平面几何9--完全四边形的性质及应用.docx

厦门一中2010数学竞赛讲座一平面几何完全四边形的性质及应用完全四边形我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及他们的六个交点所构成的图形叫做 完全四边形，六个点可分成三对相对的顶点，他们的连线是三条对角线如图9- 1,直线ABC、BDE、CDF、AFE两两相交于A、 B、C、D、E、F六点，即为完全四边形ABCDEF•线段AD、为其三条对角线.以及四个三角形・如9-1中有凸四形磁F,凹四边形完全四边形中既有凸四边形、凹四边形,还有折四边形&CDE,折四边形BCFE,四个三角形△ ACF、乂⑷、性质1完全四边形ABCDEF的三条对角线仞、△ DEF、△磁.BF、CE的中点M、N、P共线（即牛顿线）.性质2完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割（两点内分与外分 同一线段成同一比值，称这两点调和分割这一线段）.性质3完全四边形的三条对角线为直线的圆共轴，且完全四边形的四个=角形 的垂心在这条轴上（此线称为完全四边形的垂足线）. 一推论完全四边形的垂足线与牛顿线垂直（两连心线垂直于公共弦）.性质4完全四边形的四个三角形的外接三角形的垂心分别在构成完全四边形的四条直线上，且这四个垂心为顶点构成的四边 形与四个圆心为顶点构成的四边形全等.上述性质即指在完全四边形ABCDEF中，0）、02、。

3、04分别为△ ACF4BCD、 厶 DEF4ABE 的外心，Hi、业、H3、乩 分别为△ O4O2O3、△O4O1 3、、 △ 0】3的垂心，则（1） 0|、02、4四点共圆（斯坦纳圆）；（2） ^O4 O2 O3 s^ACFqOiO2（）3 s△磁,△O2O4O）s 厶 DEFIOWO s△ BCD;（3）乩、弘、弘、弘分别在BE、AE、AC、CF上，且四边形H}H2H3H4攵四边形02 0, O3 ・性质5在完全四边形ABCDEF中，点G是对角线 "所在直线上异于点力的任意一点，则cotZAGC + cotZAGF = cotZ/lGe + cotZ4GE性质6在完全四边形ABCDEF中，过B、F作与对角线仙平行的直线分别交对 角线CE于G、乩连结BH、FG相交于点P,则点P在宜线仞上・性质7在完全四边形ABCDEF中，四边形ABDF有内切的充分必要条件是下述两条件之:⑴ BC + BE = FC + FE;(2)AC + DE 二 AE +CD.性质8在完全四边形A5CDEF中，四边形磁F（在 ZBAF内）有旁切圆（或折四边形BCFE有下切圆）的充分 必要条件是下述两条件之一:(1)AB + BD = AF+ FD；⑵ AC+ CD 二 AE+ ED・例1在凸四边形ABCD中,对角线4C平分ZBAD,E是CD边上一点，BE交AC 于G,DG交BC于F.求证:Z4C = Z4C- （1999年全国高中联赛题）D例2 以△佔C的边BC为直径作半圆，与AB.AC分别交于点D、E・过D、E作 BC的垂线，垂足分别是F、G•线段DE、EF交于点M.求证:如/丄BC.（1996年第37届IMO中国国家队选拔赛试题）AU!例3如图9-18,在完全四边形ABCDEF 9AB = AE・（1）若 BC 二 EF,则 CDuDF,反之若 CD = OF,则 BC=EF ・⑵若BC二EF（或CD = DF）,M为完全四边形的密克尔点，则MD丄CF或AACF的外心6在直线MD上.（3） 若BC = EF （或CD = DF）,点4在CF上的射影为H, △ ABE的外心为0,则为仍的中点，且O2D=O2H・（4） 若EF（或CD = DF）fM为完全四边形的密克尔点, 则 MB 二 ME，且 MB 丄 AC9MEAE.试题1已知锐角△ABC, CD是过点C的髙线,M是边佔 的中点，过M的宜线分别交射线CA、CB于点K、厶且CK二CL•若△CAZ的外心为S•证明:SD = SM・(2003年第54届波兰奥林匹克题)练习1.在完全U!边形ABCDEF中，BC二EF.点G是点4关于CE中点的中心对称点，则图9-29DG是Z CGE的平分线・2如图9-29，在完全四边形ABCDEF中，ZG4二90,肋= 且过B、F分别作AC、舷的垂线的交 点G在CE上.设〃G交CF于M,FG交BE于N・求 证：(l)FN= GM;(OMN // CE,(3)AD 丄 CE.。