．静定结构的荷载等效性 若两组荷载的合力相同，则称为等效荷载等效荷载把一组荷载变换成另一组与之等效的荷载，称为荷载的等效变换荷载的等效变换第第7章章 静定结构的位移静定结构的位移【【内容提要内容提要】】本章在虚功原理的基础上建立了结构位移计算的公式，着重介绍静定结构在荷载作用、支座移动时所引起的位移计算静定结构的位移计算是结构刚度计算以及超静定结构内力计算的基础学习目标学习目标】】1. 了解结构位移的概念了解结构位移计算的目的2. 了解结构在荷载作用下位移计算的公式3. 掌握用单位荷载法计算静定结构在荷载作用下的位移。

4. 熟练掌握用图乘法计算静定梁和静定平面刚架在荷载作用下的位移5. 掌握静定结构由于支座移动引起的位移计算变形：结构（或其一部分）形状的改变位移：结构各点处位置的移动量位移线位移角位移：水平线位移：竖向线位移FP 1. 验算结构的刚度2. 为分析超静定结构打下基础3. 施工方面的需要§7－－1 概述概述 7－－1 －－1位移的概念位移的概念 7－－1 －－1位移计算的目的位移计算的目的 §7－－2静定结构在荷载作用下的位移计算 7－－2 －－1荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式 求A点的竖向位移 FN、M、FS——实际位移状态中由荷载引起的结构内力； ——虚拟力状态中由虚拟单位力引起的结构内力；  EA、EI、GA——杆件的拉压刚度、弯曲刚度、剪切刚度； ——切应力分布不均匀系数，与截面的形状有关； ∑——对结构中每一杆件积分后再求和上述方法称为单位荷载法单位荷载法 1、梁、刚架 2、平面桁架 3、组合结构 7－－2 －－2虚单位荷载的设置虚单位荷载的设置 （1）若计算的位移是结构上某一点沿某一方向的线位移，则应在该点沿该方向施加一个单位集中力（图a）2）若计算的位移是结构上某一截面的角位移，则应在该截面上施加一个单位集中力偶（图b）。

3）若计算的是桁架中某一杆件的角位移，则应在该杆件的两端施加一对与杆轴垂直的反向平行集中力使其构成一个单位力偶，每个集中力的大小等于杆长的倒数（图c） （4）若计算的位移是结构上某两点沿指定方向的相对线位移，则应在该两点沿指定方向施加一对反向共线的单位集中力（图d） （5）若计算的位移是结构上某两个截面的相对角位移，则应  在这两个截面上施加一对反向单位集中力偶（图e）6）若计算的是桁架中某两杆的相对角位移，则应在该两杆上  施加两个方向相反的单位力偶 （图f）例例7－－1  求图a所示简支梁的中点C的竖向位移ΔCV已知梁的弯曲刚度EI为常数 解解       计算结果为正，表示ΔCV的方向与所设单位力的方向相同，即ΔCV向下例例7－－2  求图7－7a所示刚架上点C的水平位移ΔCH和截面C的转角c已知各杆的弯曲刚度EI为常数解解 （1）求点C的水平位移ΔCH虚拟状态如图b 横梁BC：      竖柱AB： （→） （2）求截面C的转角，虚拟状态如图c 横梁BC： 竖柱AB： 例例7－－3  求图a所示桁架结点C的竖向位移ΔCV已知各杆的弹性模量均为E=2.1×105MPa，截面面积A=1200mm2。

解解      分别求出在虚拟力状态和实际位移状态中各杆的轴力如图b，c所示 应用公式计算位移 ΔCV=2×1.88=3.76mm  (↓)例例7－－4 组合结构如图a所示其中CD、BD为链杆，其拉压刚度为EA；AC为梁式杆，其弯曲刚度为EI在D点有集中荷载F作用求D点的竖向位移ΔDV 解解 分别求出在虚拟力状态和实际位移状态中各杆的内力 BC 杆：  AB 杆： 应用公式计算位移 （↓） 7－－3 －－1图乘法适用条件及图乘公式图乘法适用条件及图乘公式 一、图乘法原理αyxM(x)dxxyCxCCabab§7－－3 图乘法图乘法 若结构由若干杆件组成，对每一杆件均按上述计算，再进行叠加，即：二、应用图乘法的注意事项：二、应用图乘法的注意事项：（1）必须满足图乘法的应用条件（3）竖标yC只能取自直线弯矩图，且必须与另一图形的形心相对应；（4）面积A与竖标yC在杆轴线的同侧时，乘积A yC取正号，否则取负号①各杆或杆段均为直杆② 杆件的全长或某段的EI=常数③两个弯矩图 至少有一个是直线图形2）A、yC应分别取自两个弯矩图，不能取在同一弯矩图上；(a+l)/3(b+l)/3A=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线A A= =h hl/3/3二次抛物线A=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线A=hl/47－－3－－2图乘计算中的几个问题图乘计算中的几个问题1. 常见图形面积及形心位置 四、图乘法常用简化技巧：四、图乘法常用简化技巧：abdcl/3l/3l/3y1y2（一）、直线图形乘直线图形：一）、直线图形乘直线图形：1、同侧梯形相乘（杆段内EI为常数）各种直线图形乘直线图形，都可以用上述两公式处理。

如竖标在基线同侧各种直线图形乘直线图形，都可以用上述两公式处理如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负乘积取正，否则取负2、异侧梯形相乘（杆段内EI为常数）（1）32648(2)32648(4)236823648(3)3、阶梯形变截面（不同杆段EI不同）abdc（二）、多边形情况（二）、多边形情况（三）、曲边梯形情况（三）、曲边梯形情况labdchldcabldc例例7－－5  求图a所示简支梁的中点C的竖向位移ΔCV和B端截面的转角B 已知梁的弯曲刚度EI为常数解解 (↓) 例例7－－6  求图a所示悬臂梁上点B的竖向位移ΔBV已知梁的刚度EI为常数↓） 例例7－－7  求图a所示外伸梁上点C的竖向位移ΔCV已知梁的刚度EI为常数解解 （↓） 例例7－－8 求图a所示刚架上点C的竖向位移ΔCV和点B的水平位移ΔBH 已知各杆的弯曲刚度EI为常数 解解  (↓)  (→) 例例7－－9 求图a所示刚架杆端A、B之间的水平相对线位移ΔAB已知各杆的弯曲刚度EI为常数 解解 (→ ←) §7－－4静定结构由于支座移动引起的位移计算静定结构由于支座移动引起的位移计算      静定结构在支座的移动（线位移、角位移）下，只发生刚体位移，不产生内力和变形。

 如图a所示结构，当支座A产生水平线位移c1、竖向线位移c2和角位移c3时，欲求结构上截面B的竖向线位移  —虚拟力状态中由虚拟单位力引起的支座反力； —实际位移状态中支座的位移； ci 的方向与实际支座移动的方向与实际支座移动 的方向一致时，反力虚功取正值，的方向一致时，反力虚功取正值，反之取负值反之取负值  例例7－－10  如图a所示结构，若A端发生图中所示的移动和转动，求结构上点B的竖向位移ΔBV和水平位移ΔBH解解 ΔBV= －（0×a－ 1×b －l×）= b+l （↓） ΔBH= －（1×a＋0×b－ h×）=－a+ h  当a＜h 时，所得结果为正，点B的水平位移向左；否则向右第第8章章 拉压杆的强度拉压杆的强度【【内容提要内容提要】】本章介绍拉压杆的应力，拉压杆变形，材料在拉压时的力学性能，拉压杆的强度计算，简单介绍应力集中的概念最后介绍杆件的连接方式，连接件的剪切和挤压强度计算   1.理解应力的概念熟练掌握轴向拉压杆横截面上的应力计    算和应力分布规律 2. 了解纵向变形及横向变形相关概念学习目标学习目标】】3.掌握材料在拉压时的力学性能和测试方法。

4.理解许用应力与安全因数的概念5. 熟练掌握轴向拉压杆的强度计算6. 了解应力集中的概念7. 了解工程中杆件的连接方式8. 掌握连接件的剪切和挤压强度计算一、应力的概念一、应力的概念问题提出：哪一个杆件先断？问题提出：哪一个杆件先断？PPPP结论：结论：细杆先断说明：说明：强度不仅和杆件横截面上的内力有关，而且还与            横截面的面积有关 1. 定义：定义：由外力引起的内力集度集度§8－－1 拉压杆的应力拉压杆的应力①①平均应力：平均应力：②②M点处的应力点处的应力 ：：2. 应力的表示：应力的表示：③③应力应力p分解为：分解为：垂直于截面的应力称为垂直于截面的应力称为““正应力正应力””相切于截面的应力称为相切于截面的应力称为““切应力切应力””④④应力单位应力单位：：Pa（帕）（帕） 1kPa =1103Pa 1MPa =1106Pa 1GPa =1109Pa 8－－1 －－2拉压杆横截面上的正应力拉压杆横截面上的正应力(1)(1)实验观察实验观察实验观察实验观察FFabcd变形前：变形后：变形后：(2)(2)作出假设作出假设作出假设作出假设平面假设：杆件横截面在变形以后仍为平面且与杆轴线垂直，任意两横截面之间的所有纤维的伸长都相同，即杆件横截面上各点处的变形都相同。

   (3)(3) 结论结论结论结论轴向拉伸时，杆件横截面上各点处只产生正应力，且大小相等 式中：FN指杆件横截面上的轴力； A 指杆件的横截面面积 (4)(4) 应力符号：应力符号：应力符号：应力符号：拉应力为正，压应力为负 静力等效替换对原力系作用区域附近的应力分布有显著影响，但对稍远处的应力分布影响很小，可以忽略这就是圣维南原理圣维南原理圣维南原理圣维南原理 例例8－－1  一正方形截面的砖柱如图所示，F＝50kN求砖              柱的最大正应力解：解：  上、下两段横截面上的轴力分别为FN1＝－50kN，FN2＝－150kN 应力为  可见，砖柱的最大正应力发生在柱的下段各横截面上，其值为（压力）称应力较大的点为危险点危险点 §8－－1 拉压杆的变形拉压杆的变形纵向变形：纵向变形：杆件在轴向拉伸或压缩时，所产生的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短 横向变形：横向变形：杆件在轴向拉伸或压缩时，垂直于轴线方向的横向尺寸也有所缩小或增大  8－－2 －－1纵向变形纵向变形（1）杆原长为l，变形后长为l1，杆的变形为： △l＝l1－l      即为杆的纵向变形。

对于拉杆，     为正值，表示纵向伸长图 (a)；对于压杆，  为负值，表示纵向缩短（图b）(2)纵向线应变:单位长度的纵向变形 拉伸：ε＞0，称为拉应变拉应变；压缩ε＜0，称为压应变压应变ε是一个量纲为1的量引入比例常数E,则（虎克定律） 虎克定律　　实验证明：8－－2 －－2虎克定律虎克定律E称为弹性模量弹性模量，它与材料的性质有关，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标数值可由实验测定 EA称为杆的拉压刚度拉压刚度 胡克定律的另一表达式 σ＝Eε 它表明：当杆件应力不超过某一极限时，正应力与线应变成正比当杆件应力不超过某一极限时，正应力与线应变成正比 8－－2 －－2横向变形横向变形压杆在变形前、后的横向尺寸分别为d与d1，则其横向变形△d为       △d＝d1－d                                      横向线应变横向线应变对于拉杆，△d与都为负；对于压杆，△d与 都为正 泊松比泊松比或横向变形系数：横向变形系数： 横向线应变 与纵向线应变ε的绝对值之比，为一常数 用ν表示，量纲为1 表表8－－1 常用材料的常用材料的E和和ν的约值的约值材料名称E/GPaν低 碳 钢196～2160.24～0.28中 碳 钢2050.24～0.2816 锰 钢196～2160.25～0.30合 金 钢186～2160.25～0.30铸    铁59～1620.23～0.27混 凝 土15～350.16～0.18石 灰 岩410.16～0.34木材(顺纹)10～12橡    胶0.00780.47例例8－－2 为了测定钢材的弹性模量E值，将钢材加工成直径d=10mm的试件，放在实验机上拉伸，当拉力F达到15kN时，测得纵向线应变ε=0.00096，求这一钢材的弹性模量。

 解：解： 当F达到15kN时，正应力为由胡克定律得例例8－－3 一木方柱受轴向荷载作用，横截面边长a＝200mm，材料的弹性模量E＝10GPa，杆的自重不计求各段柱的纵向线应变及柱的总变形 解： 各段柱的轴力为 FNBC＝－100kN FNAB＝－260kN 各段柱的纵向变形为 各段柱的纵向线应变为全柱的总变形 △l=△lBC+△lAB=－0.5mm－0.975mm=－1.475mm §8－－3 材料在拉压时的力学性能材料在拉压时的力学性能8－－3 －－1材料在拉伸时的力学性能材料在拉伸时的力学性能(1)拉伸试件先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为标距 ll l0 0 = 10= 10d d0 0 或或或或 l l0 0=5=5d d0 0 (2) 拉伸图 ( F- l 曲线 )     拉伸图与试样的尺寸有关     为了消除试样尺寸的影响，把拉力F除以试样的原始面积A，得正应力；同时把 l 除以标距的原始长度l ,得到应变     表示F和  l关系的曲线，称为拉伸图(3) 应力应变图       表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图。

 (a) 弹性阶段      试样的变形完全弹性的.   此阶段内的直线段材料满足胡克定律 比例极限比例极限比例极限比例极限B点是弹性阶段的最高点.(b) 屈服阶段   当应力超过B点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服弹性弹性弹性弹性极限极限极限极限C点为屈服低限     屈服极限(c)强化阶段      过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力， 要使它继续变形必须增加拉力这种现象称为材料的强化D点是强化阶段的最高点 强度强度强度强度极限极限极限极限(d) 局部变形阶段过E点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现 颈缩 现象. 一直到试样被拉断.颈缩现象      试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l变为 l1，横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为 A1  断面收缩率断面收缩率 伸长率伸长率  ≧≧5%的材料，称作的材料，称作塑性材料  <5%的材料，称作脆性材料的材料，称作脆性材料(4)伸长率和端面收缩率(5)卸载定律及冷作硬化卸载定律 若加载到强化阶段的某一点d 停止加载，并逐渐卸载，在卸载过程中，荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律。

 abcefOgf′′hε εd′′d在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载，当再次加载时，试样弹性范围内所能承受的最大荷载将增大.这种现象称为冷作硬化冷作硬化e - 弹性应变p - 塑性应变 abcdefOd′′gf′′h      e e   p pd2、无明显屈服极限的塑性材料  0.2 3 3、铸铁拉伸时的机械性能、铸铁拉伸时的机械性能ｂ- 铸铁拉伸强度极限  0.20.2%%割线斜率名义屈服应力用 表示.O  /MPa/%     ｂｂｂｂα1、实验试件2、低碳钢压缩时的σ-ε曲线dhF FF F8－－3 －－2材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能压缩的实验结果表明压缩的实验结果表明压缩的实验结果表明压缩的实验结果表明     低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限s都与拉伸时大致相同    屈服阶段后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限3、铸铁压缩时的σ-ε曲线铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成450～ 550倾角，表明这类试件主要因剪切而破坏。

铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的4～5倍2、许用应力1、极限应力四、安全系数和许用应力 n — n — 安全系数安全系数安全系数安全系数塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料材料的两个强度指标s 和 b 称作极限应力或危险应力，并用 0 表示. 以大于1的因数除极限应力，并将所得结果称为许用应力，用[]表示.强度设计准则：强度设计准则：　　　　　　　　　　　　　　　　　　其中：[]--许用应力， max--危险点的最大工作应力②②设计截面尺寸：设计截面尺寸：依强度准则可进行三种强度计算：①①校核强度：校核强度：③③许可载荷：许可载荷： §8－－4 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算例例8－－4三铰屋架的拉杆采用16锰圆钢，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =20 mm，许用应力[]=200M Pa    试校核刚拉杆的强度钢拉杆3.5mq20m① 整体平衡求支反力,利用对称性，得 解：钢拉杆3.5mq20m FA＝FB＝40KN③应力：④强度校核与结论：　　此杆满足强度要求，是安全的② 求 轴力：     qFAHARCHCFN例例8－－5 钢桁架的所有各杆都是由两个等边角钢组成。

已知角钢的材料为Q235钢，其许用应力[σ]＝170 MPa，试为杆EH选择所需角钢的型号 解解  （1）求支座反力取整个桁架为研究对象，利用对称性： FA＝FB＝F＝220kN（2）求杆EH的轴力 由∑MC＝0 得：FNEH＝293KN（3）计算杆EH的横截面积 （4）选择等边角钢的型号 由型钢表查得，选用└ 75×6 例例8－－6  如图所示三角形托架，AB为钢杆，其横截面面积为A ＝400mm2，许用应力[σ]＝170MPa；BC为木杆，其横截面面积为A ＝10000 mm2，许用压应力为[σc]＝10MPa求荷载F的最大值Fmax 解解  （1）求两杆的轴力与荷载的关系取结点B为研究对象（图b），由平衡方程 ∑Fy＝０ ＦN2sin30-F=0得∑Fx＝０ FN2cos30 －FN1＝０ 得（2）计算许用荷载AB杆的许用  轴力为：  所以对于AB杆，许用荷载为 同样，对于BC杆，许用轴力为 为了保证两杆都能安全地工作，荷载F的最大值为 Fmax＝39.3 kN 例例8－－7  如图表示一等直杆，其顶部受轴向荷载F的作用已知杆的长度为l ，横截面面积为A，材料的容重为g ，许用应力为[σ]，试写出考虑杆自重时的强度条件。

 解:杆的任一横截面m-m上的轴力为 由此绘出杆的轴力图如图c所示 杆的强度条件为: 为了合理地利用材料，应使杆的每一横截面上的应力都等于材料的许用应力[σ]，这样设计的杆称为等强度杆等强度杆，其形状如图a所示不过，等强度杆的制作复杂而且昂贵，故在工程中，一般都制成与等强度杆相近的阶梯形杆（图b）或截锥形杆（图c） §8－－5 应力集中的概念应力集中的概念1.  应力集中的概念如图所示，由于杆件外形的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中应力集中 2.  应力集中对构件强度的影响 应力集中对构件强度的影响随构件性能不同而异当构件截面有突变时会在突变部分发生应力集中现象，截面应力呈不均匀分布(图a)继续增大外力时，塑性材料构件截面上的应力最高点首先到达屈服极限s(图b)若再继续增加外力，该点的应力不会增大，只是应变增加，其他点处的应力继续提高，以保持内外力平衡外力不断加大，截面上到达屈服极限的区域也逐渐扩大(图c、d)，直至整个截面上各点应力都达到屈服极限，构件才丧失工作能力因此，对于用塑性材料制成的构件，尽管有应力集中，却并不显著降低它抵抗荷载的能力，所以在强度计算中可以不考虑应力集中的影响。

脆性材料没有屈服阶段，当应力集中处的最大应力达到材料的强度极限时，将导致构件的突然断裂，大大降低了构件的承载能力因此，必须考虑应力集中对其强度的影响 §8－－6连接件的剪切和挤压强度计算连接件的剪切和挤压强度计算8－－6 －－1工程中杆件的连接方式工程中杆件的连接方式 8－－6 －－1剪切的实用计算剪切的实用计算 如图a所示，当上、下两块钢板以大小相等、方向相反、作用线很近且垂直于铆钉轴线的两个力F作用于铆钉上时，铆钉将沿m-m发生相对错动，即剪切变形，如图b所示m-m截面称为剪切面  剪切内力计算方法：截面法如图所示利用平衡方程求得剪切面上的剪力FS=F 切应力（假设为均匀分布）计算公式： AS——剪切面面积； FS——剪切面上的剪力 剪切的强度条件： [τ]——许用切应力 对于钢材，其许用切应力与许用拉应力之间大致有如下关系：[τ]=(0.6～0.8)[σ]8－－6 －－3挤压的实用计算挤压的实用计算         如图所示的铆钉在受剪切的同时，在钢板和铆钉的相互接触面上，还会出现局部受压的现象，称为挤压挤压 连接件与被连接件的相互接触面，称为挤压面挤压面挤压面上所传递的压力称为挤压力挤压力，用Fc表示。

挤压面上的应力称为挤挤压应力压应力，用σc表示 挤压应力 ：Fc——挤压面上的挤压力；Ac——挤压面的计算面积 挤压强度条件： [c]——材料的许用挤压应力对于钢材，其许用挤压应力[c]与许用拉应力[]之间大致有如下关系：   [c] =(1.7～2.0)[] 挤压面计算面积Ac规定如下:   当接触面为平面时（如键连接），接触面的面积就是挤压面的计算面积，当接触面为半圆柱面时（如铆钉、螺栓连接），取圆柱体的直径平面作为挤压面的计算面积（图b中阴影线部分的面积）这样计算所得的挤压应力和实际最大挤压应力值十分接近（图a）例例8－－8  如图a所示为铆钉与钢板的连接设钢板与铆钉材料相同，许用拉应力[σ]＝160MPa，许用切应力[τ]＝100MPa，许用挤压应力[σc]＝300MPa，钢板厚度t=2mm，宽度b=25mm，铆钉直径d=4mm试计算该连接的许用荷载解解 （（1)分析此连接件可能产生破坏的三种形式：铆钉沿其横截面被剪断，铆钉与钢板孔壁间被挤压而破坏，钢板沿其横截面被拉伸破坏 （2)按铆钉剪切面的切应力强度条件确定许用荷载[F] 由得（3)按连接件的挤压应力强度条件确定许用荷载 [F]。

 由得（4)按钢板的拉伸强度条件确定许用荷载[F] 由得综合以上，可得该连接的许用荷载[F]=2.51kN8－－6 －－4焊缝计算焊缝计算假定剪切面上的切应力是均匀分布的 剪切面上的切应力：  FS——作用在单条焊缝最小断面上的剪力； A——焊缝的最小断面即剪切面面积； δ——焊接板件的厚度；l——焊缝的长度 通过焊接件实物的试验，可得到焊缝破坏时的剪切强度极限τb，再考虑一定的强度储备，就得到焊缝材料的许用切应力[τ]由此得到焊缝的切应力强度条件为 ： 例8－9 如图所示两块钢板A和B搭焊在一起，已知钢板厚度δ=8mm，所受拉力F=150kN，焊缝的许用切应力[τ]=108MPa，求焊缝搭焊时所需的长度解解  搭焊钢板在如图所示的受力情况下，对于单条焊缝所承受的剪力应为FS=F/2焊缝的剪切面面积为A=δlcos45°，由焊缝的切应力强度条件有：得        通常在以上计算长度l上再增加所焊钢板厚度δ的两倍，即实际焊缝的长度l′为 ：【【内容提要内容提要】】本章介绍切应力互等定理和剪切胡克定律，圆轴扭转时的应力和变形，以及强度和刚度计算。

简单介绍矩形截面杆自由扭转时的应力和变形 1. 理解切应力互等定理2. 理解剪切胡克定律3. 掌握圆轴扭转时的应力和强度计算以及变形和刚度计算学习目标学习目标】】第第9章章 受扭杆的强度和刚度受扭杆的强度和刚度 4. 掌握矩形截面杆自由扭转时的应力和强度计算以及变形    和刚度计算 §9－－1 圆轴扭转时的应力和强度计算圆轴扭转时的应力和强度计算9－－1 －－1圆轴扭转的实验圆轴扭转的实验1.  扭转试验现象与分析图a所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线，形成矩形网格在弹性范围内，扭转变形后（图b），可以观察到以下现象： （1）各纵向线都倾斜了一个微小的角度    ，矩形网格变成了平行四边形 （2）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕 轴线转动了不同的角度根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断：① 由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动这一假设称为圆轴扭转时的平面假平面假设设② 由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应力③ 由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了相对转动，故可推断横截面上必有切应力τ，且切应力的方向垂直于半径。

④ 由于各纵向线都倾斜了一个角度，故各矩形网格的直角都改变了  角，直角的改变量称为切应变切应变2.  切应力互等定理设矩形网格ABCD沿纵向长为dx，沿圆周向长为dy，以它作为一个面，再沿半径方向取长为dz，截出一个微小正六面体，称为单元单元体体，如图所示 由平衡方程，得 (τdydz)dx=（τ ′ dxdz）dy故τ=τ′ 上式表明，在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向共同指交线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向共同指向或背离该两面的交线向或背离该两面的交线这一结论称为切应力互等定理切应力互等定理       单元体的两对面上只有切应力而没有正应力，这种应力情况称为纯剪切纯剪切 3.  剪切胡克定律 当切应力当切应力τ未超过材料的剪切比例极限未超过材料的剪切比例极限τp时，切应力时，切应力τ与其与其切应变切应变γ成正比成正比 τ=Gγ G称为材料的切变模量切变模量 9－－1 －－2圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力 圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式 T——横截面上的扭矩，以绝对值代入； ——横截面上欲求应力的点处到圆心的距离；Ip——横截面对圆心的极惯性矩极惯性矩 当    =R时，切应力最大，最大切应力 令 则有 ——扭转截面系数扭转截面系数。

 圆截面： 圆环形截面： ——内、外径的比值 应该注意，扭转时应力的计算公式只适用于圆轴例例9－－1 空心圆轴的横截面外径D=90mm，内径d=85mm，横截面上的扭矩T=1.5kN·m求横截面上内外边缘处的切应力，并绘制横截面上切应力的分布图 解解 （（1）计算极惯性矩极惯性矩为 （2）计算切应力内外边缘处的切应力分别为9－－1 －－3圆轴的强度计算圆轴的强度计算 圆轴扭转时的强度条件为 例例9－－2 如图a所示的空心圆轴，外径D=100mm，内径d=80mm，外力偶矩Me1 =6kN·m、Me2 =4kN·m材料的许用切应力[   ]=50MPa，试对该轴进行强度校核解解 （（1）求危险截面上的扭矩绘出轴的扭矩图如图b所示，BC段各横截面为危险截面，其上的扭矩为  Tmax =4kN·m （2）校核轴的扭转强度截面的扭转截面系数为轴的最大切应力为可见轴是安全的 例例9－－3 实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌离合器连在一起，如图所示已知轴的转速n=100r/min，传递功率P=10kW，材料的许用切应力[t ]=20MPa1）选择实心轴的直径D12)若空心轴的内外径比为1/2，选择空心轴的外径D2。

3)若实心部分与空心部分长度相等且采用同一种材料，求实心部分与空心部分的重量比 解解 轴承受的外力偶矩为 故轴任一横截面上的扭矩为 T=Me=955N·m （1）选择实心轴的直径由强度条件得（2) 选择空心轴的外径D2空心圆截面的扭转截面系数为（3）实心部分与空心部分的重量比为 显然空心轴比实心轴节省材料§9－－2 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算9－－2 －－1圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 圆轴扭转时的变形通常是用两个横截面绕轴线转动的相对扭转角f来度量dφ——相距为dx的两横截面间的扭转角； T——横截面上的扭矩，以绝对值代入；G——材料的切变模量； Ip——横截面对圆心的极惯性矩相距为l的两横截面间的扭转角为 积分后得 GIp称为圆轴的扭转刚度扭转刚度，用它来表示圆轴抵抗扭转变形的能力 工程中通常采用单位长度扭转角单位长度扭转角，即 单位长度扭转角 的单位为rad／m 9－－2 －－2圆轴的刚度计算圆轴的刚度计算 在实际工程中[ ]的单位通常为 /m 例例9－－4  图a所示的传动轴，在截面A、B、C三处作用的外力偶矩分别为MeA=4.77kN·m、MeB=2.86kN·m、MeC=1.91kN·m。

已知轴的直径D = 90mm，材料的切变模量G= 80103MPa，材料的许用切应力[τ] = 60MPa，单位长度许用扭转角[ ] = 1.1/m试校核该轴的强度和刚度 解解 （1）求危险截面上的扭矩绘出扭矩图如图b所示由图可知，BA段各横截面为危险截面，其上的扭矩为 Tmax=2.86kN·m（2）强度校核截面的扭转截面系数和极惯性矩分别为 轴的最大切应力为 可见强度满足要求（3）刚度校核轴的单位长度最大扭转角为可见刚度也满足要求§9－－3矩形截面杆自由扭转时的应力和变形矩形截面杆自由扭转时的应力和变形 在图a所示矩形截面杆的表面画上若干纵向线和横向线，则在扭转后可看到所有横向线都变成了曲线（图b），这说明横截面不再保持为平面而变为曲面，这种现象称为翘曲翘曲 试验表明，非圆截面杆扭转时都会发生翘曲，圆轴扭转时的平非圆截面杆扭转时都会发生翘曲，圆轴扭转时的平面假设不再成立，应力和变形的计算公式也不再适用面假设不再成立，应力和变形的计算公式也不再适用 当非圆截面杆不受任何约束时，横截面能自由翘曲，各截面翘曲的程度相同（图a），截面上只有切应力而没有正应力，这种扭转称为自由扭转自由扭转。

 若杆件受到约束，例如一端固定，则各截面的翘曲受到限制，横截面上不仅有切应力，而且还有正应力，这种扭转称为约束扭转约束扭转（图b） 简单介绍矩形截面杆自由扭转的主要结论： （1）矩形截面杆自由扭转时横截面上切应力的分布规律如图所示截面周边各点处的切应力平行于周边且与扭转方向一致；在对称轴上，各点的切应力垂直于对称轴；其他各点的切应力是斜向的；角点及形心处的切应力为零；最大切应力τmax发生在长边中点处；短边中点处有较大的切应力τ1（2）计算公式最大切应力为短边中点处的切应力为单位长度扭转角为Wp—矩形截面的扭转截面系数，Wp=αhb2； It—矩形截面的相当极惯性矩，It=βhb3；α、β、γ—与矩形截面高度比h/b有关的系数，可由表查得 例例9－－5  有一矩形截面的等直钢杆，其横截面尺寸为h=100mm，b=50mm，杆两端作用一对扭转力偶他，已知Me=4kN·m，钢的许用切应力[τ]=100MPa，切变模量G=80×103MPa，单位长度许用扭转角[θ]=1.2°／m试对此杆进行强度和刚度校核 解解 杆的扭矩为T=Me=4kN·m由h/b=100mm/50mm=2，查表得α=0.246，β=0.229。

因此可见此杆满足强度和刚度要求第第10章章 梁的强度和刚度梁的强度和刚度 【内容提要】【内容提要】本章介绍等截面直梁平面弯曲时的应力和强度计算以及变形和刚度计算及受力构件内一点处应力状态的概念，应力状态的分析和梁主应力迹线的概念学习目标】【学习目标】1.熟练掌握梁弯曲时横截面上正应力、切应力的计算和梁的强度计算2. 了解提高梁弯曲强度的主要措施3. 掌握用叠加法计算梁弯曲时的变形以及进行刚度计算4. 理解应力状态的概念了解应力状态的分类5. 掌握平面应力状态中单元体斜截面上的应力计算，主应力和主平面计算，最大切应力和最大切应力平面计算6. 理解梁的主应力迹线的概念§10－－1 梁弯曲时的应力梁弯曲时的应力 10－－1 －－1梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力剪力和弯矩是横截面上分布内力的合力在横截面上只有切向分布内力才能合成为剪力，只有法向分布内力才能合成为弯矩（图）因此，梁的横截面上一般存在着切应力和正应力，它们分别由剪力F FS和弯矩M所引起的 1. 纯弯曲时梁横截面上正应力的计算梁弯曲时横截面上如果只有弯矩而无剪力，这种情况称为纯弯曲纯弯曲如果既有弯矩又有剪力，则称这种弯曲为横力弯曲横力弯曲。

如图所示的简支梁，其CD段是纯弯曲情况，而AC和DB段则是横力弯曲情况纯弯曲是弯曲中最简单的情况，下面先研究纯弯曲梁横截面上的正应力计算 取截面具有竖向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在梁侧面画上与轴线平行的纵向直线和与轴线垂直的横向直线，如图10所示然后在梁的两端施加外力偶Me，使梁发生纯弯曲（图10）此时可观察到下列现象： ① 纵向直线变形后成为相互平行的曲线，靠近凹面的缩短，靠近凸面的伸长② 横向直线变形后仍然为直线，只是相对地转动一个角度③ 纵向直线与横向直线变形后仍然保持正交关系根据所观察到的表面现象，对梁的内部变形情况进行推断，作出如下假设：① 梁的横截面在变形后仍然为一平面，并且与变形后梁的轴线正交，只是绕横截面内某一轴旋转了一个角度这个假设称为平面假设平面假设② 设想梁由许多纵向纤维组成变形后，由于纵向直线与横向直线保持正交，即直角没有改变，可以认为纵向纤维没有受到横向剪切和挤压，只受到单方向的拉伸或压缩，即靠近凹面纤维受压缩，靠近凸面纤维受拉伸根据以上假设，靠近凹面纤维受压缩，靠近凸面纤维受拉伸。

由于变形的连续性，纵向纤维自受压缩到受拉伸的变化之间，必然存在着一层既不受压缩、又不受拉伸的纤维，这一层纤维称为中性层中性层中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴，如图所示梁弯曲时，各横截面绕各自中性轴转过一角度可以证明，中性轴通过横截面的形心并垂直中性轴通过横截面的形心并垂直于横截面的竖向对称轴于横截面的竖向对称轴可以证明，梁横截面上正应力的计算公式为                    式中：M—横截面上的弯矩；y—横截面上待求应力点至中性轴的距离；Iz—横截面对中性轴的惯性矩（惯性矩（见附录一）在使用公式（10-1）计算正应力时，通常以M、y的绝对值代入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正(拉)或负(压)，即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉应力，梁的凹入边的应力为压应力10－1) 在同一横截面上，弯矩M和惯性矩Iz为定值，因此，由式(10－1)可以看出，梁横截面梁横截面上某点处的正应力上某点处的正应力σ与该点到中性轴的距离与该点到中性轴的距离y成正比成正比，当y=0时，σ=0，即中性轴上各中性轴上各点处的正应力为零点处的正应力为零中性轴两侧中性轴两侧，一侧受拉一侧受拉，另一侧受压另一侧受压。

离中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax2. 横截面上正应力的分布规律和最大正应力                    最大应力值为 令 则最大正应力可表示为式中：Wz—截面对中性轴z的弯曲截面系数弯曲截面系数它只与截面的形状及尺寸有关，是衡量截面抗弯能力的一个几何量，常用单位为mm3或m3 3. 惯性矩和弯曲截面系数的计算几种常见简单截面如矩形、圆形及圆环形等的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz列于表10中，以备查用由简单截面组合而成的截面的惯性矩计算，见附录Ⅰ型钢截面的惯性矩和弯曲截面系数可由型钢规格表查得 4. 横力弯曲时梁横截面上正应力的计算公式横力弯曲时梁横截面上不仅有弯矩而且还有剪力，因此梁横截面上不仅有正应力，而且还有切应力由于切应力的存在，梁变形后横截面不再保持为平面按平面假设推导出的纯弯曲梁横截面上正应力计算公式，用于计算横力弯曲梁横截面上的正应力是有一些误差的但是当梁的跨度和横截面的高度的比值 l/h＞5时，其误差甚小因此，式(10－1)也适用于横力弯曲但要注意，纯弯曲梁段M为常量，而横力弯曲梁段M是变量，故应用M( x)代替式(10－1)中的M。

在横力弯曲时，如果梁的横截面对称于中性轴，例如矩形、圆形和圆环形等截面，则梁的最大正应力将发生在最大弯矩（绝对值）所在横截面的边缘各点处，且最大拉应力和最大压应力的值相等梁的最大正应力为max= 如果梁的横截面不对称于中性轴，例如T形截面，由于y1≠y2，则梁的最大正应力将发生在最大正弯矩或最大负弯矩所在横截面上的边缘各点处，且最大拉应力和最大压应力的值不相等（详见例10－1）例例10－－1  求图a、b所示T形截面梁的最大拉应力和最大压应力已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm解解 （1)绘制梁的弯矩图 梁的最大正弯矩发生在截面C上 MC=2.5kNm 最大负弯矩发生在截面B上 MB=4kNm （2)计算C截面上的最大拉应力和最大压应力3)计算B截面上的最大拉应力和最大压应力综合以上可知，梁的最大拉、压应力分别为tmax=tC=28.8MPa cmax=cB=46.1MPa 10－－1 －－2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力  1. 切应力分布规律假设①横截面上各点处的剪应力τ都与剪力FS方向一致；②横截面上距中性轴等距离各点处切应力大小相等，即沿截面宽度为均匀分布。

2. 矩形截面梁的切应力计算公式FS——横截面上的剪力； Iz—整个截面对中性轴的惯性矩； b—需求切应力处的横截面宽度； —横截面上需求切应力点处的水平线以上(或以下)部分的面积A*对中性轴的静矩 用上式计算时，FS与均用绝对值代入即可在上、下边缘处  ，切应力为零；在中性轴上(y=0)，切应力最大，其值为由上式可知，矩形截面梁横截面上的最大切应力值等于截面上平均切应力值的1.5倍3. 工字形截面梁切应力可按矩形截面的切应力公式计算，即 d—腹板的厚度； —横截面上所求切应力处的水平线以下（或以上）至边缘部分面积A＊对中性轴的静矩      最大切应力发生在中性轴上各点处，并沿中性轴均匀分布，其值为 FS—横截面上的剪力； Af—腹板的面积 对于工字钢截面，最大切应力的值为 ——由型钢规格表查得； d——腹板的厚度 4. 圆形截面梁和薄壁圆环形截面梁 圆形截面梁：薄壁圆环形截面梁： 例例10－－2  一矩形截面简支梁如图所示已知l=3m，h=160mm，b=100mm，h1=40mm，F=3kN，求m—m截面上K点处的切应力 解解 （1)求支座反力及m-m截面上的剪力FA=FB=F=3kNFS=－FB=－3kN（2)计算截面的惯性矩和静矩。

 （3)计算m-m截面上K点处的切应力例例10－－3  图所示矩形截面简支梁，受均布荷载q作用求梁的最大正应力和最大切应力，并进行比较解解  绘出梁的剪力图和弯矩图，分别如图b、c所示 梁的最大正应力和最大切应力分别为 最大正应力和最大切应力的比值为 从本例看出，梁的最大正应与最大切应力之比的数量级约等于梁的跨度l与梁的高度h之比因为一般梁的跨度远大于其高度，所以梁内的主要应力是正应力§10－－2 梁弯曲时的强度计算梁弯曲时的强度计算10－－2 －－1梁的强度条件梁的强度条件 1. 梁的正应力强度条件对于等截面直梁，上式可写为 [σ]——材料的许用正应力 对于抗拉和抗压强度不同的脆性材料  σtmax≤[σt] σcmax≤[σc] [σt]为许用拉应力[σc]为许用压应力2. 切应力强度条件 max≤［］ [τ]——材料的许用切应力 10－－2 －－2梁的强度计算梁的强度计算  对于一般的跨度与横截面高度的比值较大的梁，其主要应力是正应力，因此通常只需进行梁的正应力强度计算但是，对于以下三种情况还必须进行切应力强度计算：① 薄壁截面梁例如，自行焊接的工字形截面梁等② 对于最大弯矩较小而最大剪力却很大的梁。

 ③ 木梁 例例10－－4  图为支承在墙上的木栅的计算简图已知材料的许用应力［］=12MPa，［τ］=1.2MPa试校核梁的强度解解  （1)绘制剪力图和弯矩图 FSmax=9kN    Mmax=11.25kNm（2）校核正应力强度 可见梁满足正应力强度条件3)校核切应力强度 梁也满足切应力强度条件 例例10－－5  图所示由45c号工字钢制成的悬臂梁，长l=6m，材料的许用应力［］=150MPa，不计梁的自重试按正应力强度条件确定梁的许用荷载解解 绘制弯矩图 Mmax=Fl 45c号工字钢的Wz=1570cm3 例例10－－6  图所示工字形截面外伸梁，已知材料的许用应力［］=160MPa，［τ］=100ΜPa试选择工字钢型号 解解  （1)绘制剪力图和弯矩图  FSmax=23kN， Mmax=51kNm（2)按正应力强度条件选择工字钢型号 选用22b号工字钢，其Wz=325cm3，可满足要求 （3)按切应力强度条件进行校核  Iz：Sz=18.7cm ， d=9.5mm可见满足切应力强度条件因此选用22b号工字钢 §10－－3 提高梁弯曲强度的主要措施提高梁弯曲强度的主要措施 1. 合理布置梁的支座和荷载2. 采用合理的截面梁的最大弯矩确定后，梁的弯曲强度取决于弯曲截面系数。

梁的弯曲截面系数Wz越大，正应力越小应使截面的Wz/A比值尽可能大，这种截面称为合理截面合理截面  3. 采用变截面梁为提高材料的利用率、提高梁的强度，可以设计成各截面应力值均同时达到许用应力值，这种梁称为等强度梁等强度梁工程中一般只采用近似等强度的变截面梁变截面梁  §10－－4 梁弯曲时的变形和刚度计算梁弯曲时的变形和刚度计算 10－－4 －－1挠度和转角挠度和转角 在平面弯曲的情况下，梁的轴线AB在平面内弯成一条光滑而又连续的曲线AB，称为梁的挠曲线挠曲线 梁的变形可用以下两个位移量来表示：（1）挠度 梁任一横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为该横截面的挠度挠度，用w表示 （2）转角 梁任一横截面绕其中性轴转过的角度，称为该横截面的转角转角，用φ表示 规定沿w轴正向（即向下）的挠度为正，反之为负 符号规定：规定φ以顺时针转向时为正，反之为负 梁的挠曲线方程梁的挠曲线方程和转角方程：转角方程：       梁横截面的挠度w和转角φ都随截面位置x而变化，是x的连续函数 w = w(x)φ=φ(x)积分法积分法       求任一横截面的挠度和转角，通过建立和求解梁的挠曲线的近似微分方程，就可以得到梁的挠曲线方程和转角方程，然后积分。

  10－－4 －－2用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形         按照叠加原理，当梁上同时作用几个荷载时，可以先分别求出每个荷载单独作用下梁的挠度或转角，然后进行叠加(求代数和)，即得这些荷载共同作用下的挠度或转角这种求梁变形的方法称为叠加法叠加法 例例10－－7  图所示简支梁，同时受均布荷载q和集中荷载F作用，试用叠加法计算梁的最大挠度设弯曲刚度EI为常数 解解 查表得，简支梁跨中点C处有最大挠度，其值为 (↓)在集中荷载作用下，简支梁跨中点C处有最大挠度，其值为 (↓)在荷载q、F共同作用下，截面C的挠度为该梁的最大挠度，其值为(↓)简单荷载作用下梁的变形简单荷载作用下梁的变形 10－－4 －－3梁的刚度校核梁的刚度校核 梁的刚度条件刚度条件为 、——梁的最大挠度和最大转角； ——许用挠度和许用转角 、在建筑工程中，通常采用最大挠度与跨度l之比 例例10－－8  图所示由32a号工字钢制成的悬臂梁，长l=3.5m，荷载F=12kN，已知材料的许用应力=170MPa，弹性模量E=210 MPa，梁的许用挠跨比                 试校核梁的强度和刚度。

解解 （（ 1) 求梁的最大弯矩和最大挠度 Mmax= MA= Fl = 42 kN·m 查表，梁最大挠度发生在自由端B截面处，其值为 wmax=wB= （2) 校核梁的强度 梁满足强度条件 （3) 校核梁的刚度 =2.1×10-3＜ 可见梁也满足刚度条件§10－－5 梁的主应力迹线梁的主应力迹线 10－－5 －－1应力状态的概念应力状态的概念 1.应力状态的概念     通过构件内某一点所有不同截面上的应力情况集合，称为一点处的应力状态一点处的应力状态         研究一点处的应力状态时，往往围绕该点取一个微小的正六面体，称为单元体单元体      单元体面上只有正应力而没有切应力，这些切应力为零的平面称为主平面主平面，其上的正应力称为主应力主应力 三个主应力分别用σ1、σ2、σ3 围绕一点按三个主平面取出的单元体称为主应力单元体主应力单元体 2 .应力状态分类单元体上三对平面都存在应力的状态称为空间应力状态空间应力状态 只有两对平面存在应力的状态称为平面应力状态平面应力状态 只有一对平面存在应力的状态称为单向应力状态单向应力状态 仅有切应力作用，则称为纯剪切应力状态纯剪切应力状态 10－－5 －－2平面应力状态分析平面应力状态分析 1 任意斜截面上的应力      平面应力状态的单元体及其平面图形分别如图a、b所示，现在求单元体上任一斜截面ef上的应力。

  在以下的计算中，规定从x轴正向到外法线n为逆时针转向时，角α为正，反之为负应力的符号规定与以前相同，即对正应力，规定拉应力为正，压应力为负；对切应力，规定其对单元体内任一点的矩为顺时针转动方向时为正，反之为负图c中的σx、σy、σα、τx均为正值，τy为负值设斜截面ef的面积为dA，则eb面的面积为dAcosα，bf面的面积为dAsinα将作用于楔形体上所有的力分别向n和t轴上投影（图d），列出平衡方程并简化得：应用这两个公式时，一定要注意式中各量的正负号 2. 应力圆将上面两式中α的消去，得由上式确定的以             为变量的圆，称为应力圆应力圆  圆心的横坐标为 纵坐标为           零 圆的半径为        它是由德国工程师莫尔（O.Mohr）于1882年首先提出的，故也成为莫尔圆莫尔圆例例10－－9 从受力构件内某点处取出的单元体的应力状态如图所示，求该点处α=30°斜截面上的应力 解解 根据符号规定，有        σx=l00MPa， τx= 20MPa， σy =40MPa， 3. 主平面和主应力 若α=α0时，能使导数 则有 进一步求得最大或最小正应力为       正应力为最大或最小所在的平面即为主平面。

因此，主应力就是最大或最小的正应力 单元体两个相互垂直的截面上的正应力之和为一定值单元体两个相互垂直的截面上的正应力之和为一定值 4. 最大切应力及其平面位置 切应力的最大值和最小值为 最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为45°      最大切应力和最小切应力的数值等于最大主应力与最小主应力之差的一半 例例10－－10　如图a所示矩形简支梁，已知其横截面m-m上点B（图b）的正应力和切应力分别为 σ=－60MPa，τ= 40MPa求点B的主应力和和主平面，并讨论同一截面上其他点处的主应力和主平面 解解  画出B点处单元体应力状态（图c），单元体各个面上的应力为故B点处的主应力为σ1=20MPa，σ2=0，σ3=﹣80MPa故主平面位置为2α0=53.2°，α0=26.6°α0′=α0－90°=26.6°－90°=﹣63.4°10－－5 －－3梁的主应力迹线梁的主应力迹线 为了显示梁内各点处主应力方向的变化规律，需要绘制主应力迹线：首先按一定比例绘出梁的平面图，设其中的一段如图所示然后绘出代表一些横截面位置的等间距直线1-1、2-2等等，从横截面1—1上的任一点a开始，画出a点处的主应力(主拉应力σ1或主压应力σ3)方向，将其延长与邻近的截面2—2相交于b点，再画求出b点处的主应力方向，延长与截面3—3交于c点，依次继续下去，便可得到一条折线，如图所示。

         从截面上的不同点出发就可以得到不同的光滑曲线，曲线上任一点的切线即代表该点的主应力方向这样的曲线称为梁的主应力迹线 主应力迹线有两组：      一组称为主拉应力迹线主拉应力迹线，其上各点的切线方向为该点处主拉应力σ1的方向；      另一组称为主压应力迹线主压应力迹线，其上各点的切线方向为该点处主压应力σ3的方向 图a、b分别绘出了受均布荷载作用的简支梁和在集中荷载作用下的悬臂梁的两组主应力迹线图中实线表示主拉应力σ1的迹线，虚线表示主压应力σ3的迹线 在钢筋混凝土梁中，由于混凝土的抗拉强度较低，故放置钢筋的目的是承受拉应力因此，钢筋应大体上沿最大拉应力σ1的方向布置（图a、b）【【内容提要内容提要】】本章介绍工程中常见的斜弯曲杆件的应力和强度计算以及变形和刚度计算；拉伸（压缩）与弯曲、偏心压缩（拉伸）等组合变形杆件的应力和强度计算以及截面核心的概念学习目标学习目标】】第第11章组合变形杆件的强度和刚度章组合变形杆件的强度和刚度 1. 了解工程实际中的组合变形掌握组合变形问题的分析方法2. 掌握斜弯曲杆件的应力和强度计算以及变形和刚度计算3.掌握拉伸（压缩）与弯曲组合变形、偏心压缩（拉伸）杆件的应力和强度计算。

了解截面核心的概念§11－－1 概 述 1、斜弯曲、斜弯曲       两个垂直方向产生平面弯曲变形 2、压缩与弯曲的组合变形，如图、压缩与弯曲的组合变形，如图b 3、偏心压缩、偏心压缩        纵向力不沿轴线作用，如图c4、弯曲与扭转的组合变形、弯曲与扭转的组合变形 ，如图d     对于小变形且材料符合胡克定律的组合变形杆件，可以应用叠加原理其强度和刚度计算的步骤如下：  1）将杆件承受的荷载进行分解或简化，使每一种荷载各自只产生一种基本变形2）分别计算每一种基本变形下的应力和变形3）利用叠加原理，即将这些应力或变形进行叠加，计算杆件危险点处的应力，据此进行强度计算；或计算杆件的最大变形，据此进行刚度计算§11－－2 斜弯曲斜弯曲 11－－2 －－1斜弯曲梁的应力和强度计算斜弯曲梁的应力和强度计算 以如图所示梁为例，分析斜弯曲时的应力和强度计算问题 1．荷载分解  Fy将使梁在Oxy纵向对称面内发生平面弯曲，z轴为中性轴；  Fz将使梁在Oxz纵向对称面内发生平面弯曲，y轴为中性轴； 2．内力分析Fy和Fz在距固定端为x处横截面mm上引起的弯矩分别为： Mz=Fy(l-x)=F(l-x)cos=McosMy=Fz(l-x)=F(l-x)sin=Msin 其中M=F(l-x)力F引起的mm截面上的总弯矩。

 3．应力分析 K点处的正应力分别为：  Mz、My、y和z均以正值代入，至于和为拉应力（拉应力为正）还是为压应力（压应力为负），可以直接观察变形来判断 根据叠加原理，K点处的正应力  =+ 4. 最大正应力对于工字形、槽形及由它们组成的组合截面，如将它们的角点连接起来后其轮廓线亦为矩形，因而上式仍然适用5. 强度计算若梁的材料抗拉压能力相同，斜弯曲梁的强度条件如下： 如果材料的抗拉、压强度不同，则须分别对拉、压强度进行计算 11－－2 －－2斜弯曲梁的挠度和刚度计算斜弯曲梁的挠度和刚度计算 计算图所示悬臂梁自由端的挠度    先计算出在分荷载Fy和Fz作用下在自由端引起的挠度wy和wz如下： 总挠度 总挠度的方向 斜弯曲的特点 ：外力作用平面与挠曲线平面不重合外力作用平面与挠曲线平面不重合 例例11－－1  跨长l=4m的简支梁，用32a号工字钢制成作用于梁跨中点的集中力F=33kN，其与横截面竖向对称轴y的夹角=15已知钢的许用应力=170MPa，梁的许用挠跨比              ，试校核此梁的强度和刚度 解解  （1)外力分析和内力分析。

         梁跨中截面是危险截面，其上弯矩的大小为  沿z、y轴的分弯矩的大小分别为（2)应力分析和强度校核 危险点A处的正应力为 此梁满足强度要求 （3）刚度校核 Iz=11075.5mm4，Iy=11075.5mm4梁跨中截面沿y轴正向的挠度为 梁跨中截面沿z轴负向的挠度为梁的最大挠度为 因为梁也满足刚度要求 §11－－3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形      现以图所示矩形截面简支梁受横向力F1和轴向力F2的作用为例来说明正应力的计算     梁在横向力作用下发生弯曲，弯曲正应力σM为 其分布规律如图所示，最大应力为：梁在轴力FN作用下引起轴向拉伸，如图d所示，其应力为 总应力： 其分布规律如图e所示 设                   最大应力为 强度条件为 例例11－－2　　图a所示的简易起重机，其最大起吊重量F＝15.5kN，横梁AB为工字钢，许用应力[σ]=170MPa，若不计横梁的自重，试选择工字钢的型号 解　（解　（1)确定横梁AB危险截面上的内力分量      外力FAy、F与FBy沿梁AB横向作用，使梁发生弯曲变形； 外力FAx与FBx沿梁AB轴向作用，使梁发生轴向压缩变形。

 绘出横梁AB的轴力图（图c）和弯矩图（图d） 横梁AB的中点横截面为危险截面 （2)初选工字钢型号 初选14号工字钢，其弯曲截面系数Wz=102cm3，截面面积A＝21.5cm2 （3)校核横梁组合变形时的正应力强度 初选的14号工字钢能保证横梁具有足够的强度 §11－－4 偏心压缩（拉伸）       图a所示矩形截面柱，承受的压力F的作用线不沿着柱轴线，但与柱轴线平行，这种受力情况称为偏心压缩 偏心距偏心距 偏心压力F的作用点到截面形心C的距离e 单向偏心压缩单向偏心压缩偏心压力作用于一根对称轴上而产生的偏心压缩  1. 荷载简化与内力分析 偏心压力F向截面的形心简化，得到一个通过轴线的压力F和一个力偶矩Me，如图b所示 各横截面上的内力相同 2. 应力分析 任意横截面上任一点的正应力，可看成由轴力引起的正应力 和弯矩引起的正应力 的叠加Mz、y、e均以绝对值代入； 弯曲正应力的正负号一般可观察弯矩Mz的转向来确定 3. 最大正应力最大正应力和最小正应力分别发生在横截面的左、右两个边缘上 或4. 强度计算偏心受压柱的强度条件为若材料的抗拉、压能力不同，则须分别对拉、压强度进行计算。

5.截面核心当偏心压力作用点在截面形心周围的某个小范围内时，截面上不会出现拉应力当偏心压力作用点在截面形心周围的某个小范围内时，截面上不会出现拉应力这个小范围称为截面核心这个小范围称为截面核心 常见截面图形截面核心例例11－－3 最大起吊重量F1=80kN的起重机，安装在混凝土基础上，起重机支架的轴线通过基础的中心，平衡锤重F2=50kN起重机自重F3=180kN（不包含F1和F2），其作用线通过基础底面的轴y，且偏心距e=0.6m已知混凝土的容重为22kN/m3，混凝土基础的高为2.4m，基础截面的尺寸b=3m求：（1）基础截面的尺寸h应为多少才能使基础底部截面上不产生拉应力；（2）若地基的许用压应力[σc]=0.2MPa，在所选的h值下，试校核地基的强度解解 (1)求尺寸h  F N=－F=－（F1+ F2+ F3+F4）  =－(310＋158.4h)kNMZ=(－50×4＋180×0.6＋80×8)kN·m =548kN·m由得h≥3.68m，取h=3.7m (2) 校核地基的强度 地基的强度是足够的 【内容提要】【内容提要】本章介绍了压杆稳定的概念、细长压杆临界力的欧拉公式与欧拉公式的适用范围、压杆的稳定计算以及提高压杆稳定性的主要措施。

学习目标】【学习目标】1．理解压杆稳定的概念2．掌握压杆的柔度计算，失稳平面的判别、压杆的分类      和临界力、临界应力计算公式 第第12章章 压杆稳定压杆稳定3．掌握用折减因数法对压杆进行稳定计算4. 了解提高压杆稳定性的主要措施§12－－1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 一、压杆的力学模型：       将压杆看作轴线为直线，且压力作用线与轴线重合的均质等直杆，称为中心压中心压受直杆受直杆或理想柱理想柱 二、平衡状态的类型1、稳定平衡：     干扰平衡的外力消失后，物体能自动恢复到原来的平衡位置的平衡如图所示2、临界平衡：    干扰平衡的外力消失后，物体可在任意位置继续保持平衡如图所示3、失稳：     从稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，这种现象称为丧失稳定性，简称失稳 压力Fcr称为压杆的临界力临界力 一、临界力的影响因素一、临界力的影响因素　　临界力FPcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关：杆的长度ll越大抵抗变形的能力越小容易失稳FPcr越小抗弯刚度EIEI越大抵抗变形的能力越强不易失稳FPcr越大杆端支承越牢固越不容易发生弯曲变形不易失稳FPcr越大二、临界力的欧拉公式二、临界力的欧拉公式E——材料的弹性模量I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩l——压杆的长度μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响μl——压杆的计算长度§12－－2 压杆的临界力与临界应力压杆的临界力与临界应力 12－－2 －－1细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式 lFcrμ=1   μl=l两端铰支l一端固定一端铰支Fcr0.3l0.7lμ=0.7   μl=0.7l两端固定lFcr0.5l0.25l0.25lμ=0.5   μl=0.5llFcr一端固定一端自由μ=2   μl=2l例例12－－1  一长l=4m，直径d=100mm的细长钢压杆，支承情况如图所示，在xy平面内为两端铰支，在xz平面内为一端铰支、一端固定。

已知钢的弹性模量E=200GPa，求此压杆的临界力 解解  μ应取较大的值,即失稳发生在杆端约束最弱的纵向平面内取μ=1  例例12－－2  有一两端铰支的细长木柱，己知柱长l=3m，横截面为80mm×140mm的矩形，木材的弹性模量E=10GPa求此木柱的临界力解解 I应取Imin 故临界力为 在临界力Fcr作用下，木柱将在弯曲刚度最小的xz平面内发生失稳只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧拉公式才适用，即：——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质有关，与压杆的截面形状和尺寸无关的压杆——大柔度杆（细长杆）欧拉欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）公式只适用于大柔度杆（细长杆）12－－2 －－2 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 ——压杆的柔度（长细比），是无量纲的量；①综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响②压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即：柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳——大柔度杆（适用欧拉公式）——中柔度杆，采用经验公式计算临界应力和临界力直线经验公式：抛物线经验公式：——小柔度杆（短压杆）：——不由稳定性控制，而强度条件控制。

直线经验公式中常见材料的直线经验公式中常见材料的a a、、b b 、、λλp p、、λλs s值值材料名称a/MPaa/MPaλλp pλλs sQ235钢σs=235MPa σb≥235MPa 3041.1210061.6硅钢σs=335MPa σb≥510MPa 5773.7410060铸铁3321.45硬铝3722.14500松林39.20.199590§12－－3 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 12－－3 －－1安全因数法安全因数法       为了保证压杆能够安全地工作，要求压杆承受的压力F应满足下面的条件：      将上式两边同时除以横截面面积A,得到压杆横截面上的应力应满足的条件：nst——稳定安全因数；稳定安全因数； [F]st——稳定许用压力；[]st——稳定许用应力12－－3 －－2折减因数法折减因数法  []st=  [] 称为压杆的折减因数折减因数或稳定因数稳定因数 折减因数法的稳定条件为：        对于木压杆的折减因数，在我国的木结构设计规范（GB50005－2003）中，给出了下面的两组计算公式树种强度等级为TC17、TC15及TB20：当柔度λ≤75时 当柔度λ＞75时 树种强度等级为TC13、TC11、TB17、TB15、TB13及TB11：当柔度λ≤91时 当柔度λ＞91时 例例12－－3  图所示木屋架中AB杆的截面为边长a=110mm的正方形，杆长l=3.6m，承受的轴向压力F=25kN。

木材的强度等级为TC13，许用应力[]=10MPa试校核AB杆的稳定性（只考虑在桁架平面内的失稳）解 AB杆的柔度为 折减因数为 AB杆的工作应力为＜[]=2.18MPa 因此，AB杆是稳定的 例例12－－4 钢柱由两根10号槽钢组成，长l=4m，两端固定材料为Q235钢,许用应力[]=160MPa现用两种方式组合：一种是将两根槽钢结合成为一个工字形（图a,）一种是使用缀板将两根槽钢结合成图b所示形式，图中间距a=44mm试计算两种情况下钢柱的许用荷载（提示：按b类截面计算） 解解  由型钢规格表查得10号槽钢截面的面积、形心位置和惯性矩分别为 A=12.74cm2 ，z0=1.52cmIz=198.3cm4 ，Iy=25.6cm4（1）求图a情况中钢柱的许用荷载 Iz=2×198.3cm4=396.6cm4 Iy=2×54.9cm4=109.8cm4 失稳将发生在弯曲刚度EI最小的xz平面内 折减因数为 =0.581－(0.581－0.575)× =0.579 钢柱的许用荷载为 [F]st=A []=236047 N=236.05 kN （1）求图b情况中钢柱的许用荷载。

 Iz=2×198.3cm4=396.6cm4 Iy=403.8cm4 失稳平面为 xy平面 折减因数为 =0.856－(0.856－0.852)× =0.853 钢柱的许用荷载为 [F]st=A []=347751N=347.8kN§12－－4 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 1. 合理地选择材料对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避免造成浪费对于中、小柔度压杆，采用强度较高的材料  2．减小压杆的柔度采取如下措施： （1）加强杆端约束 （2）减小杆的长度     （3）选择合理的截面：在截面积相同的情况下，采用空心截面或组合截面比采用实心截面的抗稳能力高  【【内容提要内容提要】】本章介绍最早出现的计算超静定结构的基本方法——力法和位移法在力法计算中，把多余未知力作为基本未知量，以解除了多余约束的静定结构作为力学分析的基础，由位移条件建立力法方程，从而求出多余未知力此外，在本章中还将介绍超静定结构的特性位移法也是计算超静定结构的一种基本方法位移法是以独立的结点位移作为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程求解位移，未知量个数与超静定次数无关，故一些高次超静定结构用位移法计算比较简便。

第第13章章 力力 法与位移法法与位移法1、掌握超静定次数的确定方法掌握力法的基本原理和解题步骤•2、熟练掌握用力法求解简单超静定梁和刚架的内力能用力法求解铰结排架、超静定桁架和组合结构的内力•3、能用力法求解支座移动和温度改变时超静定结构的内力学习目标学习目标】】•4、掌握位移法基本未知量的确定方法掌握位移法的基本原理和解题步骤了解单跨超静定梁的弯矩和剪力图表•5、了解对称结构与对称荷载的概念，掌握对称结构的计算方法•6、了解超静定结构的特性 2. 掌握力法的基本原理和计算步骤熟练掌握用力法计算简单超静定梁和刚架的内力能用力法计算铰结排架、超静定桁架和组合结构的内力3. 了解对称结构与对称荷载的概念，掌握对称结构的计算方法4. 能用力法计算支座移动时超静定结构的内力5. 能用力法计算超静定结构的位移6. 了解超静定结构的特性 超静定结构：其支座反力和各截面的内力不能完全由静定平衡条件惟一确定的结构静定结构：全部反力和内力仅用静力平衡方程便可以确定的结构        显然，要求超静定结构的内力，必须先求多余约束的反力，只要求出了多余约束的反力，就变成了静定结构内力计算问题因此求解超静定问题的关键在于求多余约束的内力。

一个结构有多少个多余约束呢？静定结构是没有多余约束的几何不变体系超静定结构是有多余约束的几何不变体系多余约束：对保持体系的几何不变性来说不是必要的约束§13－－1 概述概述 13－－1 －－1超静定结构的概念超静定结构的概念结构的超静定次数＝＝多余约束的个数超静定次数的确定方法：撤除多余约束使原结构变成静定结构1 1、撤去一根支杆或切断一根链杆等于去掉一个约束、撤去一根支杆或切断一根链杆等于去掉一个约束F1F2F1F2X1X2撤去一根支杆撤去一根支杆等于去掉一个约束去掉一个约束二次超静定二次超静定1次超静定切断一根链杆等于去掉一个约束F1F2F1F2X1X113－－1 －－2超静定次数的确定超静定次数的确定F1F2二次超静定去掉一个单铰等于去掉两个约束2、撤去一个铰支座或去掉一个单铰等于去掉二个约束F1F2F1F2X1X2撤去一个铰支座等于去掉二个约束二次超静定X2X2F1F2F1F23、撤去一个固定支座或切断一根连续杆等于去掉三个约束F1F2F1F2撤去一个固定支座等于去掉三个约束X1X2X3三次超静定F1F2X1X1X2X2X3X3切断一根连续杆等于去掉三个约束三次超静定4、将一个固定支座改为铰支座或将刚结点改为单铰等于去掉一个约束F1F2F1F2X1将将固定支座改为铰支座等于去掉一个约束固定支座改为铰支座等于去掉一个约束一次超静定F1F2F1F2X1将刚结点改为单铰等于去掉一个约束一次超静定X1F1F1四次超静定撤去多余约束时的注意事项：1、去掉的约束必须是对保持其几何不变性来说是多余的约束，即不要把原结构　　拆成几何可变体系F1F2二次超静定F1F2X1X2拆成了几何可变体系（×）2、要把所有的多余约束都拆掉，使其不仅是几何不变体系，而且是静定结构F1X1还有多余约束，仍为超静定结构X2X2X3X3X4X43、对于同一个超静定结构，撤去多余约束可以采取不同的方式，从而得到不同的静定结构。

但不论采用何种方式，最终所去掉的多余约束的总数应该是相同的13－－1 －－3超静定结构的计算方法超静定结构的计算方法（1）力法力法力法是以多余未知力作为基本未知量，以静定结构计算为基础，由位移条件建立力法方程求解出多余未知力，从而把超静定结构计算问题转化为静定结构计算问题2）位移法位移法位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程求解位移，利用位移和内力之间的关系计算结构的内力，从而把超静定结构的计算问题转化为单跨超静定梁的计算问题3）力矩分配法力矩分配法力矩分配法是在位移法基础上发展起来的一种渐近解法，它不需计算结点位移，而是直接分析结构的受力情况，通过代数运算直接得到杆端弯矩值去掉支座B(多余约束）l基本思路：基本思路：将超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题超静定结构求出多余未知力静定结构静力平衡条件求其余反力和内力qABAB基本结构多余约束的作用用相应的多余未知力代替X1q基本体系：基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系基本体系显然，通过调节X1的大小总可以使基本体系的受力与变形状态与原超静定结构完全相同——相当体系若X1已知，基本体系就是一个静定结构。

问题：怎么求X1呢？考虑变形条件：原结构中B支座处的位移Δ1＝0X1——基本未知量§13－－2力法的基本原理和典型方程力法的基本原理和典型方程13－－2 －－2力法的基本原理力法的基本原理X1ABX1q＝Δ1PAB+Δ11AB变形条件：Δ1＝ Δ11+ Δ1P＝0qδ11ABΔ11＝δ11X1δ11 X1+ Δ1P ＝0Δ1P——基本结构在荷载单独作用下，B点沿X1方向的位移Δ11——基本结构在多余未知力X1单独作用下，B点沿X1方向的位移Δ1——基本结构在荷载与多余未知力X1共同作用下，B点沿X1方向的总位移 δ11和Δ1P都是静定的基本结构在已知力作用下的位移，均可用“单位荷载法”求得于是有：基本方程X1＝－Δ1P / δ11力法力法：解除超静定结构的多余约束而得到静定的基本结构，以多余未知力为基本未知量，　　　根据基本结构在荷载和多余未知力共同下，在多余未知力处的位移和原结构在多　　　余约束处的相应位移相等的变形条件建立力法方程，即可求出多余未知力13－－2－－2力法典型方程力法典型方程图a所示为一个三次超静定刚架，去掉固定端支座B处的多余约束，用多余未知力 X1、X2 、X3代替，得到如图b所示的基本结构（悬臂刚架）。

     由于原结构B处为固定端支座，其线位移和角位移都为零 由叠加原理，上面的位移条件可表示为 n次超静定结构的力法典型方程3）δij 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；主系数：副系数：1）方程组的物理意义：基本结构在荷载和多余未知力共同作用下，在去掉多余约束处　　　　　　　　　　沿各多余未知力方向的位移与原结构相应的位移相等2） δij、的物理意义： δij产生位移的地方产生位移的原因4）  位移互等定理： δij ＝ δji5）ΔiF——自由项：荷载单独作用时所引起的沿Xi方向的位移ΔiF＞0＝0＜0δij＞0＝0＜0         ……………………………………………………..………………………………….13－－2－－3力法的计算步骤力法的计算步骤 （1）选取基本结构以去掉多余约束，代之相应的多余未知力的静定结构作为基本结构2）建立力法典型方程根据基本结构在去掉多余约束处的位移与原结构相应位置的位移相同的条件，建立力法方程3）计算力法方程中各系数和自由项为此，须分制绘出基本结构在单位多余未知力作用下的内力图和荷载作用下的内力图，或写出内力表达式，然后按求静定结构位移的方法计算各系数和自由项。

 （4）解方程求多余未知力将计算所得各系数和自由项代入力法方程，解出多余未知力 （5）绘制原结构的内力图系数和自由项的计算公式：对于梁和刚架通常忽略剪力和轴力对位移的影响，因此有：系数和自由项可采用图乘法进行计算13－－2－－4力法计算举例力法计算举例 例例13－－1  图a所示为一两端固定的超静定梁,全跨承受均布荷载q的作用,试用力法计算，并绘制内力图解解 （1）选取基本结构这是一个三次超静定梁，可去掉A、B端的转动约束和B端的水平约束，代之以多余未知力X1 、X2 X3 ，得到如图b所示的基本结构 （2）建立力法方程 1. 超静定梁和超静定刚架（3）计算系数和自由项 （4）解方程求多余未知力 由此解得（5）绘制内力图 aACBPACB基本结构PX1X2相当体系ACBa典型方程利用力乘法计算系数和自由项aaP例例13－－2 试用力法计算图所示超静定刚架，并绘制内力图解力法典型方程ACBX1X2P绘内力图绘弯矩图ACBaaaPACBP2. 铰接排架单层工业厂房通常采用铰接排架铰接排架结构，它是由屋架(或屋面大梁)、柱子和基础所组成的柱与基础刚结在一起，屋架与柱顶的连接简化为铰接。

因此称为铰接排架在对铰接排架进行计算时，屋架可单独取出计算而对柱子进行计算时，屋架对柱顶起联系作用，由于屋架刚度较大，通常可将屋架视为拉压刚度EA为无穷大的杆件图a所示为一单跨厂房排架结构，其计算简图如图b所示，由于柱上需放置吊车梁，因此做成阶梯式 例例13－－3  图a所示铰接排架，左边立柱受风荷载q = 1kN/m的作用试用力法计算，并绘制弯矩图 解解  切断横梁CD，代之以多余未知力X1，取图b所示的基本结构 由横梁切口两侧截面在荷载和多余未知力共同作用下相对水平位移应该为零的条件，建立力法方程为由图乘法计算系数和自由项为解得 负号表示X1的方向与假设方向相反，即横梁内力为压力 绘出弯矩图 3. 超静定桁架例例13－－4  试用力法计算图a所示桁架，已知各杆的拉压刚度EA为常数a）原结构  （b）基本结构 （d）FNF图  （e）FN图（c） 图 解解  此桁架为一次超静定结构 现切断杆CD，代之以多余未知力X1，得到如图b所示的基本结构 计算系数和自由项为 解得 各杆轴力如图e所示 二、超静定组合结构二、超静定组合结构（一）结构对称1、结构的几何形状和支座情况关于某轴对称；2、杆件截面和材料（E I 、EA）也对称。

§13－－3 结构对称性的利用结构对称性的利用 13－－3－－1对称结构和对称荷载对称结构和对称荷载 （二）荷载的对称性正对称荷载反对称荷载典型方程为：正对称荷载作用下，对称轴截面只产生轴力和弯矩正对称荷载作用下，对称轴截面只产生轴力和弯矩13－－3－－2对称结构的计算对称结构的计算 （四）、对称结构在反对称荷载作用下多余未知力的特点：反对称荷载作用下，对称轴截面只产生剪力反对称荷载作用下，对称轴截面只产生剪力典型方程为：1 1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下的半边结构的半边结构2 2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下的半边结构的半边结构1 1、奇数跨对称结构的半边结构、奇数跨对称结构的半边结构13－－3－－3半刚架法半刚架法 2、偶数跨对称结构的半边结构1）正对称荷载作用下的半边结构2）反对称荷载作用下的　　半边结构例例13－－7  利用结构的对称性，试用力法计算图a所示刚架，并绘制弯矩图已知各杆刚度EI为常数 解解  此结构为对称荷载作用下的两跨超静定刚架，取图b所示半刚架进行计算该半刚架为一次超静定结构，取图c所示基本结构建立力法方程为由图乘法计算系数和自由项为 解得弯矩图如图f所示。

 §13－－4 支座移动时超静定结构的内力计算  在超静定结构中，只要有使结构产生变形的因素，如支座移动、温度改变、材料在超静定结构中，只要有使结构产生变形的因素，如支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等，都会使超静定结构产生内力收缩、制造误差等，都会使超静定结构产生内力       用力法计算支座移动引起的超静定结构的内力，与在荷载作用下的计算类似，唯一的区别是力法方程中自由项的计算不同在支座移动的情况下，自由项表示支座移动引起的基本结构上Xi =1作用点沿Xi方向上的位移 例例13－－8  图a所示为一单跨超静定梁，支座A顺时针转动了角位移试用力法计算，并绘制内力图解解 计算系数和自由项为 将以上系数和自由项代入力法方程，有联立解得梁的弯矩图如图f所示 §14－－5 位移法的基本原理和典型方程位移法的基本原理和典型方程 14－－5 －－1位移法的基本原理位移法的基本原理 力法计算超静定结构是以多余未知力为基本未知量，当结构的超静定次数较高时，用力法计算比较麻烦而位移法则是以独立的结点位移为基本未知量，未知量个数与超静定次数无关，故一些高次超静定结构用位移法计算比较简便。

下面介绍位移法的基本原理以图示两跨梁为例予以说明 梁在均布荷载作用下将发生如虚线所示的变形在刚结点B处发生转角B，结点没有线位移则BC杆可以视为一根两端固定的梁（见图）其受均布荷载作用和支座B发生转角B这两种情况下的内力均可以由力法求同理， AB杆可以视为两端固定的梁（见图）而在固定端B处发生了转角B ，其内力同样由力法求出 可见，在计算刚架时，如果以Z1为基本未知量，设法首先求出Z1，则各杆的内力即可求出这就是位移法的基本思路1MABMBA由杆端位移求杆端弯矩由杆端位移求杆端弯矩（（1 1）由杆端弯矩）由杆端弯矩 MABMBAlMABMBA利用单位荷载法可求得利用单位荷载法可求得设设同理可得同理可得1  杆端力和杆端位移的正负规定杆端力和杆端位移的正负规定 ①①杆端转角杆端转角θθA A、、θθB B ，，弦转角弦转角 ββ＝＝ΔΔ/ /l l都以顺时针为正。

都以顺时针为正 ②②杆端弯矩对杆端以顺时针为正杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正对结点或支座以逆时针为正E IE IE IM MABABM MBABAl l M MABABM MBABA （（2 2）由于相对线位移）由于相对线位移 引起的引起的 A A和和 B B以上两过程的叠加以上两过程的叠加现在需要由杆端位移求杆端力，现在需要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得变换上面的式子可得ΔθAθB用力法求解单跨超静定梁用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11令令AMAB几种不同远端支座的刚度方程几种不同远端支座的刚度方程（（1 1）远端为固定支座）远端为固定支座AMABMBA因因 B = 0，，代入代入(1)(1)式可得式可得（（2 2）远端为固定铰支座）远端为固定铰支座因因MBA = 0，，代入代入(1)(1)式可得式可得AMABMBA（（3 3）远端为定向支座）远端为定向支座因代入（代入（2 2）式可得）式可得lEIlEIlEI由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。

由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i－i014－－5 －－2位移法的基本原理位移法的基本原理  位移法是以结构上刚结点的角位移和独立的结点线位移为基本未知量基本未知量的图示结构，有两个刚结点(1、2结点)，故其角位移未知量数目为2，设为Z1、Z2  结点l、2、3水平线位移是相同的，故只有一个独立的水平线位移未知量Z3因此结构（图a）的基本未知量数目为3 1. 位移法基本未知量的确定2．位移法基本结构的选取 角位移 线位移 3. 位移法的典型方程r11Z1+r12Z 2+ · · · · · · · · · ·+ r1nZ n+R1F=0 r21Z1+r22Z 2 +· · · · · · · · · ·+ r2nZ n+R2F=0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · rn1Z 1+ rn2Z 2+ · · · · · · · · · ·+ rnnZn+RnF=0 ri j（i≠j）——副系数。

且 ri j=rj i ri j——刚度系数，可由杆件的形常数求得rii——主系数，恒为正RiF—自由项，可由杆件的载常数求得结构的最后弯矩图： 例例13－－9  试用位移法计算图a所示刚架，并绘制弯矩图解解 （1） 形成基本结构此刚架有两个刚结点1和2 ，无结点线位移因此，基本未知量为结点1和2处的转角Z1和Z2，基本结构如图b所示 （2）建立位移法方程  r11Z1+r12Z2+R1F=0  r21Z1+r22Z2+R2F=0 （3）计算系数和自由项  r11=20i， r12=4i=r21，  r22=12i， R1F=40， R2F=0 （4）解方程求基本未知量 5）绘制弯矩图 §13－－6 超静定结构的位移计算 例例13－－10  求图a所示超静定刚架C点的水平位移 和横梁中点D的竖向位移 解解  此超静定刚架的弯矩图已由力法求出，如图b所示 （→） （↓）§13－－6 超静定结构的特性 （1）在超静定结构中，只要存在变形因素（如荷载作用、支座移动、温度改变、制造误差等），通常都会使其产生内力 （2）超静定结构的内力仅用静力平衡条件无法全部确定，还需考虑变形条件。

 （3）超静定结构由于具有多余约束，在多余约束被破坏时，结   构仍为几何不变体系，因而还具有一定的承载能力 （4）超静定结构由于存在多余约束，有多余约束力的影响，在  局部荷载作用下，内力分布范围大，峰值小，且变形小，刚度  大 【【内容提要内容提要】】力矩分配法是在位移法基础上发展起来的一种渐近解法，它的特点是不需建立和解算联立方程，直接分析结构的受力情况，从开始的近似状态，逐步修正，最后收敛于真实解，直接算得杆端弯矩值其计算精度随计算轮次增高而提高第第14章章 渐进法与近似法渐进法与近似法•1、了解转动刚度、分配弯矩和传递弯矩等概念，掌握力矩分配法的基本原理•2、熟练掌握用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架的内力•3、能用分层法和反弯点法求多层多跨刚架的内力 【【学习目标学习目标】】表示杆端对转动的抵抗能力表示杆端对转动的抵抗能力使杆杆近端产生单位转角时，需要在杆件近端施加的力矩使杆杆近端产生单位转角时，需要在杆件近端施加的力矩1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的与杆的i（（杆件的线刚度，杆件的线刚度，i=EI/l））和远端支承情况有关，和远端支承情况有关，而与近端支承无关。

而与近端支承无关一一 转动刚度转动刚度S：：远端固定远端铰支远端滑动远端自由§14－－1 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理 14－－1 －－1力矩分配法的计算思路力矩分配法的计算思路 力矩分配法力矩分配法理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：增量调整→修正→收敛于真实状态；适用范围：连续梁和无侧移刚架二、传递系数二、传递系数MAB = 4 iAB AMBA = 2 iAB AMAB = 3iABAMAB= iABAMBA = - iAB A 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数传递系数AlAB近端近端远端固定ABAAAB分配系数分配系数分配系数分配系数SAB = 4i1SAB= 3i11SAB= i二、分配系数二、分配系数 设设A点有力矩点有力矩M，求，求MAB、MAC和和MADCABDiABiACiADM如用位移法求解：如用位移法求解：MMABMACMAD于是可得于是可得14－－1 －－2单结点力矩分配法计算单结点力矩分配法计算 例例14－－1 试用力矩分配法计算两跨连续梁（图a），并绘制弯矩图。

解解 （1）计算力矩分配系数SBA= 4iAB  SBC = 3iBC （2）计算固端弯矩和不平衡力矩 （3）计算分配弯矩 （4）计算传递弯矩 （5）计算杆端最后弯矩，绘M图 例14－2  算表（力矩单位：kN·m）ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAFmBCFmCBF-MB放松，平衡了放松，平衡了MC’固定固定放松，平衡放松，平衡-MC’固定固定固定固定放松，平衡了放松，平衡了1、计算各结点的分配系数，并确定各杆的传递系数2、锁住所有结点，求各杆的固端弯矩；求出各结点的刚臂的约束力矩3、逐次循环放松各结点：　4、将固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩进行叠加，得各杆端的最后弯矩5、按上述所得结果绘制内力图　每次只放松一个结点（此时其他结点仍然暂时固锁）；　将放松结点的约束力矩反号进行分配；将分配弯矩向远端进行传递；　依次对各结点循环放松、分配、传递，直至达到精度要求§14－－2 多结点的力矩分配法多结点的力矩分配法 例例14－－2 试用力矩分配法计算连续梁（图a），并绘制弯矩图已知各杆弯曲刚度EI为 常数 例例14－－3  试用力矩分配法计算连续梁（图a），并绘制弯矩图。

已知各杆弯曲刚度EI为常数 解解  连续梁具有伸臂部分EF，EF为静定部分，其内力可由平衡条件求得为了计算简便，可将该部分对梁的作用等效替换到E点，如图b所示，以此代替原结构进行计算 例例14－－4  试用力矩分配法计算两层单跨刚架（图a），并绘制弯矩图 【【内容提要内容提要】】大型复杂结构的计算必须依靠计算机才能完成本章简要介绍国内建筑行业普遍使用的PKPM软件的功能，通过算例详细介绍PKPM软件在计算连续梁、刚架以及排架方面的应用学习目标学习目标】】第第15章章 用用PKPM软件计算平面杆件结构软件计算平面杆件结构1. 了解PKPM软件的主要功能2. 掌握PK功能绘制连续梁、框架、排架结构的内力图§15－－1 PKPM系列软件简介系列软件简介         PKPM系列软件是目前国内建筑工程界应用最广，用户最多的一套计算机辅助设计系统PKPM系列软件包含了结构、特种结构、建筑、设备、概预算、钢结构和节能七个专业模块其操作界面、菜单和命令输入都与Autocad相似，数据采用交互式输入，使用起来非常方便，并且能实现向Autocad的输出         PK是钢筋混凝土排架及连续梁结构计算与施工图绘制软件，其主要特点及功能如下：        PK模块可以接PKCAD建立的结构模型进行分析计算，也可以方便地使用其自身的交互建模功能单独建立结构模型并进行分析计算，是进行框排架结构设计较常用的设计程序。

        PK模块本身包含二维杆系结构的人机交互输入和计算，也可以接PMCAD数据形成PK文件，生成平面图上任意一榀的数据文件和任意一层上单跨或连续次梁的数据文件，以供PK计算等并且在文件后部还有绘图所需的若干绘图参数PKPM各模块系列软件名称及功能各模块系列软件名称及功能 专业模块包含软件功能模块类别  结  构PMCAD结构平面计算机辅助设计前处理，后处理PK钢筋混凝土框架及连续梁结构计算与施工图绘制前处理，分析计算，后处理TAT-88层以下建筑结构三维分析与设计软件分析计算SAT-88层以下建筑结构空间有限元分析设计软件分析计算TAT高层建筑结构三维分析与设计软件分析计算SATWE高层建筑结构空间有限元分析设计软件分析计算梁柱施工图梁柱施工图设计后处理JCCAD基础工程计算机辅助设计前处理，分析计算，后处理LTCAD楼梯计算机辅助设计前处理，分析计算，后处理JLQ剪力墙计算机辅助设计后处理     PK采用二维内力计算模型，可以进行各种规则的和不规则的平面框架、连续梁、排架、框排架结构的内力分析、抗震验算及裂缝宽度计算等它还可以处理梁柱正交或斜交、梁错层、铰接梁柱等各种结构连接方式以及任意布置悬挑梁和牛腿，进行各种荷载效应组合和结构施工图的绘制。

但PK的功能不仅限于PK菜单本身显示的内容，它还可以在SATWE、TAT等三维分析程序计算完成之后，接力绘制梁柱平面施工图、梁柱整体或梁柱分开表示的框架结构施工图同时，PK程序也是预应力结构和钢结构二维分析设计的内力计算内核§15－－2 用用PKPM软件计算示例软件计算示例 15－－2－－1 PK的基本操作的基本操作 打开PKPM后，显示如图15－1所示主菜单，单击选中PK，显示如图15－2PK操作界面由图可知，PK主菜单的操作主要为三个部分：一是计算模型输入，如模块①；二是结构计算，如模块②～④；三是施工图设计，如模块⑤～⑧下面对三个部分实现的功能进行简单介绍1.  计算模型输入     执行PK时，首先要输入结构的计算模型在PKPM软件中，有两种方式形成PK的计算模型文件        一种是通过PK主菜单①即“PK数据交互输入和计算”来实现结构模型的人机交互输入进行模型输入时，可以直接输入文本式数据文件，也可采用人机交互输入方式一般采用人机交互方式，由用户直接在屏幕上勾画框架、连续梁的外形尺寸，布置相应的截面和荷载，填写相关的计算参数后完成人机交互建模后也生成描述该结构的文本式数据文件。

    一种就是利用PMCAD软件，从建立好的整体空间模型中直接生成任一轴线框架或任一连续梁结构的结构计算数据文件，再由PK接力完成结构计算和绘图，从而省略人工准备框架计算数据的大量工作一般PMCAD生成数据文件后，只要利用PK主菜单①进一步补充绘图数据文件的内容，主要有柱子对轴线的偏心、柱轴线号框架梁上的次梁布置信息和连续梁的支座状况等信息此时的绘图补充数据最好也是采用人机交互方式生成，使用户操作大大简化2.  结构计算：计算模型输入完毕后，执行PK主菜单②～④即进行框架、排架、连续梁的结构计算3.  施工图设计根据主菜单②～④的计算结果，就可以进行施工图绘制了 15－－2－－2 数据交互输入数据交互输入 双击进入PK主菜单①即“PK数据交互输入和计算”，屏幕弹出如图所示PK启动界面，供用户选择启动方式1. 新建文件        选择“新建文件”，将从零开始创建一个框架、排架或连续梁结构模型建模前，首先要为新文件起个名字，如图所示     按确定后，屏幕将弹出“PK数据交互输入”界面，即PK主菜单①的操作界面 2. 打开已有交互文件       选择“打开已有交互文件”进入，将在一已有交互式文件的基础上，进行补充创建新的交互式文件。

进入后，屏幕上显示已有结构的立面图3. 打开已有数据文件       如果是从PMCAD生成的框架或连续梁的数据文件，则可选择“打开已有数据文件”方式进入数据文件名为工程名.SJ    不管何种方式进入，“PK数据交互输入” 界面是相同的 15－－2－－3 连续梁结构内力图实训连续梁结构内力图实训 绘制如图所示连续梁的内力图1. 网格生成建立新文件“lxl”，进入“PK数据交互输入”界面，在右侧主菜单中选择                      “网格生成”菜单是整个交互输入程序最为重要的一步，用于勾画出框架或排架的立面网格线，这网格线应是柱的轴线或梁的顶面操作步骤如下： （1）选择“跨度”，在“数据输入”框中输入6000，选择“增加”，继续数据输入3000，选择“增加”，再输入8000，“增加”跨度的数据输入是从左往右的逐渐增加的2）选择“层高”，在“数据输入”框中输入1000，选择“增加”，选择确定层高的数据输入是从下往上的逐渐增加的2. 柱布置回主菜单，选择                     出现子菜单如图所示  （1） 弹出对话框如图 连续梁的固定端支座需要设置较大的柱子截面，我们取1000×1000，其它柱子取500×500，然后将柱梁之间设为铰接。

操作步骤如下：       选择“增加”，在新弹出的对话框中，如图 截面宽和高都输入500，选择“确认”，继续选择“增加”，输入1000，选择“确认”，如图所示 （2）        在柱子截面数据对话框中选择序号1，确认，出现如图所示对话框，要求输入柱对轴线的偏心，在键盘中输入0，回车确认 屏幕中，光标变成了一个拾取框，点中第一、二、三根柱子，按鼠标右键或Esc健确认，继续出现“截面设置”对话框，选择序号2，确认，同样输入偏心为0，选择第四根柱子，确认后，再次出现的对话框可按取消结果如图所示3. 梁布置 回主菜单，选择                  出现子菜单如图所示  （1） 设置梁的截面尺寸为250×500，如图所示2） 同样将梁的截面布置好，结果如图所示 4. 铰接构件回主菜单，选择 ，出现子菜单如图所示 选择 左下端铰接（1）、右上端铰接（2）、两端铰接（3） 选择（3）回车，光标变成拾取框，拾取第一、第二、第三根柱，结果如图所示 屏幕下方的命令行出来三个选项：5. 恒载输入 回主菜单，选择 出现子菜单如图所示 选择 弹出如图所示对话框 选择线荷载，输入10kN/m，选择“确定”，用鼠标拾取第一根梁；右键确定后又出现“荷载输入对话框”，选择集中力，输入20kN和X＝1500，选择“确定”，用鼠标拾取第二根梁；同样选择集中力偶，输入15 kN.m和X＝4000，右键确定后再次出现“荷载输入对话框”，可按取消，结果如图所示。

6. 计算简图回到主菜单，可以选择 查看计算简图，如图 7. 计算回到主菜单，选择 出现子菜单如图所示 选择所需的内力计算结果，如恒载弯矩、恒载剪力，结果如图所示15－－2－－4 框架结构内力图实训框架结构内力图实训 绘制如图15－28所示框架结构的内力图已知柱子截面尺寸为300mm×500mm，梁截面尺寸为250mm×500mm打开PKPM主程序，选择“结构”模块，选择PK，双击进入PK主菜单①即“PK数据交互输入和计算”，选择“新建文件”，在“输入文件名称”对话框中，输入“kj”，按确定，进入“PK数据交互输入”界面 1. 网格生成在右侧主菜单中选择 在子菜单中选择 框架网格”，弹出“框架网线输入导向”对话框如图所示 操作步骤如下： （1）选择“跨度”，在“数据输入”框中输入6000，选择“增加”，继续数据输入3000，选择“增加”2）选择“层高”，在“数据输入”框中输入3600，选择2次“增加”，选择确定结果如图所示2. 柱布置回主菜单，选择 （1） 弹出的对话框中设置柱截面为300×500 （2） 在对话框中选择序号1，输入柱对轴线的偏心为0，回车确认拾取框架中所有柱子，确认，结果如图所示。

3. 梁布置回主菜单，选择 （1） 设置梁的截面尺寸为250×500 （2） 将梁的截面布置好，结果如图所示 4. 恒载输入 回主菜单，选择 选择 弹出如图所示对话框 选择线荷载，输入12kN/m，选择“确定”，用鼠标拾取所有梁；右键确定后又出现“荷载输入对话框”，选择集中力，输入20kN和X＝2000，选择“确定”，用鼠标拾取第一跨上下两根梁；右键确定后再次选择集中力，输入20kN和X＝4000，用鼠标拾取第一跨上下两根梁,结果如图所示 5. 计算简图回到主菜单，可以选择 查看计算简图，如图6. 计算回到主菜单，选择 屏幕出现“输入计算结果文件名”对话框，如图所示             若直接按回车键，则程序采用缺省文件名为PK11.OUT，计算结果都存到这个文件里每次计算采用隐含的计算结果文件名PK11.OUT，可以节省存储空间，待最终确定了计算结果需要保留时可改名保存 选择所需的内力计算结果，如恒载弯矩、恒载剪力、恒载轴力，结果如图所示15－－2－－5 排架结构内力图实训排架结构内力图实训      打开PKPM主程序，选择“结构”模块，选择PK，双击进入PK主菜单①即“PK数据交互输入和计算”，选择“新建文件”，在“输入文件名称”对话框中，输入“pj”，按确定，进入“PK数据交互输入”界面。

 第一步：网格生成第二步：柱布置上述两步同框架结构内力图绘制类同第三步：梁布置截面定义时选择4刚性杆 第四步：铰接构件单击【布置梁铰】，根据程序提示，输入3，选择两端铰接，回车，用光标选择目标即可第五步：恒载输入 第六步：计算简图第七步：计算上述三步同框架结构内力图绘制类同【【内容提要内容提要】】影响线是研究结构在移动荷载作用下的反力和内力计算的工具本章主要介绍静定梁的影响线的绘制方法，以及在移动荷载作用下最不利荷载位置的确定、和内力包络图的绘制方法，从而为结构设计提供依据学习目标学习目标】】*第第16章章 影响线影响线1. 理解影响线的概念2. 掌握静定梁的反力、内力的影响线绘制3. 能利用影响线求反力和内力的影响量4. 能利用影响线确定最不利荷载位置5. 了解简支梁的内力包络图F=1F=1F=1F=1F=1F=1l0.250.50.751.0x利用平衡条件建立FBy与移动荷载作用位置x间的关系式：画出上述函数关系式的图线F1F2影响线的应用实例：定义：定义：当单位荷载（当单位荷载（F=1=1））在结构上移动时，表示结构某一量值变化规律的在结构上移动时，表示结构某一量值变化规律的 　　　　　　曲线，称为量值的影响线。

曲线，称为量值的影响线l的影响线－Influence  LineI.LFBy§16－－1 影响线的概念影响线的概念         内力影响线是研究结构在移动荷载作用下的内力变化规律以及确定最不利荷载位置最基本的工具绘制影响线有两种方法：静力法和机动法静力法和机动法F=1xlAB11一、简支梁的影响线一、简支梁的影响线（一）、支座反力的影响线§16－－2 静定梁的影响线绘制静定梁的影响线绘制F=1xlAB11Cab分段考虑P=1F=1在AC段，取CB段P=1F=1在CB段，取AC 段11P=1bB分段考虑F=1在AC段，取CB段F=1在CB段，取AC 段F=1CaAba（5）内力影响线与内力图的比较F=1lABbaFabl荷载大小影响线内力图F=1实际荷载性质移动固定横座标表示荷载位置表示截面位置纵座标表示某一截面内力变化规律表示全部截面内力分布规律11二、外伸梁支座反力、内力影响线二、外伸梁支座反力、内力影响线F=1xlABCabF=111baF=1xlABCab分段考虑F=1在C以左时，取C以右F=1在C以右时，取C以左11F=1xlAB外伸部分内力的影响线dd1F=1D一、求集中荷载作用下的影响量值一、求集中荷载作用下的影响量值abC§16－－3 静定梁的影响线绘制静定梁的影响线绘制16－－3 －－1计算实际荷载作用下的影响量计算实际荷载作用下的影响量 －影响线在均布荷载作用范围内的面积代数和二、均布荷载作用下的影响量值三、集中荷载和均布荷载共同作用下的量值AB例例16－－2 利用影响线求图a所示简支梁在图示荷载作用下截面C上剪力FSC的数值。

解解 截面C上剪力FSC的数值为FSC＝ F y + q（A1＋A2） ＝15kN     当荷载移到某一个位置时，使某一指定内力达到最大值（＋、－），则荷载所在此后此位置称为最不利荷载位置最不利荷载位置　最不利荷载位置可以利用影响线来确定，对于比较简单的情况可以直观地判断最不利位置一）一个集中荷载（二）一组集中荷载（三）任意分布荷载一、最不利荷载位置的确定16－－3 －－2确定最不利荷载位置确定最不利荷载位置 (1)求出使S值达极值时荷载的位置——临界荷载位置2)从各个临界荷载位置中选出荷载的最不利位置怎样求临界位置呢？（四）行列移动荷载1、量值S影响线为折线时的情况：SxSx    使S成为极大值极大值的临界位置　必须满足的条件：    使S成为极小值极小值的临界位置　必须满足的条件：因此：极值位置时只要荷载移动就变号荷载右移时：△x>0荷载左移时：△x<0荷载右移时：△x>0荷载左移时：△x<0极值位置时，只要荷载移动在什么情形下它才会变号呢？临界位置临界荷载1）选一个荷载置于影响线的某个顶点；2）利用判别式，看是否变号；3）求出每个临界位置对应的S值；4）比较各S值，得出最大值。

就变号，它就是一个判别式确定最不利荷载位置的步骤确定最不利荷载位置的步骤：2、影响线为三角形时的情形：abh如果，该荷载位置满足如下关系：则该荷载位置为一临界位置注意荷载移出影响线范围以外的情形根据是否变号这一判别式，可知：荷载左移时：荷载右移时：（β为顺时针方向）例例16－－3  静定梁受吊车荷载的作用，如图a、b所示已知F1＝F2＝478.5kN，F3＝F4＝324.5kN，求支座B处的最大反力解解 （1）绘出支座反力FBy的影响线，判断可能的临界荷载支座反力FBy的影响线如图c所示根据梁上荷载的排列，判断可能的临界荷载是F2或F3现分别按判别式进行验算（2）验证F2是否为临界荷载 因此，F2为一临界荷载3）验证F3是否为临界荷载 故F3也是一个临界荷载（4）判别荷载最不利位置 当F2为临界荷载时，有当F3为临界荷载时，有比较两者可知，当F2作用于B点时为最不利荷载位置，此时有FBymax＝784.3kN§16－－4 简支梁的内力包络图简支梁的内力包络图在设计承受移动荷载的结构时，必须求出每一截面上内力的最大值（最大正值和最大负值）,连接各截面上内力最大值的曲线称为内力包络图内力包络图。

     设计移动荷载作用下的梁时，通常需要知道实际移动荷载作用下各截面的最大和最小内力值一、简支梁的内力包络图一、简支梁的内力包络图分别将各截面的最大和最小内力值连成的曲线称为分别将各截面的最大和最小内力值连成的曲线称为内力包络图内力包络图F=1xlABCab0.090.160.210.240.25简支梁受一组移动集中荷载作用。