魔幻六边形问题的探究.doc

关于“魔幻六边形问题”的探究安徽省临泉县宋集镇一小（236414） 肖春友28151310414129651611171918173美国一位名叫阿达莫斯的数学爱好者在1910年研究了这样一个数学问题：如图（1），这是由19个正六边形组成的图形，把1到19这些自然数分别填入六边形中使得位于同一图(1)直线且互相连接的若干数之和都相等，他称其为“魔幻六边形问题”他花费了将近50年的时间只摆出了图（1）的这种填法至今为止，没有人找到另一种填法，更没有一种“程式化”的算法，使所有的正确填法都能迅速找到，这两者是数学家提出的至今尚未解决的世界著名难题笔者经过长期的探讨，终将该问题证明为无第二种填法如果用a1，a2，a3……a19 分别来表示1~19个自然数中的某一个数，如图（2）则有：（a1+a4+a8）+(a2+a5+a9+a13)+(a3+a6+a10+a14+a17)图(2)a11a5a1a2a3a6a4a7a8a9a10a12a13a14a15a16a17a18a19=(1+2+3+…+19)÷5×3=38×3又∵a1+a2+a3=a8+a13+a17=38∴a4+a5+a6+a9+a10+a14=38同理可得：a16+a15+a14+a11+a10+a6=38∴ a4+a5+a9+2a6+2a10+2a14+a11+a15+a16=38×2 （1） 同理可得：a18+a15+a14+2a9+2a10+2a11+a6+a5+a2=38×2 （2）a13+a14+a9+2a15+2a10+2a5+a11+a6+a7=38×2 （3）又∵（a1+a2+ a3）+（a3+a7+a12）+（a12+a16+a19）+（a19+a18+ a17）+（a17+a13+a8）+（a8+a4+ a1）=38×6（4）（1）+（2）+（3）+（4）得2（a1+a2+…+a19）+2(a5+a6+a9+a10+a11+a14+a15)+2a10=38×12又∵a1+a2+…+a19=38×5∴a5+a6+a9+a10+a11+a14+a15+a10=38设a5+a6+a9+a10+a11+a14+a15=x a10=y 于是得 x+y=38（5）∵a2+a5+a6+a9+a10+a11+a13+a14+a15+a16=38×5－38×3=38×2[说明：38×3是（a1+a4+a8）+（a3+a7+a12）+（a19+a18 +a17）]∴a2+a13+a16+38－y=38×2即a2+a13+a16=38+y（6）下面主要利用（5）、（6）的特点对y = 1、2、3……8时，可能出现的各种情况进行一一论证。

为简化讨论的过程：论证中主要采用下面的方法：1、例如：当y=5时，分x中有1~9中的7个，x中有10及1~9中的6个（简称x中有10，后同），x中有11……在x中有12时，1+2+3+……+9+12=57而x=38－y=33，所以不属于x的3个数的和为57－33=24，而24只能有（7、8、9）组成，即只能存在7~11、13~19有组成外围的可能，这时最小的7只有在顶点和非顶点两种情况，（a1、a3……称为顶点，a2、a7……称为非顶点）7在顶点时，只能和18与13，17与14，15与16分别合成38（7、19、12虽能合成38，但与x中有12矛盾）因为a2+a13+a16=38+y=43，在7与18（a2）相邻时，有43－18=25，而合成25的2个外围数（a13、a16）只有（8、17）、（9、16）、（10、15）、（11、14），（13和12虽能合成25，但与x中有12相矛盾a13、a16的合成，最小数在顶点合成38只有2种情况的，不能与a2、a3、a4、a8中的任何一个相同，合成38有2种以上的不能与a2、a3中的任何一个相同以（9、16）为例有： 3 19 16 18 6 1 1317 ？ 5 4 9 10 14 11 12 15 71813a4a89a17a18a1916a12a7（17、14）117181317141681991015？55（15、16）与（9、16）矛盾图（3）图（4） 图（5）再把剩余的外围数分别放到a18、a19、a12、a7的位置，看能不能组成外围，如图（3）（组不成外围时a18、a19、a12、a7通常不写），组成外围时，如图（4），为简便应在相应的4个数（或5个）的和等于38中找出相应的2个，若无符合条件的2个数，就用图（4 )中的方法表示，或用图（5）中的方法表示。

图下方或右下方出现 分别表示a4和a8，a13和a16（a4和a8、a13和a16）可对调位置，且组不成外围.2、当y=k时，最小的数在非顶点时，前面的若证明它在构成外围时会产生矛盾或不能构成外围的，后面就不再论证3、当3在顶点时（1、2不能与其他数构成两个38，所以它们不可能在顶点），它分别可以和（19、16）、（18、17）合成38，当它们分别和相应的数组成外围时，又分3 19 16，3 16 19的情况，所以这种情况，只讨论（19、16）或（18、17）即可4在顶点的情况类似）4、当5在顶点时，它分别可以和（19、14）、（18、15）、（17、16）合成38当它们分别和相应的数合成外围时，又分5和（19、14）合成38和不合成38的情况，所以这三者只需讨论和5合成38的任意两种情况即可6在顶点的情况类似）5、当7在顶点时，它分别可以和（19、12）、（18、13）、（17、14）、（15、16）合成38当它们分别和相应的数合成外围时，假如只讨论两者，例如只讨论前两者，则不会出现7分别17、15紧相邻的等情况（形如 17 7 15），所以这种情况至少要讨论任意的三种。

6、5~6或7在顶点少合成一种38的特殊情况，分别按3或5在顶点的情况处理 7、个别特殊情况，论证中另有说明证明：一、当y=5时（含阿达莫斯法）1、y=5 x中有1~9中的7个，1+2+……+9=45，x = 38 - y=33 45-33=12所以只存在（3、9）或（4、8）和10至19有组成外围的可能[后用(a、b)表示]a、（3、9）（38+5）- 19 = 43-19 = 24（9、15）（10、14）（11、13）1 481572143191617181191513101261431916171891113151012?6阿达莫斯法1231916181710111514913545？5543-16 = 27（12、15）（13、14） 43 - 3 = 40（？、？）31619181731619181712915y=5时，3不可能在非顶点(13、14)10?表示组不成外围表示组不成外围表示10不可能在外围 b、（4、8） 43-19 = 24（10、14）（11、13） 43-15 = 28（11、17） 43- 4= 39（？、？）y=5时，4不可能在非顶点4191518161341915181614817101112?5415191816（11、17）（11、13）(2、3)2、y=5，x中有12，1+2+……+9+12=57 57-33=24（7、8、9）43-18 = 25（8、17）（9、16）（10、15）（11、14）19718131615149101117871813151681417117181317141681991015??（1、3）59?8?71813171415910543-13 = 30(11、19)(14、16) 713181417111019713181615107181316151491911817?8?（11、19）5（2、4）43-17 = 26(8、18) (10、16) (11、15) 717141516971714181315101911816（8、18）?（1、3）717141813169108?5 43-14 = 29(10、19)(11、18) (13、16) 43 - 7 = 36(17、19)7a1a31719(a16)？7141718131015197141716151013197141716158?（11、18） (a13)(a16) y=5时，7不可能在非顶点。

3、用同样的方法可以验证x中有10、11的情况4、因为当y =5时，x中若有13，即使另6个数的和最小，也有（1+2+3+4+5+6+13）+5＞38，所以当y =5时，x中不可能有13以上数的存在5、当y =5时，x中若有2个10以上的数，其和m最小也是21，即使另5个数的和最小,也有（1+2+3+4+5+m）+5＞38，所以y =5时，x中不可能有2个10以上的数.二、用同样的方法可验证y=1、2、3、4、6、7、8时都无符合条件的填法三、假设y = 9，即使另6个数的和最小，也有（1+2+3+4+5+6+9）+9＞ 38，所以y中不可能是9以上的数综上所述可知，该问题有且只有阿达莫斯找到的一种填法，绝不存在第二种填法，更不存在“程式化”的算式如有问题，请直接拨打：(0)13966。